不用法向量求二面角的简单方法.doc

不用平面法向量求二面角的简单方法 上海市七宝中学 文卫星 （201101）内容提要：求二面角的平面角，综合法作二面角较难，求平面法向量的方法较繁，还要根据图形判断是锐二面角还是钝二面角. 本文给出不依赖于求两个半平面法向量的方法，且计算量也不大.关键词： 求二面角大小 作棱垂直的向量立体几何较难的是求二面角的平面角，传统的综合法作二面角较难，空间向量的方法写起来繁，同时求二面角的大小需要判断是锐二面角还是钝二面角，有时要依赖观察，但在复杂的立体图中，要准确判断有时是困难的.在本文结合2013年高考题，给出一种不依赖于求两个半平面法向量的方法，且计算量相对于求法向量来说也不大. 设二面角分别是二面角的棱的两点，点分别在半平面内，且，则与（或与）所成的角就是二面角的平面角. 这种方法就是要分别过两个半平面内的点（两点在棱上时可以重合）作与棱垂直的向量，这两个向量所成的角就是二面角的平面角.现举例说明应用.例1（2013年山东理科）如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.（）求证：AB/GH；（）求二面角D-GH-E的余弦值.解 ()证明:因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以,所以, 又平面,平面,所以平面.又平面,平面平面, 所以, 又,所以. （）在中, , 所以,又平面,所以两两垂直, 以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则. 由()知 平面，因，所以平面，所以就是二面角D-GH-E的平面角，设. 在直角坐标系中，直线的方程为，直线的方程为，解得，即.，则 即二面角D-GH-E的余弦值.本例正好作出二面角的平面角，相比较求两个平面法向量的方法要简单的多. 例2 （2013年大纲版理）如图,四棱锥中, ，与都是等边三角形.(I)证明: (II)求二面角的大小.解 连BD，取BD中点O，连AO并延长交BC于E，则ABED是正方形.因PB=PD，所以POBD，同理，POAE，所以PO平面ABED.以O为原点，以OE，OB，OP所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.(I)因，所以，所以.(II) 设中点，则，且，.设为上一点，设，则，即.令，则与所成的角就是二面角的平面角，设为.因，由解得.， 即二面角的大小为注 本题要设上一点，使，在实际解题时，并不要在图形中画出.确定还可以用三点共线的充要条件来求.设，即.又，由得，所以. 比较而言，这种方法计算量可能会小一点. 例3 （2013年四川理）如图,在三棱柱中,侧棱底面,分别是线段的中点,是线段的中点.()在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;()设()中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值.解 如图,在平面内,过点做直线/,因为在平面外, 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, /平面. 由已知,是的中点,所以,则直线. 因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系. 则,.因为为的中点,所以分别为的中点, 故,所以,. 设为上一点，设，即，由得，. 设中点为，因，所以，所以与所成的角就是二面角的平面角，设为.因，所以，所以.二面角的余弦值为. 第中，如果不是中点，可设，由求坐标的方法知，也就是说，此时的坐标是共用的，再由，分别求出的值，这样计算量就会小一些.总之，本文介绍的方法既不用判断是锐二面角，也不用判断是钝二面角，且计算量也不超过求两个平面法向量的方法，读者不妨一试. 参考文献文卫星.挑战高考数学压轴题，华东师大出版社，2013.8 .邮箱： 电话者简介：