经典__最值问题.doc

第06单元 最值问题 “最大最小、最多最少、最长最短问题”，我们称之为“最值问题”.让我们翻开记忆，按照“最值问题”在课本中出现的顺序搜索一下：1、 两点之间线段最短；2、 垂线段最短；3、 不等式的最大（小）值；4、 二次整式最值；5、 线段和最小差最大；6、 勾股对称最短路径；7、 一次函数最优方案；8、 圆中最长弦是直径；9、 圆的最近（远）距离；10、 二次函数的最值；11、 平方和最小问题.以上所列，有的是同一问题，有的具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”），有的很少出现，为了简捷实用，我进行了整理，就以下几个问题展开：1、 两点之间，线段最短说明：“两点之间，线段最短”应用非常广泛，它常与三角形、轴对称、图形表面展开图等相结合，题目类型很多.（1） 线段和最小说明：此乃“两点之间，线段最短”与轴对称的结合题.通法：求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”：作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与另一点的线段与这条直线的交点即为所求，此线段长即为该最小距离.例6-1-1 几何模型（1） 如图6-1-1，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小. 图6-1-1 图6-1-1你作图的根据是： .（2） 如 图6-1-1，点A、B位于直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小.你作图的根据是： .模型应用：（3） 如图6-1-1，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 .（4） 如图6-1-1，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点E是线段CD的中点，K为线段BD上的任意一点，则CK+EK的最小值为 .（5） 如图6-1-1，抛物线与坐标轴交于点A（-1,0）和点B（0，-5）.点P在它的对称轴上，使ABP周长最小的点P坐标为 . 图6-1-1 图6-1-1 图6-1-114、（2013钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质3718684分析：由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可解答：解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小四边形ABCD是正方形，B、D关于AC对称，PB=PD，PB+PE=PD+PE=DEBE=2，AE=3BE，AE=6，AB=8，DE=10，故PB+PE的最小值是10故答案为：10体验与感悟 6-1-11、（1）如图6-1-2，在等边ABC中，AB=6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PB+PE的最小，最小值为 . （2）如图6-1-2，圆O的半径为2，点A、B、C在圆O上，OAOB，A=60，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 . （3）如图6-1-2，点D、E分别是ABC的AC、AB边的中点，BC=6，BC边上的高为4，P在BC边上，则PDE周长的最小值 . 图6-1-2 图6-1-2 图6-1-22、 （1）如图6-1-3，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 .（2） 如图图6-1-3，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则PQR周长的最小值是 .（3） 如图图6-1-3，锐角ABC中，BAC=45，AD平分BAC，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 .图6-1-3 图6-1-3 图6-1-3以下为补充习题：3、如图6-1-3，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 . 图6-1-34、 如图6-1-3，已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是 . 图6-1-3 图6-1-35、如图6-1-3，在ABC中，ABC=90，AB=4，BC=2，点A、B分别在x轴、y轴上，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴上运动.在运动过程中，点C到原点O的最大距离为 .6、如图6-1-3，正方形ABCD的边长为2，当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动.在运动过程中，点B到原点O的最大距离与最小距离的积为 . 图6-1-319、(2013年武汉)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 答案：解析：（2） 线段差最大说明：此乃“三角形三边关系之两边之差小于第三边”的应用.通法：求“直线上一点到这条直线异侧两点的距离差最大”：作其中一点关于这条直线的对称点，连接这个对称点与另一点的线段所在直线与这条直线的交点即为所求.例6-1-2 几何模型（1） 如图6-1-4 ，点A、B位于直线m的同侧，在直线m上找一点P，使的值最大. 图6-1-4 你的作图根据是： .（2） 如图6-1-4 ，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使的值最大. 图6-1-4 你的作图根据是： .模型应用：如图6-1-4，一次函数的图象与轴分别交于点A（2,0）、B（0,4），D为AB的中点，C、A关于原点对称.P为OB上一动点，请直接写出的范围： . 图6-1-4体验与感悟 6-1-21、 在圆O所在的平面上有一点A，它到圆O的最近距离为3，最远距离为7，则圆O的半径为 .2、 点A、B均在由面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图6-1-5.