北师大版选修44 简单曲线的极坐标方程 课件（39张）.ppt

第2课时简单曲线的极坐标方程 解析几何之父笛卡尔因数学与瑞典公主christine邂逅 在交流数学的过程中互生爱慕之心 但身份的悬殊和年龄的差距使得他们不能为世人所容 笛卡尔被瑞典国王流放了 两人从此断绝了联系 后来笛卡尔的身体每况愈下 临近生命的终点 他向公主写了一封信 内容只有一个方程 a 1 sin 众人对其不甚了解 当信件终于辗转到了公主的手中 当她根据方程作出图形的刹那间泪流满面 原来这个方程对应的曲线就是著名的 心形线 对这个浪漫的传说 人们不再去追究它的真实性 在这里我们知道原来在极坐标的世界里 曾流传着一个美丽的传说 滚轮线 预学1 极坐标方程在极坐标系中 如果平面曲线c上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f 0 并且坐标适合方程f 0的点都在曲线c上 那么方程f 0叫作曲线c的极坐标方程 议一议 动手画一画曲线 0 的图象和曲线 的图象 讨论这两条曲线图象的差异 并说明原因 解析 曲线 0 的图象是一条射线 如图 1 所示 曲线 的图象是一条直线 如图 2 所示 两个图象存在差异的原因是点 和点 是同一个点 预学2 常见的圆的极坐标方程 1 圆心在极轴上的点 a 0 处 且圆过极点的圆的方程为 2acos 2 半径为a 圆心在极点上的圆的方程为 a 议一议 在极坐标中 已知圆c经过点p 圆心为直线 sin 与极轴的交点 你能用不同的方法求出圆c的极坐标方程吗 解析 法一 在 sin 中 令 0 得 1 所以圆c的圆心坐标为 1 0 因为圆c经过点p 所以圆c的半径 pc 1 于是圆c过极点 所以圆c的极坐标方程为 2cos 法二 直线 sin 化简后可得 sin cos cos sin 可知其直角坐标方程为 x y 0 与x轴的交点为 1 0 所以圆c的圆心坐标为 1 0 p 在直角坐标系内的坐标为p 1 1 所以 pc 1 所以圆的方程为 x 1 2 y2 1 化为极坐标方程为 2cos 预学3 常见的直线的极坐标方程 1 过极点且与极轴所成的角为 的直线的极坐标方程为 a 0 和 0 2 过点a a 0 a 0 且垂直于极轴的直线l的极坐标方程为 cos a 3 过点m 1 1 且与极轴成 角的直线的极坐标方程为 sin 1sin 1 练一练 在极坐标系中 直线l过点a 2 0 且极轴按逆时针方向旋转到直线l所形成的角的大小为 则直线l的极坐标方程为 a sin 1b sin 1c sin 1d sin 1 解析 在极坐标系中 设直线l上任意一点p 则在 aop中 由正弦定理得 化简得 sin 1 所以直线l的极坐标方程为 sin 1 答案 a 预学4 极坐标方程与直角坐标方程的转化在解题中的应用将极坐标方程中的 通过公式 转化为直角坐标方程 这是处理极坐标方程中经常用到的方法之一 有时也会通过这组公式将直角坐标方程转化为极坐标方程进行处理 练一练 在极坐标系中 曲线c1和c2的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 则曲线c1和c2交点的直角坐标为 解析 曲线c1的极坐标方程为 sin 2 cos 化为普通方程得y2 x 曲线c2的普通方程为y 1 联立曲线c1和c2的方程得 解得 因此曲线c1和c2交点的直角坐标为 1 1 答案 1 1 1 圆的极坐标方程例1 求满足下列条件的圆的极坐标方程 1 圆心在极点 半径为3 2 圆心为c 3 0 半径为3 3 圆心为c 3 半径为3 4 圆心为c 3 半径为1 方法指导 前两题可直接利用公式写出 后两题需要先通过构造满足条件的三角形的边角关系 再利用正 余弦定理求解 解析 1 圆心在极点 半径为3 该圆的极坐标方程为 3 2 圆心为c 3 0 半径为3 该圆的极坐标方程为 6cos 3 如图 在圆上任取一点m 连接om mp 由题意可知 op 6且 mop为直角三角形 om op sin 故该圆的极坐标方程为 6sin 0 4 法一 如图 在圆上任取一点m 连接mc 在 moc中 oc 3 om mc 1 moc 由余弦定理得mc2 om2 oc2 2om oc cos moc 1 2 32 2 3 cos 化简得 2 6 cos 8 0 即该圆的极坐标方程为 2 6 cos 8 0 法二 将圆心c 3 化为直角坐标为c 于是圆c的直角坐标方程为 x 2 y 2 1 转化为极坐标方程为 cos 2 sin 2 1 化简得 2 6 cos 8 0 即该圆的极坐标方程为 2 6 cos 8 0 变式训练1 在平面直角坐标系中 已知点a 3 0 p是圆x2 y2 1上的一个动点 且 aop的平分线交pa于点q 建立适当的极坐标系 求点q的轨迹的极坐标方程 no 1middleschool mylove 解析 如图 以o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 