《计算方法》复习资料.doc

二 单项选择题1. 已知近似值，则A. B. C. D. 2. 已知求积公式，则（ ）A B. C. D. 3. 已知，则化为为对角阵的平面旋转变换角（ ）A B. C. D. 4. 设求方程的根的切线法收敛，则它具有（ ）敛速。A 线性 B. 超越性 C. 平方 D. 三次 5. 改进欧拉法的局部截断误差为（ ）A B. C. D. 填空题1. 的近似值3.1428是准确到 近似值。2. 满足，的拉格朗日插值余项为 。3. 用列主元法解方程组时，已知第2列主元为则 。4乘幂法师求实方阵 的一种迭代方法。5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 。计算题0 1 21 2 51. 用已知函数表求抛物插值多项式，并求的近似值。2. 用紧凑格式解方程组 3. 已知方程组 （1） 证明高斯塞德尔法收敛；（2） 写出高斯塞德尔法迭代公式；（3） 取初始值，求出。4. 用复化辛卜公式计算积分，并估计误差。5. 用一般迭代法求方程内的根。（1） 对方程同解变形，并检验压缩条件；（2） 写出一般迭代法迭代公式；（3） 选初始值，求出。证明题1. 设，证明由公式，得到的序列收敛于。2. 证明计算的切线法迭代公式为 ， 二一、 单项选择题1. A 2. D 3. B 4. C 5. C二、 填空题1. 2. 3. 4.按规模最大的特征值与特征向量 5. 三、 计算题1. 作差商表： 一阶差商二阶差商011212531 2. 解：（1）完成分解 ， ， 所以矩阵的三角分解 （2）解方程组，（3）解方程组， 所以3. （1）因为严格对角占优矩阵，所以高斯塞德尔迭代法收敛。 （2）高斯塞德尔法迭代公式为： （3）取初值，计算得，4. 用复化辛卜公式计算得： 因为， ， 所以，5. （1）在上将方程同解变形为 而 （2）一般迭代法公式为： （3）由，计算得四、 证明题1.证明 由公式和两式相减得所以有：2.证明 因为计算等同于求方程的正根，令，代入切线法迭代公式得：，三单项选择题1. 以下误差公式不正确的是（ ） A B C D2. 已知等距节点的插值型求积公式，那么（ ） A1 B. 2 C. 3 D. 43. 辛卜生公式的余项为（ ） A B C D4. 用紧凑格式对矩阵进行的三角分解，则（ ） A1 B C1 D25. 用一般迭代法求方程的根，将方程表示为同解方程的，则 的根是（ ）A 与的交点 B 与与轴的交点的横坐标的交点的横坐标C 与的交点的横坐标 D 与轴的交点的横坐标 填空题1. 取作为的近似值，则有 位有效数字.2. 消元法的步骤包括 .3. 龙贝格积分法是将区间 并进行适当组合而得出的积分近似值的求法。4乘幂法可求出实方阵的 特征值及其相应的特征向量.5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 。计算题6.01210.50.2已知函数的一组数据： 求分段线性插值函数，并计算的近似值. 7. 求矩阵的谱半径.8. 已知方程组 （1） 证明高斯塞德尔法收敛；（2） 写出高斯塞德尔法迭代公式；（3） 取初始值，求出。4. 时，用复化梯形与复化辛卜生公式分别计算积分.5. 用改进平方根法求解方程组证明题 证明向量的范数满足不等式 （1） (2)三参考答案一 单选题1. D 2.C 3.C 4.A5. C二 填空题1. 42. 消元和回代3. 逐次分半4. 按模最大5. 三 计算题1. 解 ， ，所以分段线性插值函数为 10分 12分 2. 解 4分矩阵A的特征值为 8分所以谱半径 12分 3. 1）因为严格对角占优矩阵，所以高斯塞德尔迭代法收敛。 （2）高斯塞德尔法迭代公式为： （3）取初值，计算得， 4. 解 2分 用复化梯形公式计算：0.110 892 27 7分 用复化辛卜生公式计算得： 0.111 581 85 12分5. 解 由公式计算得 4分再得 8分得 12分四 证明题证明（1）设是向量的分量，则，所以由向量范数的概念可知，结论成立。 5分（2）由 所以结论成立。 10分四一、选择题1. x = 1.234, 有3位有效数字，则相对误差限 e r （ ）(A).0.510 -1； (B). 0.510 -2； (C). 0.510 -3； (D). 0.110 -22. 用紧凑格式对矩阵进行的三角分解，则（ ） A1 B C1 D23. 过点(x0,y0), (x1,y1)，(x5,y5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。(A). 6 (B).5(C).4(D).34. 设求方程f（x）0的根的单点弦法收敛，则它具有（ ）次收敛。 A线性 B平方 C超线性 D三次5. 当a ( )时，线性方程组 的迭代解一定收敛.(A) =6 (B) =6 (C) 6二、填空题1. 二阶均差f (x0, x 1, x2) = _2. 在区间上内插求积公式的系数满足 .3. 已知n=3时，科茨系数，那么_.4. 标准四阶龙格库塔法的绝对稳定域的实区间为 .5. 高斯消去法能进行到底的充分必要条件为_。三、计算题1. 写出梯形公式、辛卜生公式，并分别用来计算积分.2. . 若用二分法求f (x) = 0在 1,2之间近似根，精确到0.01，求二分的次数n+1. 