若P是x轴上使得的值最大的点，OP= .3、 如图6-1-6，抛物线经过A（-1,0）、C（0,4）两点，与x轴交于另一点B.（1） 抛物线及对称轴分别为 .（2） 点D在所求抛物线的对称轴上，求的最大值. 图6-1-5 图6-1-6 （3） “小虫爬爬”问题说明：求小虫在柱体、物体表面爬的最短距离，题目在多数情况下是用勾股定理求物体表面展开图上两点间距离.通法：见“小虫爬爬问题”，作展开图构造直角三角形，再用勾股定理求之.例6-1-3（1）如图6-1-7，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高4cm，一直蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到点的最短路程是多少？规律：“小小相加凑一边时路径最短.”（2） 如图6-1-7，圆柱形杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁达到蜂蜜的最短距离为多少？ 图6-1-7规律：“一内点一外点要用轴对称.”体验与感悟 6-1-31、 （1）如图6-1-8，长方体的长、宽、高分别为15、10、20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B的最短距离是（ ）A、5 B、25 C、15 D、35 图6-1-8 图6-1-8 图6-1-8 图6-1-8（2） 如图6-1-8，底面半径为3cm的圆锥的主视图是一个正三角形，C是母线OB的中点，则在圆锥表面从A到C的最短距离等于 cm.（3） 如图6-1-8，圆柱高是8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食物，爬行的最短路程是（ ）cm.（取3）A、20 B、10 C、14 D、无法确定（4） 如图6-1-8，ABCDEFGH是一个无上底的长方体容器.M在容器内侧，位于侧棱BF上.已知AB=5，BF=9，FM=3，则从外部的点A到内部的点M的最短距离等于 .2、 如图6-1-9，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的点.A点处有一只昆虫想到B点去吃食物，则昆虫沿着台阶爬到B的最短路程是多少？3、在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图6-1-10堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米（精确到0.01米） 图6-1-10（4） 两“二次根式和的最小值”问题说明：形如“求的最小值，其中为常数”的题目，转化为几何问题再用勾股定理来解决.（两点距离公式）例6-1-4（2012湖北十堰改编）求代数式的最小值.规律：先转化为直角三角形，再根据两点之间、线段最短，借助勾股定理求最小值.感悟与体验 6-1-4 求函数的最小值.2、 垂线段最短说明：“垂线段最短”用的多，但人们意识到用它的少.只要涉及点到线、线到线距离，用的都是“垂线段最短”，如高、与圆有关的位置关系等. 例6-2-1 某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60方向上的A处，如图6-2-1，现已改造至古民居P南偏西30方向上的B处，A与B相距150m，且B在A的正东方向为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m以内不得修建现代化商业街若工程队继续向正东方向修建200m商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？ 图6-2-1例6-2-2 如图6-2-2，在ABC中，AD是高，E、F分别是AC和AB边上不与A、C、B重合的点，AG、BH分别垂直直线EF与G、H.求证：.（只考虑图示情况） 图6-2-2体验与感悟 6-21、 如图6-2-3和图6-2-3，在ABC中，AB=13，BC=14，.探究：如图6-2-3，AHBC于点H，则AH= ，AC= ，ABC的面积 .拓展：如图图6-2-3，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F.设BD=x，AE=m，CF=n，（当点D与A重合时，我们认为)（1）用含x，m，n的代数式表示及；（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的求值范围发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.3、 圆中最长弦是直径说明：因四点共圆不在课标规定范围内，所以此题型不多. 例6-3 如图6-3，以边长为4的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 . 图6-3规律：共圆四点中，如果相对两定点是直角顶点，则两动点连线的最小值就是连接两直角顶点的线段长.四、平方和的最小值说明：“平方和最小”即：.它源自，是初中的完全平方公式与非负数的结合，中考题中常有涉及.特别地和其变形（还是高中最重要的不等式之一. 例6-4-1 阅读理解：对任意正实数，因为，所以，所以，只有当时，等号成立.根据上述内容，回答下列问题：（1） 若，则= 时，有最小值 .（2） 若，则= 时，有最小值 .（3） 若，则= 时，有最小值 .例6-4-2 如图6-4-1，AB为半圆O的直径，C为半圆上与点A、B不重合的任意一点，过点C作CDAB，垂足为D，AD=a，DB=b.请用本题图验证：，并指出等号成立时的条件.提示：用相似证：；直径为最长弦.体验与感悟 6-41、 公式：对任意正数a、b，总有：，并且只有当时，等号成立.直接应用与变形应用：（1） 已知：，则当 时，取得最小值 .（2） 已知函数，当 时，该函数有最小值 .（3） 已知函数与函数，当时，求的最小值，并指出相应的x的值.实际应用 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？