2019-2020学年哈尔滨市南岗区第三中学校高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 （ ）A用系统抽样，用简单随机抽样B用系统抽样，用分层抽样C用分层抽样，用系统抽样D用分层抽样，用简单随机抽样【答案】D【解析】【详解】总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样；总体个体数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简单随机抽样；选D2在面积为S的ABC的边AB上任取一点P,则PBC的面积大于的概率是()ABCD【答案】C【解析】解：记事件A=PBC的面积大于 S 4 ，基本事件空间是线段AB的长度，（如图）因为 SPBCS /4 ，则有 1/ 2 BCPE1/ 4 1 /2 BCAD；化简记得到：PE /AD 1/ 4 ，因为PE平行AD则由三角形的相似性 PE/ AD 1 /4 ；所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP=3/ 4 AB，所以PBC的面积大于 S/ 4 的概率=AP /AB =3 /4 故选C3某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )ABCD【答案】A【解析】利用相互独立试验概率乘法公式能求出该选手能进入第四关的概率【详解】解：某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为：，故选：A【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立试验概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ( )ABCD【答案】B【解析】先计算出，由正态密度曲线的对称性得出，于是得出可得出答案。【详解】由题可知，由于，所以，因此，故选：B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题。5如图1为某省2019年14月快递义务量统计图，图2是该省2019年14月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A2019年14月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B2019年14月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C从两图来看2019年14月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D从14月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A： 2018年14月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B： 2018年14月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6已知抛物线上一点，直线，则到这两条直线的距离之和的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】由抛物线的定义可知到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离【详解】解：抛物线的焦点为，准线为到的距离等于，到直线的距离之和的最小值为到直线的距离，即故选：A【点睛】本题考查了抛物线的性质，点到直线的距离公式的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题7的展开式中的常数项为( )ABCD【答案】C【解析】利用二项式展开式的通项公式，令的指数为0，求出展开式的常数项【详解】解：二项式的展开式中，通项公式为，令，得，所以展开式中的常数项为：，故选：C【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题8甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，计算出事件的概率和事件的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为.【详解】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，事件甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，由独立事件的概率乘法公式得，对于事件，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件，故选：A.【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.9袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 013 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )ABCD【答案】B【解析】根据随机数的定义，结合古典概型的概率公式进行计算即可【详解】解：由题意得18组随机数中，巧好第三次就停止的数为023，123，132，故恰好第三次就停止的概率为，故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，利用随机数的定义求出对应的结果是解决本题的关键10若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（ ）A甲同学：均值为2，中位数为2 B乙同学：均值为2，方差小于1C丙同学：中位数为2，众数为2 D丁同学：众数为2，方差大于1【答案】D【解析】根据均值、中位数、众数、方差的定义及意义逐项判断，得出正确选项解：甲同学：均值为2，说明名次之和为6，得出三次考试名次均不超过3，断定为尖子生乙同学：均值为2，说明名次之和为6，得出三次考试名次均不超过3，断定为尖子生丙同学：中位数为2，众数为2，说明三次考试名次 均为2，断定为尖子生丁同学：众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x=1，2，3时方差均小于1，故x3推断一定不是尖子生故选D116名同学参加4项社会实践活动，要求每项活动至少1人，则不同的参加方式共有( )A2640种B1560种C1080种D480种【答案】B【解析】由题意得到有一项社会实践活动有3人参加或者有两项社会实践活动有2人参加，分类讨论，先把六人分成4堆，再来分配给社会实践活动，问题得以解决.【详解】解：6名同学参加4项社会实践活动，要求每项活动至少1人，则有一项社会实践活动有3人参加或者有两项社会实践活动有2人参加，先把六人分成4堆有种，再来分配给4个社会实践活动有种，故选：B.【点睛】本题考查了分堆分配的问题，关键掌握如何分堆，属于基础题12已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，与轴交于点，若是的平分线，则双曲线的离心率( )ABCD【答案】C【解析】先利用角平分线及得到三角形相似，进而得到，再根据角平分线定理也可得到，列方程即可求出离心率【详解】如图：由题意得：，所以，又，所以，又是的平分线，所以，所以，所以，即，所以，由角平分线定理知，则，所以，所以，故故选：C【点睛】本题关键是利用角平分线定理得到，考查了学生计算能力，分析能力，是中档题二、填空题13某单位安排5位员工在10月3日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）【答案】72【解析】先排除甲，乙之外的3人，然后利用插空法排甲，乙两人即可.【详解】解：先排除甲，乙之外的3人，然后利用插空法排甲，乙两人，得种，故答案为：.【点睛】本题主要考查分步计数原理，关键是对插空法的理解和应用，是基础题14已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立该同学投了25次，表示投中的次数，则_【答案】15【解析】由题意可得随机变量，利用二项分布的期望公式可得结果【详解】解：由题意可得随机变量，利用二项分布的期望公式可得，故答案为：【点睛】本题考查二项分布的期望，利用公式可得，是基础题15椭圆，动圆与椭圆交于四点，则四边形面积的最大值为_，此时_【答案】4 【解析】设，则矩形的面积，当时，矩形的面积取得最大值，此时，即可求解【详解】解：如图：设，则矩形的面积，此时时，矩形的面积取得最大值4，此时，故答案为：4；【点睛】本题考查了利用椭圆参数方程求解最值，属于中档题16已知集合，函数定义于并取值于（用数字作答）（1）若对于任意的成立，则这样的函数有_个；（2）若至少存在一个，使，则这样的函数有_个【答案】15625 46575 【解析】（1）若对于任意的成立,所以每一个,可以对应除它本身之外5个元素之中的一个,利用分步乘法原理可得结果；（2）从反面来研究，找到对任意在一个，使的总数，然后用没有限制下的总数减去即可.