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证明：无理数比有理数多证明之前需要清楚以下几个概念和定义。1、有理数包含整数和分数，任意一个有理数可以化成a/b，a、b为整数且b不等于02、无理数是无限不循环小数，是一切不属于有理数的实数。3.证明两个数集一样多可以用一一对应的方法。可数集合是指能和自然数一一对应的集合。例如偶数 2 4 6 8 10自然数1 2 3 4 5 6 7 8任意一个自然数n，都可以有偶数2n与之对应。所以整数与偶数一样多。偶数集是一个可数集合。-首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。设集合A=a1,a2,a3.,B=b1,b2,b3.且A,B集合均为可数集合也就是A: a1 a2 a3 . B: b1 b2 b3 .分别与自然数相对应1 2 3 . 1 2 3 .则AB合集a1,b1,a2,b2,a3,b3. 可与自然数一一对应a1 b1 a2 b2 a3 b3 .1 2 3 4 5 6 .所以两个可数集的合集是可数集。下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b)因为a为整数，b为不为0的整数，所以a、b都是可数的。设a=1,则可以得到新的集合Ca=(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2).因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。设b=1,得到集合Cb=(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1).同上，Cb也是可数集合。根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。然后证明，实数集是不可数的。设一个无理数H=0.abcdefgh. ,a,b,c,d,e,f,g,h.是1-8间的正整数。假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,.则H=0.42347635.假设0和1间的所有实数是可数的。设它的集合X=x1,x2,x3,.x1 x2 x3 x4 x5 .1 2 3 4 5 .设a和x1小数点第一位不同b和x2的小数点第一位不同c和x3的小数点第一位不同根据已设条件，无理数H小数点后每一位都在1-8之间。也就是H不可能为0.0000000.=0 或者 0.999999999999.=1所以H也在0和1之间又因为 a和x1小数点第一位不同b和x2的小数点第一位不同c和x3的小数点第一位不同所以H不可能出现在X集合里，也就是H不在01之间由此出现前后矛盾，01之间的实数应为不可数。所以实数也是不可数的。最后证明无理数是不可数的。根
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