2019-2020学年合肥市庐阳区第六中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥市庐阳区第六中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）ABCD【答案】C【解析】纵竖坐标不变，横坐标变为相反数【详解】点关于平面对称的点的坐标为故选C【点睛】本题考查空间直角坐标系，属于基础题2下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ）A三棱柱的底面为三角形B一个棱柱至少有五个面C五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形D若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等【答案】D【解析】根据棱柱的概念逐一判断选择.【详解】三棱柱的底面为三角形，所以A正确；因为三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，B正确；五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，所以C正确；若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，所以D错误；故选：D【点睛】本题考查棱柱的概念，考查基本分析判断能力，属基础题.3某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度为（ ）ABCD【答案】C【解析】先还原几何体，再确定最长的侧棱长.【详解】还原几何体为：其中,因此，所以最长的一条侧棱的长度为，故选：C【点睛】本题考查三视图以及四棱锥棱长，考查基本分析求解能力，属基础题.4若圆截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）A-31B-4C-2D-1【答案】B【解析】先化圆的标准方程，再根据垂径定理列方程，解得结果.【详解】因为圆截直线所得弦长为6，所以故选：B【点睛】本题考查圆的弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.5如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，.则下列叙述正确的是（ ）A原图形是正方形B原图形是非正方形的菱形C原图形的面积是D原图形的面积是【答案】D【解析】先还原平面图形，再根据图形数量确定形状以及面积.【详解】还原平面图形为平行四边形，,之间距离为， ,所以平面图形为非菱形的平行四边形，因此原图形的面积是，故选：D【点睛】本题考查直观图及其相关计算，考查基本分析求解能力，属基础题.6已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是若则;若则;若,则;若则ABCD【答案】D【解析】根据选项利用判定定理、性质定理以及定义、举例逐项分析.【详解】当都在平面内时，显然不成立，故错误；因为，则过的平面与平面的交线必然与平行；又因为，所以垂直于平面内的所有直线，所以交线，又因为交线，则，故正确；正方体上底面的两条对角线平行于下底面，但是两条对角线不平行，故错误；因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，故正确；故选：D.【点睛】本题考查判断立体几何中的符号语言表述的命题的真假，难度一般.处理立体几何中符号语言问题，一般可采用以下方法：（1）根据判定、性质定理分析；（2）根据定义分析；（3）举例说明或者作图说明.7已知直线l过定点，且与以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据图象以及斜率公式确定直线l的斜率k的取值范围.【详解】如图，要使直线l以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则或,因为，所以直线l的斜率k的取值范围是；故选：A【点睛】本题考查斜率公式以及直线交点，考查基本分析判断求解能力，属基础题.8九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用勾股定理求出梯形的高，再计算出各个面的面积，相加可得出该几何体的表面积.【详解】过作平面，垂足为，取的中点，连结，过作，垂足为，连结.和都是边长为的等边三角形，.，又，几何体的表面积，故选B.【点睛】本题考查多面体表面积计算，解题的关键就是要分析各面的形状，并计算出各个面的面积，考查计算能力，属于中等题.9在三棱柱中，平面ABC，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可知此三棱柱为直三棱柱，直三棱柱求解外接圆可将直三棱柱还原成对应的圆柱，再采用圆柱的外接球半径公式，结合几何关系进行求解即可【详解】由题意可知，底面外接圆的半径，三棱柱的高，外接球的半径，所以外接球的表面积为.答案选C【点睛】求解直三棱柱的外接球半径一般的方法是：先将直三棱柱还原成对应的圆柱，找出底面圆的半径，再找出高的一半，通过构造直角三角形，求解外接球的半径即可10已知a，b是异面直线，给出下列结论：一定存在平面，使直线平面，直线平面；一定存在平面，使直线平面，直线平面；一定存在无数个平面，使直线b与平面交于一个定点，且直线平面.则所有正确结论的序号为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据异面直线位置关系作出满足条件图形就可证明正确，再举例说明不正确.【详解】因为如果直线平面，直线平面，则必有，而a，b不一定垂直，所以不正确；设为a，b公垂线段,取中点,过作，因为a，b是异面直线，所以为相交直线，则确定平面，且直线平面，直线平面；所以正确；设为a，b公垂线段, ，过作，过作平面，使直线b与平面交于一个定点B，则直线平面.此时存在无数个平面，所以正确；故选：A【点睛】本题考查异面直线及其相关概念，考查基本分析判断能力，属基础题.11在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为（）A2BCD【答案】B【解析】求得直线l1，直线l2，恒过定点，以及两直线垂直，可得交点P的轨迹，再由直线和圆的位置关系，即可得到所求最大值【详解】解：直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0的斜率之积：，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0垂直，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0分别过点M（0，4），N（3，0），直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0的交点P在以MN为直径的圆上，即以C（，2）为圆心，半径为的圆上，圆心C到直线4x-3y+10=0的距离为d=2，则点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为d+r=+2=故选：B【点睛】本题考查直线恒过定点的求法和两直线垂直的条件，以及点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题12已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）A当时，存在某个位置，使得B当时，存在某个位置，使得C当时，存在某个位置，使得D时，都不存在某个位置，使得【答案】C【解析】，若存在某个位置，使得直线，则平面，则，在中，则由直角边小于斜边可知，即，结合选项可知只有选项中时，存在某个位置，使得，故选【方法点晴】本题主要考查翻折问题、线面垂直与线线垂直转换的应用以及空间想象能力，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理，本题中，先根据线线垂直得到线面垂直，在根据线面垂直得到线线垂直，从而得到，进而得到结果.