氘核中子与质子的相互作用.doc

原子核与粒子物理课程论文氘核中子与质子的相互作用摘 要： 核子间相互作用力简称核力。研究中子和质子的相互作用时，氘核是一个最简单而且有用的例子。本文从量子力学里最常见的方势井和有心力模型出发，通过求解氘核基态波函数来分析核子之间的相互作用。通过和现有实验数据的对比，说明模型的正确性和不足，进而采用高斯作用势，利用数值方法求解波函数。关键词：有心力；方势井；薛定谔方程；数值解.(1)1. 球形方势井假定核力是有心力。在质心坐标系中，氘核基态波函数满足222+Vrr=Er其中，=MnMpMn+Mp，因为中子和质子的质量近似相等，所以Mp2。Vr表示质子与中子的间位能。束缚态能量E=-B=-2.226MeV，所以B表示核子间的结合能。(2)由于基态的s波部分只包括径向波函数，所以可以设r=Rr=urr。若只考虑径向部分，拉普拉斯运算满足2r=1r2ddrr2drdr。所以，2urr=1rd2urdr2。薛定谔方程(1)可以化简为d2urdr2-2Vr2ur+2E2ur=0(3)令2=-2E2，vr=-2Vr2，得到方程d2dr2+-2+vrur=0ur满足边界条件u0=0，u=0。(4)简单起见，假定Vr为球形方势井，即Vr=-V0,rb图一 势能分布函数(5)方程(3)变为d2dr2+K2ur=0,rb(6)其中，K2=2V02-2=22V0-B。由此，可以得到解ur=C1sinKr,rb考虑到波函数的物理意义，概率密度函数只与urr有关，所以C1和C2可以取正实数。图二 约化径向波函数(7)为了确定待定常数C1和C2，需运用波函数的连续性和归一化条件。ur在r=b处连续，所以C1sinKb=C2e-b(8)基态波函数r=urr=C1sinKr/r,rb(9)对r2在全空间进行积分，即02d0sind0r2r2dr=1(10)得到4C120bsin2Krdr+C22be-2rdr=1(11)解出C122b-sin2Kb2K+C222e-2b=14(12)结合之前得到的关系式，可以得到关于C12和C22的二元方程组，即sin2KbC12-e-2bC22=012b-sin2Kb2KC12+e-2b2C22=14通过二阶行列式可以很容易解出C12和C22的值，进而求得C1和C2的值。(13)另外，由于势井的深度有限，所以 ur的一阶导数在r=b处也连续。所以有kC1cosKb=-C2e-b(14)结合式和式，不但可以确定待定系数C1和C2的值，还可以解出束缚态能量。式(7)除以式(13)，得到tanKb=-K/令Kb=x，可以得到关于x的超越方程tanx=-xb。利用图解法，在坐标系中画出函数y=tanx和y=-xb左右两边两个函数的图像能够求到数值解，也可以采用计算机进行数值求解。（见附录）值得注意的是，外部波函数的梯度ur=-C2e-r0。假设氘核只有一个束缚态，则内部波函数C1sinKr在r=b处必定是刚刚开始下降，即Kb=2+，为一小量。如果B=0，则Kb=2，此时V0与b之间满足V0b2=2222224Mp。对于实际的B来说，V0b2比224Mp稍大，也就是说，势井的深度与宽度之间满足一定的约束条件。以上所讨论的模型都十分粗略和简单，我们可以结合已知的实验数据对建立的模型加以修正。1) 氘核是由一个质子和一个中子组成的稳定核，它只有一个束缚态（这点与之前的假设一致），核自旋J=1；2) 结合能B=2.2260.002MeV；3) 磁矩D=0.8574110.000019核磁子；4) 电四极矩QD=2.7350.01410-27cm2。由此，能够看出实验结果和模型假设之间的一些矛盾。因为既然认为氘核处于基态，其s波函数是球对称的，就不会有电四极矩。如果核子间相互作用是有心力场，则轨道角动量是运动常数，氘核基态必然只能有一定的轨道角动量。S态不可能和其他态混起来，所以QD0表示核子间位能不可能全是有心力场。但由于QD和D-p-n的数值比较小，为了估计有心力的大小，略去这些是合理的。2. 高斯型作用势(15)以上的讨论比较简单，当质子与中子的相互作用势变得相对复杂时，想要求得波函数的解析解是几乎不可能的。所以以下给出氘核基态波函数的一种数值解法。选取高斯形式的相互作用势，即Vr=-V0e-r/r02(16)结合相关的文献3，V0=72.194MeV，r0=1.484fm。根据式(2)得到方程ur=Aur其中，A=22Vr-E，基态能量E=-2.226MeV。