两角和差教案3.doc

3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。思考1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式： （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差. 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以点评：注意角、的象限，也就是符号问题. 思考：本题中没有，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：解: 2教材P127面1、2、3、4题（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系（六）作业：P127 2,3,43.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式： （2）？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式. 探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到注意： 5、将、称为和角公式，、称为差角公式。（三）例题讲解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因为是第四象限角，得， ，于是有： 思考：在本题中，那么对任意角，此等式成立吗？若成立你能否证明？ 练习：教材P131面1、2、3、4题例2、已知求的值（）例3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：（1）、；（2）、；（3）、练习：教材P131面5题（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.（五）作业：P131 2,3,43.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换。二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）基本公式 （2）练习：教材P132面第6题。思考：怎样求类型？（二）新课讲授例1、化简解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.归纳：例2、已知：函数（1） 求的最值。（2）求的周期、单调性。例3已知A、B、C为ABC的三內角，向量，且，（1） 求角A。（2）若，求tanC的值。练习：（1）教材P132面7题 （2）在ABC中，则ABC为（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 （2） （ ） A 0 B2 C D思考：已知，求三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换四、作业：P132 5,6,73.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， 练习：（1）在ABC中，则ABC为（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 （2） （ ） A 0 B2 C D思考：已知，求我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），（二）公式推导：；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例题讲解例1、已知求的值解：由得又因为于是；例2在ABC中，例3已知求的值解：，由此得解得或例4已知（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（五）作业：教材P135面1、2、3、4、5题 3.2简单的三角恒等变换（一）一教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台 例1、试以表示解：我们可以通过二倍角和来做此题因为，可以得到；因为，可以得到又因为思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点例2已知，且在第三象限，求的值。例3、求证：（）、；（）、证明：（）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手；两式相加得；即；（）由（）得；设，那么把的值代入式中得思考：在例3证明中用到哪些数学思想？例3证明中用到换元思想，（）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式三小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用四作业：P142面1、2、3题。3.2简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如的函数转化为的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。难点：三角恒等变形。三、教学过程（一）复习：二倍角公式。（二）典型例题分析例1： ；解：（1）由得（2）例2解： .例已知函数（1） 求的最小正周期，（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用例4若函数上的最大值为6，求常数m的值及此函数当时的最小值及取得最小值时的集合。（三）练习：教材P142面第4题。（四）小结：(1) 二倍角公式：(2)二倍角变式：(3)三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有切割化弦；“1”的变用；统一角度，统一函数，统一形式等等（五）作业：教材P146面第3,6题。3.2简单的三角恒等变换（三）教学目标（一） 知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式（二） 过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题（三） 情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能力教学重点和、差、倍角公式的灵活应用教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记COPa，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l，则面积，所以当且仅当即时，取得最大值，此时S取得最大值，矩形的宽为即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为、，所以面积.而，所以，当且仅当时，S取最大值，所以当且仅当即时， S取最大值，此时矩形为内接正方形.PQRSO变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值解：设则故S四边形PQRS故为时，课堂小结 建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业 1. 阅读教材P.139到P.142; 2. 教材P147面第3,6,7题。第三章 三角恒等变换复习（一）教学目标：1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一个知识框架网络.2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.教学重点：运用公式求值、证明恒等式.教学难点：证明恒等式教学过程一、基础知识复习（略）二、作业讲评习案作业三十五中的第5、6题.三、已知三角函数值求三角函数值四、证明恒等式五、课堂小结1. 给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，需结合角的范围确定角的符号；2. 证明三角恒等式时，要灵活地运用公式.六、课后作业教材P.146第8题第(3)、(4)问； P.146第1、2、3题； P.146第4题第(1)、(2)、(3)问； P.147第3题；第三章 三角恒等变换复习（二）教学目标：1. 综合运用知识解决相关问题.2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.教学重点：运用知识解决实际问题教学难点：建立函数关系解决实际问题.教学过程一、作业讲评习案作业P.196的第5、6题.二、例题分析4. 已知直线l1l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2 . B是直线l2上一动点，作ACAB，且使AC与直线l1交于点C，求ABC面积的最小值.5. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.当ABC的周长为2时，求PCQ的大小.三、课堂小结本节主要讲运用公式解决有关问题：最值问题、存在性问题.四、课后作业习案作业三十六.第三章 三角恒等变换复习（三）教学目标：1. 综合运用知识解决相关问题.2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.教学重点：运用知识解决实际问题教学难点：建立函数关系解决实际问题.教学过程一、作业讲评习案P.192的第3题习案P.194的第6题习案P.196的第5题二、例题分析1. 已知直线l1l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2 . B是直线l2上一动点，作ACAB，且使AC与直线l1交于点C，求ABC面积的最小值.2. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.当ABC的周长为2时，求PCQ的大小.三、课后作业学案第三章单元检测卷.2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学思路： （一）一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）ABCD结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习A(起点) B（终点）a1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：用有向线段表示； 用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作.（四）理解和巩固： 例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）三、小结 ：1、 描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示； 3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。四、课后作业： 书本77页练习1、2、3题2.1.2 相等向量与共线向量教学目标：4. 掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.5. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.6. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路： (一)、复习1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？(二)、新课学习 1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.四、理解和巩固：例1如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）例2判断：（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.课堂练习：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 、正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.三、小结 ：2、 描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、共线向量与平行向量关系、相等向量。四、课后作业： 2书本77页练习4题2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：A BCA BCA B CC A B（4）船速为，水速为，则两速度和：二、探索研究：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）ABCa+ba+baabbaa如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a， 规定： a + 0-= 0 +aa a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时， |+|+|；什么时候|+|=|+|，什么时候|+|=|，当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|0时与方向相同； 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（）三、讲解范例：例1证明：()例2已知|a|=12， |b|=9，求与的夹角。例3已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|. （ 利用 ） 例4已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 四、课堂练习：1P106面1、2、3题。 2下列叙述不正确的是（ ）A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律C. 向量的数量积满足结合律 D. ab是一个实数3|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直 4已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.五、小结：1平面向量的数量积及其几何意义；2平面向量数量积的重要性质及运算律；3向量垂直的条件.六、作业：p101 5.6.7 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难