二、填空题13命题“，都有成立”的否定是_【答案】，使得成立【解析】根据全称命题的否定直接写结果.【详解】因为的否定为，所以命题“，都有成立”的否定是：，使得成立故答案为：，使得成立【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力，属基础题.14过点且与圆相切的直线方程为_【答案】或【解析】先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，利用圆心到直线距离等于半径求解.【详解】因为直线到圆心的距离等于，即半径，所以直线与圆相切；当所求切线斜率存在时，设，由圆心到直线距离为，即方程为故答案为：或【点睛】本题考查求圆的切线，考查基本分析求解判断能力，属基础题.15已知正方体的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段的中点，若平面AMN截正方体所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是_.【答案】【解析】根据截面作法确定线段BM的取值范围【详解】当时,截面为五边形，如图，当时, 截面为四边形，如图，故答案为：【点睛】本题考查正方体中截面问题，考查基本分析判断能力，属基础题.16在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且，则实数a的值是_.【答案】2或3【解析】取中点，设，则利用斜率公式转化条件得，再结合圆的切线性质得，即得,最后根据三点共线求结果.【详解】,取中点，设，由题意得，因此，从而三点关系，即或3，故答案为：2或3【点睛】本题考查圆的切线性质以及斜率公式，考查综合分析判断求解能力，属较难题.三、解答题17（1）求证：两条平行直线与的距离为：；（2）在x轴上求一点P，使以点，和P为顶点的三角形的面积为10.【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】（1）根据点到直线距离公式进行证明；（2）先根据两点间距离公式求，再根据两点式求方程，利用点到直线距离公式得高，最后根据面积公式列式求结果.【详解】（1）法一：当时，在直线上取一点.由点到直线的距离公式得：；当时，式子也成立；法二：在直线上任取一点，则.由点到直线的距离公式得：.（2）设，AB的直线方程为，点P到直线AB的距离为由三角形的面积为得或综上：或.【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，考查基本分析判断求解能力，属中档题.18己知直线2xy1=0与直线x2y+1=0交于点P（）求过点P且平行于直线3x+4y15=0的直线的方程；（结果写成直线方程的一般式）（）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线方程（结果写成直线方程的一般式）【答案】()3x+4y7=0；()x+y2=0或xy=0【解析】试题分析：（1）联立方程组，求得点，根据题意设直线的方程为，代入点，求得的值，即可得到直线的方程；（2）当直线过原点时，可得方程为；当直线不过原点时，设的方程为，代入点，求得，即可得到直线的方程.试题解析：联立，解得，P（1，1）（）设平行于直线3x+4y15=0的直线l1的方程为3x+4y+m=0，把P（1，1）代入可得：3+4+m=0，解得m=-7过点P且平行于直线3x+4y15=0的直线l1的方程为3x+4y7=0（）当直线l2经过原点时，可得方程为：y=x当直线l2不过原点时，可设方程为：y+x=a，把P（1，1）代入可得1+1=a，可得a=2直线l2的方程为x+y2=0综上可得：直线l2的方程为x+y2=0或xy=019如图，在三棱柱中，底面为正三角形，D是BC的中点，P是的中点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）连接交于点O，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据平几知识得，再根据面面垂直判定定理与性质定理得，即得，最后根据线面垂直判定定理得结论.【详解】（1）连接交于点O，连接OD，在正三棱柱中，侧面是正方形，点O是的中点，又点D是BC的中点，故OD是的中位线.，又，（2）由（1）知，侧面是正方形，又D、P分别为BC、的中点，在正三棱柱中，D是BC的中点，又，且，又，又，.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理与性质定理，考查综合分析论证能力，属中档题.20已知直线l：，圆C：.（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交于两点；（2）当直线l被圆C截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时m的值.【答案】（1）证明见解析（2）线段的最短长度为，此时【解析】（1）先求直线过定点，再证定点在圆内部，即得证结果；（2）先确定直线l被圆C截得的线段最短时位置，再根据斜率公式以及垂径定理求结果.【详解】（1）直线l：，必过直线与直线的交点，联立方程，解得，所以直线过定点.，即点P在圆内，直线与圆C恒相交于两点.（2）当直线l被圆C截得的线段最短时，直线l垂直CP.，直线l的斜率，则，解得，此时，弦长.【点睛】本题考查直线过定点、直线与圆位置关系以及弦长问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，.（1）求证：平面；（2）当AB的长为何值时，二面角的大小为60.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）先根据线面垂直判定定理得以及，即得，从而可得；（2）过B作交FE的延长线于G,根据线面垂直判定定理以及性质定理得，即得为所求二面角的平面角,最后根据平几知识解得结果.【详解】（1），又，故.（其他证法也可）（2）过B作交FE的延长线于G，连AG， 由得，又，故，为所求二面角的平面角.由，梯形BEFC为直角梯形，由平面几何知识得设，若，则，在中，得当时，二面角的大小为60.【点睛】本题考查根据二面角求参数、线面垂直判定定理与性质定理以及利用面面平行证线面平行，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.22已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的轨迹方程（2）过点（1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求ABM面积的最大值【答案】（1）；（2）2【解析】（1）设点，运用两点的