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数学基础总结范文 一初数部分 (一一)应用题1.比、百分比、比例1)知识点利润=售价-进价=产值-成本利润率=利润成本变化率=变化量变前量平均增长率（x）A比B多的比A-B/B B比A少的比B-A/A注两者不对等比的性质a:b=ma:mb(m0)比例的性质:?=?ad=bc?=?=?（合比定理）?=?分比定理?=?(合分比定理)2)典型例题特值法使用范围:题目涉及某些必须要用的量但又不可量化(往往应用于比和百分比中)；使用法则用最简洁的量即为特值，引入特值绝不可改变愿意十字交叉法使用范围:所有两个因素导致一平均结果的题目均可以用;使用法则:标清量，放好位，非负性，所得的彼得关系一定为变前比的关系；模板:找到单量占总量的比例；3)归纳总结知识点6个题型变化率(特值法)、杠杆原理(十字交叉法)、分数多比例(特值法，去分母化)、单量总量问题(模板)、利润率问题、比例性质问题2.工程问题1)知识点工作量=工效*工时（“量”往往为1）三者关系工作量定效率、时间成反比；效率定工作量、时间成正比；时间定工作量、效率成正比效率可以直接相加减；2)典型例题3)归纳总结知识点3个题型纵向比较、给排水、效率计算3.速度问题1)知识点2)典型例题3)归纳总结4.浓度问题1)知识点2)典型例题3)归纳总结5.还原问题6. (二二)代数1)实数1)整数Z(- 2、- 1、 0、 1、2)自然数N( 0、 1、2)2)质数一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除；合数一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他正整数整除性质质数和合数都在正整数范围内，且有无数多个；2是唯一既是质数又是偶数的整数，且是唯一偶质数，大于2的质数必为奇数，质数中只有一个偶数是2，最小的质数为2；若质数p|ab，则必有p|a或p|b（注p|a表示p是a的约数）若正整数a，b的积是质数p，则必有p=a或p=b1既不是质数也不是合数；如果两个质数的和或差是奇数，则其中必有一个是2，若两个质数的积是偶数，其中也必有一个是2；最小的合数是4，任何合数都可以分解为几个质数的积，能写成几个质数的积的正整数就是合数；互质数公约数只有1的两个数称为互质数，如9和16；3)奇数和偶数奇数不能被2整除的数；偶数能被2整除的数；0也是偶数；整数Z奇数2n+1或2n-1；偶数2n；两个相邻整数必为一奇一偶，除了2以外，其余质数均为奇数；4)分数、小数5)整除、倍数、约数最小公倍数几个数公有的倍数求法分解质因数法例如【12,18,20】12=2*2*318=2*3*320=2*2*5结果为2*2*3*3*5公式法a，b*(a,b)=a*b即最大公约数*最小公倍数=两个数的乘积2)常见整数的特点a)能被2整除的数个位为偶数b)能被3整除的数各位数字之和能被3整除c)能被4整除的数末位两位数能被4整除d)能被5整除的数个位数为0或5；e)能被6整除的数同时满足整除2和3的条件f)能被8整除的数末位三位数能被8整除；g)能被9整除的数各数位数字之和必能被9整除；h)能被10整除的数个位数必为0i)能被11整除的数从左向右，奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除；j)能被12整除的数同时满足3和4整除的条件；3)绝对值a)定义|a|=a(a0),=0(a=0),=-a(aa(a0)=xa或x-a=0d)三角不等式|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|左边等号成的条件ab=|b|右边等号成立条件ab0|a|-|b|=|a-b|=|a|+|b|左边等号成的条件ab0且|a|b|右边等号成立条件ab=04)比和比例a)比a:b b)比例a:b=c:d c)正比y=kx（k不为零）则称y与x成正比，k称为比例系数d)反比y=k/x（k不为零）则称y与x成反比，k称为比例系数e)比例基本性质a:b=c:d?ad=bca:b=c:d?b:a=d:c?b:d=a:c?d:b=c:a f)重要定理更比定理?=?=?反比定理?=?=?合比定理?=?=?分比定理?=?=?g)等比定理?=?=?=?（b+d+f0）=h)增减性变化关系（a，b，m）0）若?1,?反之也成立;5)平均值a)算术平均值设n个数?，?，?，则x算术平均值=?b)几何平均值设n个正数?，?，?，则?=?c)基本定理:算术平均值不小于几何平均值?当且仅当?=?=?=?等号成立等n=2时，正数?，?的几何平均值成为?的比例中项；a+b2?(a,b0)a+?2(?0)，当且仅当a=?时取最小值2，a=1； (三三)整式分式和函数1.