勾股定理的探究.doc

探究勾股定理教案说明库尔勒市八中 龚海英探究勾股定理的授课内容为人教版八年级下册第十八章勾股定理的第1课时，探究的是直角三角形三边的关系，笔者从以下几个方面来说明教案设计的内容：一、勾股定理的数学本质与教学目标定位标准中规定“数学教学的本质就是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程”。在本课中，创设了置疑、发现、探究、猜想、验证、应用、拓展一系列活动，是一个完整的过程。通过这个过程，使学生对勾股定理从“形的勾股定理”的认识到“数的勾股定理”，从特殊等腰直角三角形三边关系的发现到一般直角三角形的探寻，通过学生的建构感获得对勾股定理深刻的认识和理解，下面逐一对各个活动环节进行说明。1、在创设问题的情境中：通过古巴比伦人留下直角三角形三边长的数字让学生了解人们寻求直角三角形各边联系这个核心问题。这也为后面的发现活动规定了方向，学生从已有知识体系中搜寻不出，进一步促进了求知的欲望，在这一活动中，教师主要作用就是激发求知欲，引领入问题中心。2、在勾股定理的发现活动中，数字本质就是培养学生用数学的眼光看待问题，在思维上需跳跃到面积的角度来发现问题。在这个活动中，学生学会从形状、大小、面积等数学特征来发现描述。教师可以适时地启发学生从面积的角度去思考问题，引领学生发现直角等腰三角形中三边的关系。学生在此活动中可以交流展示发现的结果，体会不同的视觉，得到的不同结果。3、在探究活动中，学生从发现活动中建立了直角等腰三角的三边关系，由特殊到一般的思维模式，在一般直角三角形进行实验探究。此环节的数学本质为培养学生解决问题的能力，“实验什么？”“怎样进行实验？”要测量是体会测量是一种直接，实效的方法，测量采用工具，有网格图中单位面积度量和几何画板的测量工具两种，网格图的过程虽繁琐，但隐蔽面积的割补拼合思路，给学生后面勾股定理的证明提供了源泉。几何画板的快捷与动态可以测量更多的三角形但使学生得到的猜想，但缺点是隐藏了过程。这两种测量活动结合起来，学生较为容易得出猜想。在一般直角三角形中斜边的正方形面积等于两直角边的正方形面积之和。在测量活动中，学生学会怎样教学的解决问题。在猜想中，体会数学是用来刻画客观事物规律的。是在变化中追寻出的一种稳定的规律。4、在验证活动中，有了猜想环节中的网格图中的启发，对面积的割补，让学生亲自动手进行拼合来验证，这种新的，利用面积来证明的方式，建构在学生默会的拼合知识上与学生知识结构中已有的完全平方公式的基础上。只要不重合，不留空隙，拼接前的面积与拼接后的面积相等，促进学生对这种数与形结合证明方式的了解。让学生交流、展示、完善证明过程，完整建构勾股定理这一完整过程。在众多的证有中，需介绍赵爽弦图中的证明，引导学生去体会这种巧妙的拼凑，去感知赵爽的智慧，这样，学生对智者的敬祟，对弦图、数学会徽、数学书的封面设计才会有更多认识。在这一活动中，数学的本质较多地体现在对学生的形象思维发展的培养上，体会这种由直接经验代替了传统、严谨的演译推理。6、在应用活动中，设置了勾股定理在形与数上的运用。对学生而言，又是一次对勾股定理的认识与强化。意在培养学生解决问题与运用能力。7、小结的活动中，教师展示由勾股定理带的数学发展站在另一个角度看待勾股定理，更凸显勾股定理的核心地位，更重要的是理解在勾股定理的路上，不仅是数学家，更多的平凡人对此倾注的数学热情，在此，数学的本质是适时开拓学生视野，促使学生获得终生学生的愿望和对数学的热情。二、勾股定理内容分析勾股定理是欧氏平面几何一个核心结果，由于勾股定理的发现，促进了几何与人数的发展，在代数方面，无理数的发现，数的开方方法，对勾股数的追寻，引发了不定方程的解的讨论，得到费马大定理，在几何方面，促成了解析几何及三角学的建立，使几何与代数付合起来，使数与形统一起来，更好地反映客观规律，由此可知：勾股定理的影响是非常深远。