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高数积分总结范文 高数积分总结 一、不定积分 1、不定积分的概念也性质定义1如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一Ix?,都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。 定义2在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作?dxxf)(。 性质1设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则?dxxgdxxfdxxgxf)()()()(。 性质2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则?dxxfkdxxkf)()(。 2、换元积分法 (1)第一类换元法定理1设f(u)具有原函数，)(x?可导，则有换元公式)()()()(xdfdxxxf?。 例求?xdx2cos2解?ddxxxdxxxdxcos)2(2cos22cos2cos2将x2?代入，既得?Cxxdx2sin2cos2 (2)第二类换元法定理2设)(tx?是单调的、可导的函数，并且.0)(?t?又设)()(ttf?具有原函数，则有换元公式,)()()()(1xtdtttfdxxf?其中)(1x?是)(tx?的反函数。 例求?)0(22aaxdx解tt22sectan1?，设?22tan?ttx，那么tdtadxtatataaax2222222sec,sectan1tan?，于是?tdtdttataaxdxsecsecsec222Cttaxdx?tansecln22aaxt22sec?，且0tansec?tt1222222)ln(lnCaxxCaaxaxaxdx?，aCCln1? 3、分部积分法定义设函数)(x?及)(x?具有连续导数。 那么，两个函数乘积的导数公式为?移项得?)(?对这个等式两边求不定积分，得?dxdx?此公式为分部积分公式。 例求?xdxxcos解?xdxxxxdxxsinsincos?Cxxxxdxxcossincos分部积分的顺序反对幂三指。 4、有理函数的积分例求?dxxxx6512解)2)(3(652?xxxx，故设236512?xBxAxxx其中A,B为待定系数。 上式两端去分母后，得)3()2(1?xBxAx即BAxBAx32)(1?比较上式两端同次幂的系数，既有?1321BABA从而解得3,4?BA于是Cxxdxxxdxxxx?2ln33ln423346512其他有些函数可以化做有理函数。 5、积分表的查询 二、定积分 1、定积分的定义和性质 （1）定义设函数)(xf在?ba,上有界，在?ba,中任意插入若干个分点bxxxxxann?1210?把区间?ba,分成n个小区间?nnxxxxxx,12110?各个小区间的长度依次为112xx,?nnnxxxxxxxxx?在每个小区间?iixx,1?上任取一点?iiiixx?1，作函数值)(if?与小区间长度ix?的乘积?nixfii,2,1)(?，并作出和?niiixfS1)(?记?nxxx?,max21?，如果不论对?ba,怎么划分，也不论在小区间?iixx,1?上点i?怎么选取，只要当0?时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数)(xf在区间?ba,上的定积分(简称积分)，记作?badxxf)(，即?niiibaxfIdxxf10)(lim)(?其中)(xf叫做被积函数，dxxf)(叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，?ba,叫做积分区间。 定理1设)(xf在区间?ba,上连续，则)(xf在?ba,上可积。 定理2设)(xf在区间?ba,上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在?ba,上可积。 （2）性质1?bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(性质2?babadxxfkdxxkf)()(k是常数)性质3设bca?，则?babadxxfdxxfdxxf)()()(性质4如果在区间?ba,上1)(?xf，则abdxdxbaba?1性质5如果在区间?ba,上，0)(?xf，则?badxxfba?0)(推论1如果在区间?ba,上，)()(xgxf?，则?badxxgdxxfbaba?)()(推论2)()()(badxxfdxxfbaba?性质6设M及m分别是函数)(xf在区间?ba,上的最大值和最小值，则)()()(baabMdxxfabmba?性质7(定积分中值定理)如果函数)(xf在积分区间?ba,上连续，则在?ba,上至少存在一个点?，使下式成立)()()(baabfdxxfba? 2、微积分基本公式 (1)积分上限函数及其导数定理1如果函数)(xf在区间?ba,上连续，则积分上限的函数?xadttfx)(在?ba,上可导，并且它的导数)()()(bxaxfdttfdxdxxa?定理2如果函数)(xf在区间?ba,上连续，则函数?xadttfx)()(就是)(xf在区间?ba,上的一个原函数。 (2)牛顿-莱布尼茨公式定理3如果函数)(xF是连续函数)(xf在区间?ba,上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba? 3、定积分的换元法和分部积分法 (1)定积分的换元法定理假设函数)(xf在区间a,b上连续，函数x=?(t)满足条件:?()=a,?()=b;?(t)在,上具有连续导数，且其值域R?=a,b,则有?badtttfdxxf?)()()( (1)公式 (1)叫做定积分的换元公式 (2)定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得?baabbavdudxuuvv 三、反常积分（一）无穷限的反常积分定义1设函数法f(x)在区间a,?)上连续，取ta,如果极限?tatdxxf)(lim存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,?)上的反常积分，即?atatdxxfdxxf)()(lim（二）无界函数的反常积分定义2设函数f(x)在(a,b上连续，点a为f(x)的丅点。 取ta,如果极限?bttdxxfa)(lim存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的反常积分，仍然记作?badxxf)(，即?badxxf)(=?bttdxxfa)(lim例题讨论反常积分?112xdx的收敛性。 解被积函数f（x）=x21在积分区间-1,1上除x=0外连续，且?xx201lim由于?1)1(lim0012xdxxx即反常积分?012xdx发散，所以反常积分?112xdx发散定积分?baf x dx?的积分区间?ab，是有限区间，又?f x在?ab，上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或?f x推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分1.无穷区间上的反常积分 （1）概念定义?limbaabf x dxf xdx?若极限存在，则称反常积分?af xdx?是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称反常积分?af xdx?是发散的，而发散的反常积分没有值的概念.?limbbaaf xdxf xdx?同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.?f xdxf xdxf xdx?limlimcbacabf xdxf xdx?同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意判断?f xdx?的收敛性不能用?limRRRf xdx?的极限存在性.必须要求?cf xdx?和?cf xdx?两个反常积分都收敛，才能知道?f xdx?是收敛的，但是如果已经知道?f xdx?是收敛的，而求它的值，那么计算?limRRRf xdx?是可以的. （2）常用公式11,111ppdxpxp?收敛，发散，11,11(ln)1ppepdxdupxxup?收敛，发散，kxax edx?收敛(0）发散(0），k?(0）2.无界函数的反常积分（瑕积分） （1）概念设?f x在)ab，内连续，且?limxbf x?，则称b为?f x的瑕点，定义?limbbaaof xdxf xdx?若极限存在，则称反常积分?baf xdx?收敛，且它的值就是极限值.若极限不存在，则称反常积分?baf xdx?发散，发散的反常积分没有值的概念.设?f x在(ab，内连续，且?limxaf x?，则称a为?f x的瑕点，定义?0limbbaaf xdxf xdx?若极限存在，则称反常积分?baf xdx?收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称反常积分?baf xdx?发散，它没有值.设?f x在)ac，和(c b，皆连续，且?limxCf x?，则称c为?f x的瑕点，定义?121200limlimbcbCbaacaCf xdxf xdxf xdxf xdxf xdx?(值得注意这里判别收敛性时，1?和2?要独立地取极限，不能都用0?来代替)若上面两个极限都存在时才称反常积分?baf xdx?是收敛的，否则反常积分?baf xdx?发散. （2）常用公式10qqdxxq?收敛(1时）发散(1时）类似地考虑101qdxx?（）和11qdxx?最后指出由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.(乙)典型例题 一、用常规方法计算定积分【例1】求下列定积分 （1）220cosxxdx? （2）30arctanxxdx? （3）ln201xedx?解 （1）22222220000cossinsin2sinxxdxx dxxxxxdx?=2220002cos2cos2cosxdxxxxdx?2042sin4x? （2）22333322000011arctanarctanarctan2221xxxxdxxdxxdxx?320311arctan31221dxx?30131233arctan22222332x? （3）令?21,ln1xet xt?22,01tdxdt xt?时0t?；ln2x?时，1t?于是2ln211220002112111xtedxdtdttt?102arctan214tt?【例2】计算下列定积分（分段函数） （1）1213xx dx? （2）1lneex dx? （3）?322min1,xdx?