相关公式(a+b)(a-b)=a?b?a?+2?+b?=(a+b)?a?-2ab+b?=(a?b)?(a+b)?=a?+3a?+3?b?+b?(a?b)?=a?3a?+3?b?b?(a+b)(a?+b?)=a?+b?(a-b)(a?+?+b?)=a?b?12(a?b)?+(b?c)?+(c?a)?=a?+b?+c?(a+b+c)(a?+b?+c?)=a?+b?+c?3?2.因式定理余式定理 (四四)方程和不等式1)基本概念和定义a)一元一次方程含有一个数，且数最高次方是1的方程，一般式ax=b(a0)b)一元二次方程一般式为ax?+bx+c=0(a0)令=b?4?则0有两个不等实根?，?=?4?2?=0有两个相等实根?，?=?2?0开口向上a0时有最小值?，当a0=00)的图像一元二次方程ax?+bx+c=0(a0)的根有两相异实根?，?有两相等实根?=?=?无实根ax?+bx+c0(a0)的解集x|x?2x|x?R ax?+bx+c0)的解集x|?b,bc=ac b)同向相加性ab.cd=a+cb+d c)同向皆正相乘性ab0,cd0=acbd d)皆正倒数性ab0=?0e)皆正乘方性ab0=?05)二元一次方程组(略)6)二次函数三种形式一般式y=ax?+bx+c(a0)顶点式y=a(x?h)?+k(a0)两根式y=a(x-?)(-?)(a0)7)指数函数和对数函数名称指数对数定义?=?=?(?叫做以a为底的对数)关系式?=?=?(a0,a1,N0)运算性质?+?=?(?)?=?(?)?=?=1,?=1?(?0)?+?=?(?)?=?(?)?=?(?0,?0,?0,?1)?=?表达式y=?(?0,?1)y=?(?0,?1)性质定义域R值域（0，+）恒过（0,1）当a1时，在R上是增函数当01时，在（0，+）上是增函数当0 (五五)数列a)数列按照一定次序排列的一列数叫做数列，记做?;通项公式?=?(n)，前n项和记为?=?+?+?;已知?求?，?=?(?)=?=?=1?,?2基本公式1+2+3+n=?(?)?1+3+5+(2n-1)=?2+4+6+2n=n(n+1)1?+2?+?+?=n(n+1)(2n+1)21?+2?+?+?=n(n+1)2?b)等差数列通项公式?=?+（?1）?=dn+（?）前n项和公式?=?(?)?=n?+?(?1)?=?+?常用性质1.若m+n=k+t,则?+?=?+?2.a,b,c成等差数列，则2b=a+c3.?成则?中等距的三项也成等差数列4.?是等差数列，?为其前N项和，则?,?,?成等差数列c)等比数列通项公式?=?1?1=?前n项和?=?,?=1?(?)?=?1当公比q绝对值|q|0;分?终B(?,?)中点603?)，则k=?),方程为y截距为b的直90/3直径对应的圆四边形有外接C20，则?弓积的一半=r?为多边形的边?(?)2+点在外时，点坐标为（?120-3?（?y-?=k(x-?)直线方程为y1xx/6圆周角等于90接圆=r2?-?r2?，若r2-?r2?边数+(?)20c)y=4x?x?(x?2)?+y?=4y=0-图形为上半圆，x=?y的表达式右半圆d)过圆上一点(a,b)的切线方程为圆(x?)?+(y?)?=r?，结论:切线方程为(a-?)(x-?)+(b-?)(y-?)=r?2)点与圆的关系点P(?,?),圆(x?)?+(y?)?=r?,点在圆的位置(?)?+(?)?r?,点在圆外3)直线与圆的关系直线方程为y=kx+b,圆(x?)?+(y?)?=r?,d为圆心(?,?)到直线l的距离直线与圆的位置关系成立条件代数相离dr?),d为圆心(?,?)与(?,?)的圆心距。 两圆位置关系成立条件内功切线外公切线外离d?+?22外切d=?+?12相交? y=x?2?关于x=2的对称方程为将将4-x，y作为x,y带入原方程即得出 (三三)立体几何1.长方体设三条相邻的棱边长为a,b,c全面积F=2(ab+bc+ac)体积V=abc体对角线d=?2+?2+?2所有棱长和l=4(a+b+c)当a=b=c时，?全=6?V=?d=3a2.柱体圆柱V=r?h侧面积S=2rh全面积S=2rh+2r?3.球设球半径为r球表面积S=4r?球体积V=?r?4.长方体、正方体、圆柱与球的关系设圆柱底面半径为r，球半径为R，圆柱的高为h内切球外接球外接半球长方体无，只有正方体才有体对角线l=2R2R=?2+?2+(2?)22?为高正方体棱长a=2R体对角线l=2R（2R=3a）圆柱只有轴截面是正方形的圆柱才有，此时有2r=h=2R2R=?2+(2?)25.补充周长一定的平面图形，越接近圆，面积越大；表面积一定的立体图形，越接近圆，体积越大。 三排列组合部分 (一一)基础知识1.加法原理做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类有M2种方法，,第N类方式有Mn中方法，则完成这件事情总共有M1+M2+MN中方法。 