5、 不等式、一次函数最优方案见第18单元：一次函数综合应用.六、二次函数最值说明：“二次整式最值”完全可以借助二次函数最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法.（注：a,b,c为常数，且）例6-6-1 （1）的最小值是 ；（2）二次函数的最大值是 .例6-6-2 如图6-6-1，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P不与B、C重合），过点P作APPE交CD于点E.设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？评述：线段最值可由相似建立二次函数模型求解.例6-6-3 如图6-6-2，已知抛物线经过点B（1,0）、C（5,0），交y轴于点A，对称轴与x轴相交于点M.（1） 请直接写出抛物线的解析式、对称轴及点A的坐标 ；（2） 连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 图6-6-2体验与感悟 6-6问题情境：已知矩形的面积为（为常数，)，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型：设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为：.探究应用：（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象和性质.在图6-6-3中填写下表，并画出函数的图象：x.123.y.观察图象，写出该该函数两条不同类型的性质：在求二次函数的最值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到.请你用配方法求函数的最小值.解决问题：（2） 用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案.提示：对任意非负数m，可设，其中.提醒：回顾一下求二次函数最值有几种方法.7、 几何探究最值类例6-7-1 请阅读下列材料：问题：如图6-7-1，圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路程.小明设计了两条路线：路线1：走圆柱表面最短路线（即图6-7-1侧面展开图中的线段AC）. 图6-7-1 图6-7-1路线2：走圆柱高线与底面直径（即6-7-1中AB+BC的长）.设路线1的长度为，设路线2的长度为，则 将AB=5，BC=10，半圆弧长5代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）： ；= ；= ； 选择路线2较短.（1） 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）：路线1： ；路线2：= ； （填）所以选择路线 （填1或2）较短.（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱体的底面半径为，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.体验与感悟 6-7-11、在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图6-7-2是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图6-7-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）ABPllABPC图6-7-2图6-7-2lABPC图6-7-2K观察计算（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图6-7-2所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）探索归纳（1）当时，比较大小： (填“”、“”或“”）；当时，比较大小： （填“”、“”或“”）；（2）请你就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？例6-7-2 动手操作（1） 如图6-7-3把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与 重合，点B与 重合. 图6-7-3 图6-7-3 图6-7-3探究与发现（2） 如图6-7-3所示，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面绕一圈丝带到顶部B处做装饰，则这条丝带的最小长度是 cm；（丝带的粗细忽略不计）（3） 若用丝带从图6-7-3圆柱底部A处沿侧面缠绕4圈直到顶部B处（如图6-7-3所示），则至少需要多长丝带？创新与应用（4）如图6-7-3，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE、CF方向进行裁剪，如图6-7-3，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为，则= .图6-7-3 图6-7-3 提示：（1）、（2）略；（3）可看作把圆柱切成四段，求出一段的长再乘以4；（4）动手操作试试，看看AE、BE哪个等于底面周长.评述：本题融绕线、绕带问题于一题，是一道考察学生空间想象能力、分析能力的好题.体验与感悟 6-7-21、 如图6-7-4是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图6-7-4），然后用这条平行四边形纸带按如图6-7-4的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满. 图6-7-4 图6-7-4（1）请在如图6-7-4中，计算裁剪的角度BAD；（2）计算按图6-7-4方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度 图6-7-42、如图6-7-5，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线