解 （1）?1012221103333xx dxxx dxxx dx? （2）?1111lnlnlneeeex dxxdxxdx?1111lnln21eexxxxxxe? （3）?311322221111min1,3x dxdxxdxdx? 二、用特殊方法计算定积分【例1】计算下列定积分 （1）20(sin)(sin)(cos)fxIdxfxfx?（f为连续函数，(sin)(cos)0fxfx?） （2）40ln(1tan)Ix dx?解 （1）令2xtp=-，则2200(cos),2,(cos)(sin)24ftIdt IdtIftft? （2）令4xtp=-，则04041tan2ln1()ln1tan1tantIdtdttt?ln2,2ln2,ln2448III?【例2】设连续函数?f x满足?1lnef xxf xdx?，求?1ef xdx?解令?1ef xdxA?，则?lnf xxA?，两边从1到e进行积分，得?1111ln(ln) (1)eeeef xdxxdxAdxxxxA e?于是1 (1) (1),1,AeeA eeAAe?则?11ef xdxe? 三、递推公式形式的定积分【例1】设?20sin012nnIxdx n?，求证当2n?时，21nnnIIn?求nI解 （1）?222111000sincossincoscossinnnnnIxdxxxxdx?22222xxcossin11sinsinnnnxxdxnxxdx?211nnnInI?21nnnInI?，则?212nnnIInn? （2）2xx0sin12IdxIxdx?，当2nk?，正偶数时，2220212123122222nkkkkkIIIIkkk?2222!2!222!2!kkkkkk?当21nk?，正奇数时，21211222222121213nkkkkkIIIIkkk?2222!2!21!21!kkkkkk?【例2】设?20cos012nn Jxdxn?，求证?012nnJIn?，证令?2200cossin22nnnxtJt dttdt?，则?012nnJIn?，【例3】设?420tan1nnKxdxn?，2，3，求证1121nnKKn?求?123nKn?，解 （1）?42120tansec1nnKxxdx?42110tantannnxdxK?1121nKn? （2）?4422100tansec1Kxdxxdx?4tan140xx?，231111134534KK?，当3n?，正整数时?1121111421knnnnkKk? 四、重积分（一）二重积分的性质与概念定义设D是错误！未找到引用源。 面上的有界闭区域，错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 在D上有界，将区域D任意分成n个小闭区域错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 ，其中错误！未找到引用源。 既表示第i个小闭区域又表示它的面积，在每个小区域错误！未找到引用源。 上任意取一点错误！未找到引用源。 ，作n个乘积错误！未找到引用源。 ，然后作和式记错误！未找到引用源。 ，如当错误！未找到引用源。 时，以上和式有确定的极限，则称该极限为错误！未找到引用源。 在区域D上的二重积分，记作错误！未找到引用源。 或错误！未找到引用源。 ，即其中错误！未找到引用源。 称为被积函数，错误！未找到引用源。 称为被积表达式，错误！未找到引用源。 称为面积元素，错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 称为积分变量，D称为积分区域，错误！未找到引用源。 称为积分和式几何意义当错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 等于以区域D为底，曲面错误！未找到引用源。 为顶的曲顶柱体体积；当错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数；当错误！未找到引用源。 时，错误！未找到引用源。 等于区域D的面积。 1.二重积分的性质存在性若错误！未找到引用源。 在有界闭区域D上连续，则错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 存在线性性质区域可加性设错误！未找到引用源。 ，即错误！未找到引用源。 ，且错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 与错误！未找到引用源。 只在它们的边界上相交，则有序性若在区域D上错误！未找到引用源。 ，则有特殊地，有估值不等式设错误！未找到引用源。 在区域D上有最大值M，最小值m，错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 是D的面积，则有积分中值定理设函数错误！未找到引用源。 在有界闭区域D上连续，错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 是D的面积，则至少存在一点错误！未找到引用源。 ，使错误！未找到引用源。 例1试用二重积分表示极限错误！未找到引用源。 .解错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 .例2估计错误！未找到引用源。 的值，其中错误！未找到引用源。 解因为错误！未找到引用源。 ，积分区域错误！未找到引用源。 ，在D上错误！未找到引用源。 的最大值错误！未找到引用源。 ，最小值错误！