三、教学诊断分析：学生在学习这一内容时，容易了解的由探究活动中的得出猜想，容易误解的地方有以下几点：在知识上，对“a2+b2=c2”不注意字母所代表边的具体含义，容易记住形而上的形式。在方法上，容易误解证明的方式只有严谨的演绎推理，这种面积证法，还须介绍。在思考问题上，在探究猜想环节，容易误解实验了多次成立，也就一定成立，没必要证明。四、勾股定理探究的教法特点以及预期效果分析本节课运用的教学方法是“启发探究”式，以几何画板为平台的辅助下，采用教师启发引导，学生独立思考，自主探究和学生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、发现、思考、探索的时间和空间，做学生完整地建构成勾股定理的知识内容。预期效果分析：不同程度的学生会在这节课上达到不同程度的发展，绝大多数学生在勾股定理知识与构成上和情感态度上得到较多的发展。但在知识能相连结区，学生的发展有差异，如斜边正方形面积为2，斜边为 ，有些同学阅读量大就容易与无理数的发现连结起来，无此知识的储备的学生就感到很平淡。在证明的技能上，思维水平的差异也会导致推理的差异以及反思，归纳的水平，有的同学从面积拼揍和证明中找到证明勾股定理一种途径，有的同学只能了解这种方法，有的同学会从活动的各个环节中综合出解决问题的方法，用数学眼光发现问题，思考问题，有的同学在此也许发展得较慢，总之，每个学生在教学目标上到达的效果是不一样的，但却有不同程度上的发展。总之，通过对勾股定理的控究，感染着每一个接触它的人，它所反映了的客观规律，它的地位与作用，它的思想的方法，它所繁衍出的知识，以及人们对它的倾注的热情，使教师和学生在相应的区域获得不同的发展。勾股定理的探究选自义务教育国家课程 标准实验教科书（新人教版）八年级下册十八章“勾股定理”一章一、学生起点分析：知识技能基础：学生在课外阅读中对“勾三、股四、弦五”有所了解，但都比较零散、模糊，只有粗浅程度上的认识；学生在学习完全平方公式对用面积的拼凑来证明等式有一定的认识，但这种面积证法，学生见得少，感到陌生，尤其觉得不严谨的推理证明。但根据生活的经验能得到拼补前的图形的面积与拼补后的面积在无重复无空隙的条件下相等。可以让学生去理解尝试这种证明方式，去发展合情推理能力和体会数形结合的思想。二、教材分析：“勾股定理”是几何中的一个核心定理，它揭示了直角在角形三边之间的数量关系，将数与形统一起来，是学生学习三角学的基础。根据教材的内容让学生亲历“发现探索猜想验证”之旅，把学生的探索与验证活动放在首位，一方面要求学生在老师引导下进行探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思方法有一定认识。三、教学任务分析知识技能：1、了解勾定理的文化2、体验勾股定理的探索过程3、运用勾股定理进行简单计算数学思考1、在对勾股一理的发现中培养由特殊到一般的数学思维方式以及归纳能力2、在对勾股定理的理对中体会数形结合的思想解决问题1、在对勾股定理的验证中体会面积证法这种直观的证明方式2、在探究活动中，学会与人合作并与他人交流思维的过程与探究的结果情感态度1、通过对勾股定理历史与发展的了解，感受数学文化，加深学生数学素养2、在探究活动中体验数学的解决问题的多样性，培养合作交流意识和探索精神重 点探索和证明勾股定理难 点勾股定理的证明四、教学过程 问题与情境第一环节：追溯展示七年、八年级九年级教科书各一本（2）仔细观察封面设计你发现什么？（2）图片反复运用的图片到底有何奥妙呢？追溯人们对勾股定理认识历史和探索 师生行为教师展示教科书；学生观察图片发表见解教师展示图片介绍3500年前人们对直角三角形边的零散，模糊认识和人们一直思考在三边中想寻找数量关系 设计意图从日常的、天天熟悉数学书封面入手去激起学生的疑问。