设f (x) = x3+x2-11, 若用牛顿法求解，请指出初值应取1还是2,为什么？3. 已知方程组（1） 证明雅可比法收敛（2） 写出雅可比迭代公式（3） 取初值，求出4. 已知微分方程取步长h=0.1, 试用欧拉法求出满足已知微分方程和初始条件的函数y的前三个值。5. 若 f (x) dx = A0 f (-1) +A1 f (0) +A2 f (1) 有二次代数精度，求A0,A1,A2 。四、证明题设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x有：f (1, 2, x) = 1.四参考答案一 选择题1. B 2. A 3. B 4. A 5. D二 填空题1. f (x0, x 1) - f ( x 1, x2) / (x0 - x2) 2. ba3. 1 / 8.4. -2.78, 05. 系数矩阵A的各阶顺序主子式不为零三 计算题1. 解 梯形公式 应用梯形公式得 辛卜生公式为 应用辛卜生公式得 2. .二分的次数：n+1 = ln (b a) ln / ln 2= ln 1 ln 10 - 2/ ln 2= 2 ln 10 / ln 2= 6.6445取 7.若用牛顿法求解， 要求：f (x0) f (x0) 0,f (x) = 3x2 + 2xf (x) = 6x + 2,可见：f (1) 0, f (2) 0.而 f (2) 0,所以取 x0 = 2.3. 解 （1）因为A是严格对角占优矩阵，由定理知雅可比迭代法收敛。 （2）雅可比迭代公式 （3）初值，则 4. 自变量的值x0=0 x1=0.1 x2=0.2 x3=0.3 相应的y值 y0=1，y1=y0+hf(x0,y0)=1+0.1(0+1)=1.1 y2=y1+hf(x1,y1)=1.1+0.1(0.2+1.1)=1.22y3=1.22+0.1(0.2+1.22)=1.362。 5. 分别令 f (x) = 1, f (x) = x, f (x) = x2。得：所以A0 = 1/3, A1 = 4/3，A2 = 1/3。四 证明题（共10分）证明:f (1, 2) = f (1) f (2)/ (1 2)= 0 0/ (-1)= 0,对任意的x有f (2, x) = f (2) f (x)/ (2 x)= 0 (x-1) (x-2)/ (2 x)= (x-1),所以 f (1, 2, x) = f (1, 2) - f (2, x)/ (1 x)= 0 - (x-1)/ (1 x)= 1五一、填空题(1) 设，则= _.(2) 对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩阵是=_.(3) 的相对误差约是的相对误差的_ 倍.(4) 求方程根的牛顿迭代格式是_.(5) 设，则差商=_.(6) 设矩阵G的特征值是, 则矩阵G的谱半径=_.(7) 已知, 则条件数_.(8) 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写为_.(9) 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为_次.(10) 拟合三点, , 的水平直线是_.二. (15分) 证明: 方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛.三. (15分) 定义内积试在中寻求对于的最佳平方逼近元素. 四. (15分) 给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.五. (15分) 依据如下函数值表012419233建立不超过三次的拉格朗日插值多项式.七. (15分) 试用Simpson公式计算积分的近似值, 并估计截断误差.八. (15分) 用Newton法求方程在区间内的根, 要求.九. (15分) 给定数表x-1012f(x)10141615f(x)10.1求次数不高于5的多项式，使其满足条件：其中 。五参考答案一、填空题(1) 设，则= _13_.(2) 对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩阵是= 。(3) 的相对误差约是的相对误差的_1/3_ 倍.(4) 求方程根的牛顿迭代格式是 。(5) 设，则差商=_1_。(6) 设矩阵G的特征值是, 则矩阵G的谱半径=_ 。(7) 已知, 则条件数_6_。(8) 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写为 。(9) 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 次.(10) 拟合三点, , 的水平直线是 。二. (15分) 证明: 方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛.证明 Jacobi迭代法的迭代矩阵为 （5分）的特征多项式为 （5分）的特征值为，故，因而Jacobi迭代法不收敛。 （5分）三. (15分) 定义内积试在中寻求对于的最佳平方逼近元素. 解 ， ， （5分）法方程为 （5分）解得，。