未找到引用源。 ，故:（二）二重积分的计算（一）直角坐标系X型区域将区域D投影到x轴上，投影区间为错误！未找到引用源。 ，D的边界上下两条曲线错误！未找到引用源。 ，则D表示为y型区域将区域D投影到y轴上，投影区间为错误！未找到引用源。 ，D的边界上下两条曲线错误！未找到引用源。 ，则D表示为例1计算，其中D是由直线错误！未找到引用源。 所围成的闭区域。 解（三）二重积分的计算（二）极坐标系极点在D外，则D:极点在D的边界上，则D:极点在D内例1计算错误！未找到引用源。 ，其中D为由圆错误！未找到引用源。 及直线错误！未找到引用源。 所围成的平面闭区域解因为所以 五、曲面和曲线积分（一）对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分） 1、定义iniiiLsfdsyxf?10),(lim),(，iniiiisfdszyxf?10),(lim),(? 2、物理意义线密度为),(yx?的曲线L质量为dsyxML?),(?线密度为),(zyxf的曲线?质量为dszyxfM?),( 3、几何意义曲线L的弧长?sdsL?，曲线?的弧长dss? 4、若Lkyxf?),(（常数），则ksdskdskdsyxfLLL?),( 5、计算（上限大于下限） （1）,(t),(t):?yxL?t，则?dtttttfdsyxfL22)()()(),(),(? （2）L0()()yxxxX?，则02(,),()1()XLxf x y dsfxxx dx? （3）L0()()xyyyY?，则02(,)(),1().YLyf x y dsfyyy dy? （4）)().(),(),(:?ttztytx，则222(,)(),(),()()()()()fx y zdsftttttt dt? (二)、对坐标的曲线积分 1、定义dyyxQdxyxPL),(),(?niiiiiiiyQxP10),(),(lim?dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(?niiiiiiiiiiiiizRyQxP10),(),(),(lim? 2、计算（下限对应起点，上限对应终点） （1）,(t),(t):?yxL?:t，则(,)(,)(),()()(),()()LP x y dxQ x y dyPtttQttt dt? （2）L()yx?Xxt?0:，则,(),()()bLaPdxQdyP xxQxxxdx? （3）L()xy?Yyt?0:，则(),()(),dLcPdxQdyPy yyQyydy? （4）):().(),(),(:?ttztytx，则(,)(,)(,)P x y zdxQx y zdyR x y zdz?(),(),()()(),(),()()(),(),()()PttttQttttRtttt dt? 3、两类曲线积分之间的联系(coscos)LLPdxQdyds?其中，(,),(,)x yxy?为有向曲线弧L上点(,)xy处的切线向量的方向角。 (coscoscos)PdxQdyRdzRds?，其中(,),(,),(,)xy zx y zx y z?为有向曲线弧?上点(,)xyz处切向量的方向角。 (三)、格林公式及其应用 1、格林公式?LDQdyPdxdxdyyPxQ)(其中L是D的取正向的整个边界曲线 2、平面上曲线积分与路径无关的条件（D为单连通区域）定理设D是单连通闭区域，若),(),(yxQyxP在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有0?LQdyPdx；(ii)对D内任一光滑曲线L，曲线积分?LQdyPdx与路径无关，只与L的起点和终点有关；(iii)QdyPdx?是D内某一函数),(yxu的全微分，即在D内有QdyPdxdu?；(iv)在D内处处成立xQyP?注若DxxQyP?则QdyPdx?的全微分00(,)(,)(,)(,)(,)x yxyu xyP xy dxQxydy?000(,)(,)(,)xyxyu xyP xy dxQxydy?或000(,)(,)(,)yxyxu xyQ xy dyPxydx? (四)、对面积的曲面积分 1、定义?dSzyxf),(iiiniiSf?),(lim10? 2、物理意义?dSzyxf),(表示面密度为),(zyxf的光滑曲面?的质量。 3、几何意义曲面?的面积?dSS 4、若?kzyxf?),(（常数），则?dSzyxf),(=?kdS=?dSk=kS 5、计算（一投、二代、三换元） （1）:(,)zz xy?，xyDyx?),(，则22(,)(,(,)1xySDf xyzdSf xyzx yzzdxdy? （2）:(,)yy xz?，xzDzx?),(，则?dSzyxf),(;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx? （3）(,)xx yz?，yzDzy?),(，则?dSzyxf),(22(,),1yzyzDf xyzy zxxdydz?。 (五)、对坐标的曲面积分 1、定义?nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(?niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),(?nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),(? 2、物理意义流量dxdyzyxRdzdxzyxQdydzz