【详解】（1）利用分步乘法原理，每一个，都有5种结果可以与它对应，故这样的函数有个；（2）若对任意在一个，使，当时，符合，有1个；当，两两不等时，符合，此时有个，故若对任意在一个，使，这样的函数有81个，若至少存在一个，使，则这样的函数有个.故答案为：15625；46575.【点睛】本题考查分步计数原理和分类计数原理的应用，当从正面不方便研究时，可从反面来研究，是一道难度较大的题目.三、解答题17一个盒子里装有标号为的张标签，随机的选取两张标签.（1）若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；（2）若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字至少有一个为5的概率.【答案】（1） （2）【解析】（1）先求出无放回的从5张标签随机地选取两张标签的基本事件总数，再求出两张标签上的数字为相邻整数的基本事件数，从而得到概率；（2）先求出有放回的从5张标签随机地选取两张标签的基本事件总数，再求出两张标签上的数字至少有一个为5的基本事件数，从而得到概率.【详解】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，无放回的从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有个，两张标签上的数字为相邻整数基本事件有个，根据等可能事件的概率公式得到；（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，有放无回的从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有个，两张标签上的数字至少有一个为5的基本事件有个，根据等可能事件的概率公式得到.【点睛】本题考查等可能事件的概率，关键是求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题，第一问是一个不放回问题，第二问是一个放回问题，注意题目的条件.18某校共有学生2000人，其中男生1100人，女生900人为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）（1）应抽查男生与女生各多少人？（2）如图，根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为.若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时，请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”.男生女生总计每周平均课外阅读时间不超过2小时每周平均课外阅读时间超过2小时总计附：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）男生人数人，女生人数：人（2）填表详见解析,有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关.”【解析】（1）由男女生比例以及分层抽样特征，即可求解；（2）由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过2小时【详解】（1）男生人数：女生人数=1100：900=11：9所以，男生人数人女生人数：人.（2）由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过2小时的人数为：人，所以，平均每周课外阅读时间超过2小时的男生人数为37人.可得每周课外阅读时间与性别的列联表为男生女生总计每周平均阅读时间不超过2小时18725每周平均阅读时间超过2小时373875总计5545100所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关.”【点睛】本题主要考查分层抽样方法以及独立性检验的基本思想和应用，意在考查学生的计算能力。19在平面直角坐标系中，已知点，动点到点的距离比到直线的距离小1个单位长度（1）求动点的轨迹方程；（2）若过点的直线与曲线交于两点，求直线的方程【答案】（1）（2）或【解析】（1）由抛物线的定义可知求出的轨迹方程；（2）设直线方程与抛物线联立，根与系数的关系及数量积可得直线的方程【详解】解：（1）根据抛物线的定义，知动点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程为：；（2）当的斜率不存在时，可知，不符合条件；当的斜率存在且不为0时，设：，则，联立可得，设，则因为向量方向相反，所以，所以，即，所以直线的方程为或【点睛】本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属于中档题20某书店刚刚上市了中国古代数学史，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每本单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价（元）销量（册）（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）若该书每本的成本为元，要使得售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（1）；（2）10元【解析】（1）由表中数据计算与的值，则线性回归方程可求；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出为何值时函数值最大【详解】解：（1），则，关于的线性回归方程为；（2）设定价为元，则利润函数为，其中；则，（元）故为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为10元【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查计算能力，是基础题21近年来，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购其中共享单车既响应绿色出行号召，节能减排，保护环境，又方便人们短距离出行，增强灵活性某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车，三种车的计费标准均为每15分钟（不足15分钟按15分钟计）1元，按每日累计时长结算费用，例如某人某日共使用了24分钟，系统计时为30分钟A同学统计了他1个月（按30天计）每天使用共享单车的时长如茎叶图所示，不考虑每月自然因素和社会因素的影响，用频率近似代替概率设A同学每天消费元（1）求的分布列及数学期望；（2）各品牌为推广用户使用，推出APP注册会员的优惠活动：红车月功能使用费8元，每天消费打5折；黄车月功能使用费20元，每天前15分钟免费，之后消费打8折；蓝车月功能使用费45元，每月使用22小时之内免费，超出部分按每15分钟1元计费设分别为红车，黄车，蓝车的月消费，写出与的函数关系式，参考（1）的结果，A同学下个月选择其中一个注册会员，他选哪个费用最低？（3）该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用，为节约居民开支，随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表：时长(0，15(15，30(30，45(45，60人数1645345在（2）的活动条件下，每个品牌各应该投放多少辆？【答案】（1）分布列见解析，（2）选红车（3）480，1500，1020【解析】（1）根据茎叶图可能的取值有，分别求出其分布列及期望即可；（2）根据题意分别写出与的函数关系式，并算出A同学在每种优惠活动下的费用，看哪个费用最低即可；（3）算出每个时长下每个品牌的费用，比较大小，确定每个时长下选择的最优惠的品牌，根据比例算出每个品牌各应该投放的辆数【详解】解：（1）根据茎叶图统计A同学30天里面每天使用共享单车的时长有6天，有12天，有10