所求的最佳平方逼近元素为， （5分）四. (15分) 给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.解 ， （8分）法方程 （2分）的解为， （3分）得到三次多项式误差平方和为 （2分）五. (15分) 依据如下函数值表012419233建立不超过三次的牛顿插值多项式.解 插值基函数 （8分）拉格朗日插值多项式为= （7分）七. (15分) 试用Simpson公式计算积分的近似值, 并估计截断误差.解 （8分）截断误差为 （7分）八. (15分) 用Newton法求方程在区间内的根, 要求。解 此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设则 ， （5分）Newton法迭代公式为， （5分）取，得。 （5分）九. (15分) 给定数表-10121014161510.1求次数不高于5的多项式，使其满足条件其中 。解 先建立满足条件， 的三次插值多项式。采用Newton插值多项式+ = （8分）再设 ，由得解得，。 （5分）故所求的插值多项式 （2分）六一、 填空题 1、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 收敛 2、 迭代过程 （k=1,2,）收敛的充要条件是 3、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是 4、 高斯-塞尔德迭代法解线性方程组 的迭代格式中求 5、 通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足，则p(x)是不超过二次的多项式 6、 对于n+1个节点的插值求积公式 至少具有次代数精度. 7、 插值型求积公式 的求积系数之和 8、 ,为使A可分解为A=LLT, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围 9、 若 则矩阵A的谱半径 (A)= 10、解常微分方程初值问题 的梯形格式 是阶方法 二、 计算题1、 明定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 2、 设 （1） 写出解 的Newton迭代格式（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 3、 设R=ICA，如果 ，证明： （1）A、C都是非奇异的矩阵（2） 六参考答案一、填空题1、局部平方收敛 2、 1 3、 4 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 8、 9、 1 10、二阶方法二、1、证明：当 =1时，公式左边： 公式右边： 左边=右边 （3分）当 =x时 左边： 右边： 左边=右边 （4分）当 时 左边： 右边： 左边=右边（4分）当 时 左边： 右边： 左边=右边（4分）当 时 左边： 右边： （4分）故 具有三次代数精度。 （1分）2、证明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式： （5分）n=0,1, 得 ，n=0,1, （5分） （2）因迭代函数 ，而 ， （4分）又 ，则 （5分）故此迭代格式是线性收敛的。 （1分）3、证明：（1）因 ，所以IR非奇异，因IR=CA，所以C，A都是非奇异矩阵 （5分）（2） (2) 故 则有 （5分）因CA=IR，所以C=（IR）A-1，即A-1=（IR）-1C又RA-1=A-1C，故由 （5分）移项得 结合（2.1）、(2.2)两式，得 （5分）七一、 填空 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=_.设一阶差商 ， 则二阶差商 数值微分中，已知等距节点的函数值 ,则由三点的求导公式，有 求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径 ，A的 7、设 ，则 和 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_ 10、设 ，当 时，必有分解式 ，其中L为下三角阵，当其对角线元素 足条件 时，这种分解是唯一的。 二、计算题 1、设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式 2、已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ 3、 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 4、 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： 七参考答案一、填空题1、2.31502、 3、 4、1.55、 6、 7、 8、 收敛9、O（h） 10、 二、计算题1、1、（1） （5分） （2） （10分）2、由 ，可得 （3分） 因 故 （4分） （4分） 故 ，k=0,1,收敛。 （4分）3、 ， （7分）该数值求积公式具有5次代数精确度， （4分）它是Gauss型的 （4分）4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得 ，记步长为h,对积分 （5分） 用Simpson求积公式得 （5分） 所以得数值解公式： （5分）八一. 填空题1. 数值稳定的算法是指: 。2. 方程的一个有根区间为: ，可构造出它的一个收敛的迭代格式为： 。3. 解方程的Newton迭代公式为 ，Newton迭代法对于单根是 阶局部收敛的。3. 解三角线性方程组的方法是_ _ 过程。4矩阵的谱半径定义为= ，它与矩阵范数的关系是 。5. 线性方程组中令A=D+L+U，其中D是A的对角部分构成的矩阵，L和U分别是A的（负）严格下（上）三角矩阵，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是 。6. f(x)的差分形式的Newton插值多项式:=。二（10分）设，请用秦九韶算法计算。三（10分）请用二分法计算方程的近似根，并进行到第3步为止。四(20分) 用紧凑格式的三角分解法求解线性方程组: 五. (15分)用余弦函数在三个节点处的值写出二次Lagrange插值多项式函数, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。六.（15分）某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下：学期（）1234平均成绩（）63.270.576.678.4试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩，将表格填完整。八参考答案一. 填空题1. 数值稳定的算法是指: 舍入误差对计算结果影响不大的算法。2. 方程的一个有根区间为: （0，1），可构造出它的一个收敛的迭代格式为： 。3. 解方程的Newton迭代公式为，Newton迭代法对于单根是 二 阶局部收敛的。3. 解三角线性方程组的方法是_回代_ 过程。4矩阵的谱半径定义为=，它与矩阵范数的关系是。5. 线性方程组中令A=D+L+U，其中D是A的对角部分构成的矩阵，L和U分别是A的（负）严格下（上）三角矩阵，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是 。6. f(x)的差分形式的Newton插值多项式:=。二（10分）设，请用秦九韶算法计算。解: 按秦九韶算法列表计算如下: (2分) 1 -3 4 -3 2 -2 4 1 -1 2 1=f(2)(7分)所以f(2)=1. (1分)三（10分）请用二分法计算方程的近似根，并进行到第3步为止。解: 取0,2的中点c=1, 此时有f(c)=-10, 故此时方程的隔离区间缩小为1,2; (2分)再取1,2的中点c=1.5, 此时有f(c)= -0.3750, 故此时方程的隔离区间缩小为1.5,2; (2分)再取1.5,2的中点c=1.525, 此时有f(c)= -0.330 0, 故此时方程的隔离区间缩小为1.525,2; (2分)所以计算进行到第3步为止时,方程的近似根为x=c=1.525. (1分)四(20分) 用紧凑格式的三角分解法求解线性方程组: 解: 先用紧凑格式的三角分解法计算分解矩阵:(10分)从而有(3分)因此原方程化为等价的三角方程组为:(5分)回代求解得: (2分)五. (15分)用余弦函数在三个节点处的值写出二次Lagrange插值多项式函数, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。解: 二次Lagrange插值多项式函数为:(10分)的近似值为: (2分)其绝对误差与相对误差分别为: (2分)误差余项估计值为 (2分)可以看出, 误差余项略大于绝对误差. (1分)六.（15分）某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下：学期（）1234平均成绩（）63.270.576.678.4试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩，将表格填完整。解: 用最小二乘法求解.设所求的直线为, 则整体误差为:(5分)由得关于的线性方程组为: ,即, (5分)解得, 所以所求的直线为.(2分) 将分别代入后可估计得出他在大学三四年级各个学期的平均成绩分别为: 。填表。(3分)九注：填空题答案要求填写在相应的表中，否则无效。一、 填空题（共48分，每小题4分）1、数值方法中需要考虑的误差为 。2、若则 。3、辛普森公式的代数精度为 。4、函数的线性插值余项表达式为 。5、若非线性方程可以表成，用简单迭代法求根，那么满足 ，近似根序列一定收敛。6、取X(0)=(1，1，1)T用Gauss-Seidel方法求解方程组 迭代一次所得结果为：X(1) = ( )T。7、用列主元素消去法求解线性方程组第二次所选择的主元素的值为 。8、运用梯形公式和公式，计算积分其结果分别为 。9、设方程的有根区间为，使用二分法时，误差限为 。10、用改进的欧拉方法求解初值问题，取步长，则 。11、计算，利用算式， ，计算，得到的结果最好的算式为 。12、由序列正交化得到的Chebyshev多项式的权函数为 ，区间为 。