设q 则p 1 2 s oqa s oqp s oap 3 sin sin 3 1 sin2 化简得 cos 故点q的轨迹的极坐标方程为 cos 2 直线的极坐标方程例2 设点p 2 直线l经过点p且与极轴所成的角为 求直线l的极坐标方程 方法指导 取直线上任意一点m 构造三角形求 om 即可 解析 如图 设m 为直线l上除点p外的任意一点 连接om op 该直线l交极轴于点a 则 om op 2 xam opm mop 所以 om cos mop op 即 cos 2 显然点p也在直线l上 所以直线l的极坐标方程为 cos 2 变式训练2 在直角坐标系xoy中 以o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c的极坐标方程为 cos 1 m n分别为曲线c与x轴 y轴的交点 1 写出曲线c的直角坐标方程 并求点m n的极坐标 2 设mn的中点为p 求直线op的极坐标方程 解析 1 由 cos 1 得 cos sin 1 从而曲线c的直角坐标方程为 x y 1 即x y 2 当 0时 2 所以m 2 0 当 时 所以n 2 由 1 得点m的直角坐标为 2 0 点n的直角坐标为 0 所以点p的直角坐标为 1 则点p的极坐标为 所以直线op的极坐标方程为 r 3 极坐标方程的应用例3 若曲线c的极坐标方程为 2sin 4cos 以极点为原点 极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系 1 求曲线c的直角坐标方程 2 若直线 sin 0与曲线c相交于点a b 求 ab 方法指导 将极坐标转换为直角坐标 若是圆 则用勾股定理求 ab 若不是圆 则用弦长公式求 ab 解析 1 由 2sin 4cos 得 2 2 sin 4 cos 所以x2 y2 4x 2y 0 即 x 2 2 y 1 2 5 故曲线c的直角坐标方程为 x 2 2 y 1 2 5 2 由 sin 0 得 sin cos 0 即 sin cos 0 所以直线的直角坐标方程为x y 0 又因为圆 x 2 2 y 1 2 5的半径为r 圆心 2 1 到直线x y 0的距离为d 所以 ab 2 3 变式训练3已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为 2和 2 2 cos 2 1 把圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解析 1 由 2知 2 4 所以x2 y2 4为圆o1的直角坐标方程 因为 2 2 cos 2 所以 2 2 cos cos sin sin 2 所以x2 y2 2x 2y 2 0为圆o2的直角坐标方程 2 将两圆的直角坐标方程相减 得经过两圆交点的直线方程为x y 1 化为极坐标方程为 cos sin 1 即 sin 2 由 sin 0 得 sin cos 0 即 sin cos 0 所以直线的直角坐标方程为x y 0 又因为圆 x 2 2 y 1 2 5的半径为r 圆心 2 1 到直线x y 0的距离为d 所以 ab 2 3 变式训练3 已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为 2和 2 2 cos 2 1 把圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解析 1 由 2知 2 4 所以x2 y2 4为圆o1的直角坐标方程 因为 2 2 cos 2 所以 2 2 cos cos sin sin 2 所以x2 y2 2x 2y 2 0为圆o2的直角坐标方程 2 将两圆的直角坐标方程相减 得经过两圆交点的直线方程为x y 1 化为极坐标方程为 cos sin 1 即 sin 1 直线的极坐标方程若直线过点m 0 0 且极轴到此直线的角为 则它的方程为 sin 0sin 0 几个特殊位置的直线的极坐标方程 1 直线过极点 0和 0 2 直线过点m a 0 且垂直于极轴 cos a 3 直线过m b 且平行于极轴 sin b 2 圆的极坐标方程若圆心为m 0 0 半径为r 则该圆的方程为 2 2 0 cos 0 r2 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 1 当圆心位于极点 半径为r r 2 当圆心位于m a 0 半径为a 2acos 3 当圆心位于m a 半径为a 2asin 3 极坐标方程的应用 主要有两种方法 1 直接利用极坐标求解 合理建立极坐标系 使所求曲线方程尽量简单 求解时要有数形结合的思想 充分利用解三角形方法中正弦定理 余弦定理列出两极坐标 是求曲线的极坐标方程的法宝 2 巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式 把问题转化为熟悉