“一门学科就是它的历史”让学生体会人们对三角形三边关系探求历程第二环节：神奇的发现学生从规则的形状中发现直角等腰三角形的结论（1）：一位智者在观察地板图案时有了惊人发现，仔细观察你会有所发现吗？师生行为教师展示图片，简单介绍并提出问题，学生在几何画板中展示发现，并解释由来，学生归纳：（老师板演）在直角等腰三角形中，斜边正方形面积等于直角边正方形面积之和设计意图从最平凡无奇的观察中发现蕴含的深刻规律。培养学生用数学的眼光去观察事物，此处观察的角度是面积第三环节：探究1：一般的直角三角形有这样的结论吗？教师展示一般三角形画面2：怎样测得各边正方形的面积？师生行为教师展示网格图，介绍测量的方法是一种直观实效的实验手段，用单位面积的正方形小格去度量面积。学生测斜边正方形时，同桌交流并展示。设计意图渗透从特殊式到一般的数学思想。学生也许会复杂的推理，有进却忘记最简单、最直接的测量方式来研究问题 。在测得斜边正方形面积时有一定难度，学生交流得出“分解、弥补”等不同方式，为后面的证明提供了思路3:人们常说“勾三、股四、弦五”是什么意思？教师引导学生在网络中得到一般三角形三边关系。通过面积的测量，引导学生在网络中对“勾三、股四、弦五”的理解。4：斜边正方形面积为2那么斜边的长为多少？引导学生对斜边为2的直角三边形的认识与理解。5：你能寻找出规律吗师生行为：教师用几何画板工具中的面积测量工具，测量更多的直角三角形各多正方形的面积。学生总结猜想。（教师板演）直角三角形斜边正方形面积等于两直角边面积之和。引进字母a、b、c得到数的勾股表示：（老师板演）如果直角三角形边分别为a、b、斜边为c，那么a2+b2=c2设计意图：此处网络图中，设计两个常见的直角三角形，前者是加深对“勾三、股四、弦五”的真正理解，后者是体会勾股定理的应用导致无理数的出现埋下伏笔。现代工具的测量多的是提供数据，原始的网络测量却隐含多种思路，所以，几何画板的测量需放在网格后，但它可以快捷地帮助学生得到数据。环节四：验证如何来验证呢？解：从数的形式上a2+b2=c2与平方有关，与面积相关。从探索的过程来看，也与面积相关。你能从面积角度入手来证明吗？师生行为：教师展示给学生拼割的画面，学生独自思考，同桌交流，并展示完善自己的证明。设计意图“勾股定理”的证明是一个难点，学生通过网格中的割补拼接可以尝试用一种方式证明，但利用面积求证的方式较比，仍有部分学生会无从下手，因此安排了同桌的交流，来相互启迪来突破。交流应是思考后的交流，否则就流于形式和粗浅，交流后的完善也是一次证明的强化，故安排这样的活动顺序，“思考交流展示（判断正误）完善（强化）。”环节五：古人的智慧赵爽弦图的介绍 赵爽拼接之证明 会徽的介绍 教科书的封面的由来（1） 我国古代数学家赵爽是怎样巧妙的证明呢？你来试一试吧！师生行为教师展示弦图画面，学生动手拼凑，教师演示拼接过程，勾股定理的介绍。设计意图学生理解赵爽弦图存在的难点是把最后的静态结果留在脑海里，而忽略赵爽最初的原型与拼接过程，也就无法感知这种证明的巧妙，理解其它证明方法。在此，必须让学生有一个自己思考的方式来亲历赵爽的拼凑之路。环节六：应用简单应用：一是勾股定理的形的运用，在勾股树中求正方形的面积学生学习：在网格中求线段AB的长度和四边形ABCD的周长及面积：你会求四边形的面积及周长吗？在直角坐标系中你会求线段AB的长度吗？老师介绍情境在简单的勾股树中求面积，并出示图片，启发学生思考。设计意图此题非常传统、简洁，但求周长和面积时对四边形进行合理分割，可以检测学生是否掌握今天的思路与方法。利用几何画板，网格图，加轴就变成直角坐标系，让学生思考怎样求线段AB的长度，初步感知勾股