注意事项按类型划分每类方案中的每种办法均可单独完成各类之间无交集2.乘法原理做一件事情，完成它需要N个步骤，第一步有M1种不同的方法，第二步有M2种不同的方法，第N步有Mn种不同的方法，则完成这件事共有M1*M2*Mn种方法。 注意事项按步骤划分只有所有步骤均完成，该事件才算完成各类之间有交集3.加法原理和乘法原理的区别一个数据结束后，该事件是否完成，如果完成，紧接的数据使用加法；如果未完成，紧接的数据使用乘法。 4.排列定义1)定义从n个元素中，任取m个（mn）元素，按照一定的顺序将所取出的m个元素排成一列，所有排列的个数记为Pm n（或Am n）。 2)计算公式Pm n=n(n-1)(n-1)(n-m+1)=?!(?)!5.组合定义甲乙丙丁122*34*21+1)定义从n个元素里，每次取出m个元素，放在一起，称为组合，所有组合的个数称为组合数；2)计算公式Cm n=Pm n/m!6.排列组合区别区别选出元素的归属是否相同，相同用组合，不同用排列。 (二二)排列组合知识题型思维导图两个原理两个定义两个公式加法乘法是否完成排列组合归宿排列公式组合公式打包法（模板）插孔法（模板）打包+插孔（模板）可重复（模板+结论）至多至少（模板）特殊条件排序（模板）元素分类（模板）分组定序（结论）元素对应（模板）插板（结论）抽屉原理（模板）不全选(模板)全选(模板)取鞋(模板)错排(结论) (三三)排列组合题型解读 (一)打包问题1.例题8人排成一排，要求甲、乙、丙必须相邻。 2.解题1)甲乙丙三人打包为一个，然后在一个包内排序，即A332)将此包和剩下元素一起排序，即A66；3)两步完成最终排序，所以相乘A33A66；3.表象*必须相邻4.模板1)相邻元素部分打包（包内排序）2)把每一个包计为一个元素和其余元素一起排序 (二)插孔问题1.例题8人排成一排，要求甲、乙、丙均不相邻的排法；2.解题1)先排剩下的5个元素，即A55；2)将甲乙丙三个元素插入|五个元素的6个孔中并排序，即A363)两步完成最终排序，相乘即可A55A363.表象*不相邻（或类似意思）4.模板1)先排无要求部分2)不相邻部分插孔（注每孔直插一个两边可插）3)打包和插孔往往不能看作对立面，只有两个元素为特殊时，才可以 (三)打包+插孔1.例题8人排成一排，要求甲乙不相邻，而乙丙必须相邻。 2.解题乙丙相邻A22剩下5个元素排列A55甲乙插孔6个位置A26。 三步结果相乘A22A55A263.模板先打包，再插孔4.补充题8人一排，要求甲乙必须相邻，而乙丙丁不相邻A22A44A25（只有5个孔）补充题8人一排，要求甲乙不相邻，而乙丙丁必相邻A44（2/3*A33A15+1/3*A33A16） (四)可重复排序1.例题5人挣3金牌2.解题533.表象元素或者位置两者中有一类可以无限制重复使用4.模板让不重复元素找重复的5.结论可重复元素不可重复元素6.表现形式5人挣3金3信投2信箱5人进4馆(箱，房)从 1、 2、 3、 4、5中任取3个组成可重复的三位数(注:下划线表示可重复) (五)分组定序1.结论制约因素元素(不同)、组、组内个数13因素均不同先分组*组的排序22因素不同（只）分组（自动排序）31因素不同先分组/组的排序4如果出现某一因素部分相同，先将该元素记为不同，再除以相同部分的重复排序2.例题12人分为三组(不同)，一组6人，令两组各三人C612C36C36A33/A22例题10人，4组不同，2组各三人，另两组各两人C310C37C24C22A44/A22A22 (六)插板1.例题10个蛋，分给4个人，每人至少一个C34例题12个三好学生名额，分给4个班每班至少2个解先选4个名额分别分给4个班，每班一个，剩下的8名额使用插板法C37例题30份人民日报分给编号为1-5的5个部门，要求每个部门得到的报纸不小于其编号（先均减去1个，然后在按照至少放入一个进行C419）1234501234=1=2=3=4=5例题a+b+c+d=10，有多少非负数解？1)分成10个1,2)借蛋法a bc d都借出1个，均剩下-1，而原有数目变成14，此时在按照插板法进行C3132.结论条件元素相同组不同组内无要求但非空结论Cm-1n-1(n个元素，n-1个孔；分为m组，只需m-1个插入孔) (七)至多至少问题A.元素不全选1.例题5男4女共9名老师，现任选3人要求至少1男2.解法C15C24+C25C15+C35C39-C343.模板分类讨论找对立面（注元素不全选的至多至少问题决不可将剩余的不同类型的元素放在一起重新选，否则会导致不同步骤间相同类型元素的重复排序）B.元素全选1.例题5个插班生分别插入4个班中，每班至少1个C25C14A332.注意元素全选的至多至少问题，必须先分组再排序，否则会导致进同一组元素间仍未排序 (八)元素对应A.错排形