由于氘核的半径很小，对上式的求解取r的范围为：r(0,25fm)。把r所属的区间进行均匀的n等分，每个区间的长度为h，第i个区间的起点为ri，终点为ri+1。将ri+1和ri-1处的约化径向波函数在ri点进行泰勒展开，uri+1=uri+huri+h22uri+h36uri+h424u4ri+h5120u5ri+h6720u6ri+uri-1=uri-huri+h22uri-h36uri+h424u4ri-h5120u5ri+h6720u6ri+(17)两式相加，得uri+1-2uri+ uri-1=h2uri+h412u4ri+h6360u6ri+(18)经过简单的推导，可以将式的微分方程化成如下：uri+12+56h2Ariuri-1-h212Ari-1uri-11-h212Ari+1即约化径向波函数满足的三点中央差分递推公式。要确定这个波函数的具体数值，需要知道ur1和ur2两点的数值，ur1=0是已知的，但ur2的数值不好确定，简单起见，取一个小的整数来近似表示ur2。通过Matlab软件，可以通过循环迭代方式求出每一点的波函数，然后画出ur的图像（见附录）。3. 结论本文介绍了两种作用势模型下质子与中子的相互作用，并给出了两种模型的计算方法，分析了两种方法的合理性和优缺点，着重介绍了常用的科学计算方法。但由于缺乏数据和相关的研究，并不能和真实的情况进行对比。参考文献：1 杨立铭，于敏原子核物理讲义M. 北京：北京大学出版社，2014：6-8.2 杨福家. 原子物理学M. 北京：高等教育出版社，2008：300-307.3 李小华，张贵清等. 氘核基态波函数的数值解J. 广西物理，2011，32(4)：11-13.附录图三 函数y=tanx与y=x/2的图象数值方法求解超越方程，可以使用简单的二分法进行计算。但利用二分法的前提是待求解的方程必须在给定的区间内单调连续，否则会得不到正确的解，所以可以先做出相应的图形，通过简单的计算大致判断根所在的区间。本文利用C语言来编写此算法，并以一个具体的函数作为例子进行求解。源代码如下：#include#includedouble fun(double x);double findroot(double a,double b);int main(void)double a=1.8,b=2.5;/选定的初值区间为1.8,2.5double value=findroot(a,b);printf(%gn,value);return 0;/待求解的方程为tanx=-x/2double fun(double x)double y;y=tan(x)+x/2.0;return y;/二分法求解double findroot(double a,double b)double x1,x2,x0;double root=0;x1=a;x2=b;if(fun(x1)*fun(x2)0)printf(重新选择计算区间！n);elsewhile(fabs(x1-x2)1e-6)/计算结果的精度x0=(x1+x2)/2.0;if(fun(x1)*fun(x0)0)x2=x0;elsex1=x0;root=(x1+x2)/2.0;return root;运行结果为：2.28893%-数值求解高斯形式相互作用势下的波函数-%clear;clc;n=500;r=linspace(0,25,n+1);%等间隔插入个n+1个点，将区间均分成n段h=25/n;%步长%质子质量为938MeV/c2，c=197fm*MeVA=938/1972*(-72.194*exp(-r.2/1.4842)+2.226);u=zeros(1,n+1);u(2)=0.0025;for i=2:n u(i+1)=(2+5/6*h2*A(i)*u(i)-(1-h2./12*A(i-1)*u(i-1)/(1-h2./12*A(i+1);endu=u/max(u);plot(r,u,.-r),xlabel(r/fm),ylabel(u(r),set(gca,ytick,);grid on,box on,title(约化径向波函数);图像如下：图四 波函数图像值得说明的是，由于带入数据的精度和初始条件的设定合理性，会使得求解出的函数存在很大的偏差，原因是波函数的边界条件应该是u0=0，u=0。但在进行数值求解时必须知道的是前两点的数值，这就给求解带来了一定的困难。但从定性的角度