二、已知函数表（1）给出Lagrange二次插值多项式，并求的近似值；（2）给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求的近似值；（3）给出离散数据的线性拟合多项式，并求的近似值。五、设，给出用牛顿迭代法计算的公式，并根据初值来计算的值。（要求迭代3次）六、用欧拉预校公式求解初值问题要求取步长。九参考答案。二、 填空题（共48分，每小题4分）二、（12分）已知函数表（1）给出Lagrange二次插值多项式，并求的近似值；（2）给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求的近似值；解：先作插值多项式，用，求 (1) (2)用二次插值 四、（15分）设，给出用牛顿迭代法计算的公式，并根据初值来计算的值。（要求迭代3次）解 设方程 牛顿迭代： 取 ，下表是迭代3次的计算结果： 0.61725 0.76416 0.80745 0.81004五、（10分）用欧拉预校公式求解初值问题要求取步长，计算结果保留6位小数。解：欧拉预校公式为：将，带入上式，可得由可得：； 十一、填空题1、计算方法主要讲述的五部分内容为 。3、已知，取，那么具有的有效数字是 。4、若非线性方程可以表成，用简单迭代法求根，那么满足 ，近似根序列一定收敛。5、取X(0)=(1，1，1)T用Gauss-Seidel方法求解方程组 迭代一次所得结果为：X(1) = ( )T。6、用列主元素消去法求解线性方程组第二次所选择的主元素的值为 。7、运用梯形公式和公式，计算积分其结果分别为 。8、设方程的有根区间为，使用二分法时，误差限为 。9、用改进的欧拉方法求解初值问题，取步长，则 。10、由序列正交化得到的Chebyshev多项式的权函数为 ，区间为 。二、（15分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别1、给出Lagrange二次插值多项式，并求的近似值；（3分）2、给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求的近似值；（5分）3、给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求的近似值。（7分）三、（15分）对于求积公式 （1）求待定参数使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；（10分）（2）用所求公式计算的值。（5分）四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组五、（10分）对非线性方程（小数点后保留5位）。1、取，用牛顿迭代法计算；（3分）2、取，用计算重根的牛顿迭代格式计算；（3分）3、取，用弦截法计算；（4分）六、（10分）用欧拉预校公式求解初值问题要求取步长，计算结果保留6位小数。试卷十参考答案一、填空题1. 插值与拟合，数值微积分，线性方程组的解法，非线性方程的解法，常微分方程数值解35451.25，-1.7，1.15或5/4, -17/10, 23/2067/670.5 0.258(b-a)/2k+190.7140810 -1,1二、（10分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别1、给出Lagrange二次插值多项式，并求的近似值；（3分）2、给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求的近似值；（5分）3、给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求的近似值。（7分）解1、以插值点（2，4），（3，9），（5，25）代入插值公式，得+=代入可得。2、做出插值点（2, 4）（3, 9）（5, 25）的差商表：024139(9-4)/(3-2)=52525(25-9)/(5-2)=8(8-5)/(5-2)=1代入可得。 3、设拟合多项式为 则由法方程ATAXATY可得： 整理可得： 解之得： 则，。均方误差为：三、（10分）对于求积公式 （1）求待定参数使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；（10分）（2）用所求公式计算的值。（5分）解：（1）求积公式中只含有一个待定参数 当时，有 故令时求积公式精确成立，即 解得 将代入上述确定的求积公式，有 说明求积公式至少具有三次代数精度。 再令，代入求积公式时有 因此所求求积公式具有三次代数精度。 (2) 四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组解：设 （2分）由矩阵的乘积可得： （6分）设，则原方程组可以化为，解之得， （1分）根据，可得 （1分）五、（10分）对非线性方程（小数点后保留5位）。1、取，用牛顿迭代法计算；（3分）2、取，用计算重根的牛顿迭代格式计算；（3分）3、取，用弦截法计算；（4分）(1) 用牛顿迭代格式： （1分） （1分） （1分）(2) 计算重根的牛顿迭代公式： （1分） （1分） （1分）(3) 用弦截法迭代格式： （2分） （1分） （1分）六、（10分）用欧拉预校公式求解初值问题要