北师大版选修44 圆锥曲线的参数方程　 课件（55张）.ppt

二圆锥曲线的参数方程 自主预习 椭圆 双曲线 抛物线的普通方程和参数方程 y2 2px p 0 即时小测 1 参数方程 为参数 表示的曲线为 解析 选b 由参数方程 为参数 得将两式平方相加 得x2 1 表示焦点在y轴上的椭圆 2 直线y 2x 与曲线 为参数 的交点坐标是 解析 因为cos2 1 2sin2 所以曲线方程化为y 1 2x2 与直线y 2x 联立 解得 由 1 sin 1 故不符合题意 舍去 则直线与曲线的交点坐标为答案 知识探究 探究点圆锥曲线的参数方程1 椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么 提示 椭圆的参数方程中 参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角 要把它和这一点的旋转角 区分开来 除了点m在四个顶点处 离心角和旋转角数值可相等外 即在0到2 的范围内 在其他任何一点 两个角的数值都不相等 但当0 时 相应地也有0 在其他象限内也有类似范围 2 抛物线y2 2px p 0 的参数方程 t为参数 中参数t的几何意义是什么 提示 由抛物线参数方程的推导过程可知 参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 归纳总结 1 椭圆的参数方程中的参数 与圆的参数方程中的参数 意义的区别从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数 是椭圆上的点m所对应的大圆的半径oa的旋转角 不是om的旋转角 而圆的参数方程中的 是半径om的旋转角 椭圆参数方程中的 称为点m的离心角 2 余切函数 正割函数 余割函数与双曲线的参数方程 1 定义 如图 已知点p x y 是角 的终边上异于原点的任一点 角 的始边是x轴的正半轴 顶点是坐标原点 其到原点的距离为 op r 则分别叫做角 的余切函 数 正割函数 余割函数 表示为cot k k z sec k k z csc k k z 2 双曲线 a 0 b 0 的参数方程为 为参数 且 k k z 双曲线 a 0 b 0 的参数方程为 为参数 且 k k z 类型一椭圆的参数方程与应用 典例 已知曲线c1的参数方程是 为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c2的极坐标方程是 2 正方形abcd的顶点都在c2上 且a b c d依逆时针次序排列 点a的极坐标为 1 求点a b c d的直角坐标 2 求曲线c1的普通方程 判断曲线形状 3 设p为c1上任意一点 求的取值范围 解题探究 1 典例 1 中如何求各点的直角坐标 提示 先求a点的直角坐标 由对称性求其余各点的坐标 2 曲线c1的形状是什么 提示 将曲线c1的参数方程化为普通方程 是椭圆 3 如何求距离平方和的取值范围 提示 利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题 解析 1 由曲线c2的极坐标方程 2 可知曲线c2是圆心在极点 半径为2的圆 正方形abcd的顶点都在c2上 且a b c d依逆时针次序排列 点a的极坐标为故由对称性得 直角坐标分别为 2 由曲线c1的参数方程 为参数 得两式平方相加得所以曲线是焦点在y轴上的椭圆 3 由于点p为曲线c1上任意一点 得p 2cos 3sin 则 pa 2 pb 2 pc 2 pd 2 2cos 1 2 3sin 2 2cos 2 3sin 1 2 2cos 1 2 3sin 2 2cos 2 3sin 1 2 16cos2 36sin2 16 32 20sin2 因为32 32 20sin2 52 所以 pa 2 pb 2 pc 2 pd 2的取值范围是 32 52 方法技巧 椭圆的参数方程应用技巧 1 椭圆的参数方程 中心在原点的椭圆的参数方程 为参数 a b 0 常数a b分别是椭圆的长半轴 短半轴 焦点f c 0 在x轴上 其中a2 b2 c2 椭圆的参数方程也可以是 为参数 a b 0 2 与椭圆上的动点有关的最大值 最小值或取值范围问题 常常利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决 变式训练 1 椭圆 为参数 在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为 解析 将椭圆的参数方程 为参数 化为普通方程为由a2 25 b2 9 得c2 a2 b2 16 所以c 4 椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为 4 0 答案 4 0 2 在平面直角坐标系xoy中 设p x y 是椭圆上的动点 求s x y的最大值 解析 椭圆的参数方程为 为参数 故可设动点p的坐标为 cos sin 其中0 2 所以s x y cos sin 所以当时 s取得最大值 smax 2 类型二双曲线的参数方程与应用 典例 已知等轴双曲线c的实轴长为2 焦点在x轴上 1 求双曲线的普通方程和参数方程 2 已知点p 0 1 点q在双曲线c上 求的最小值 解题探究 1 求典例中的普通方程和参数方程的思路是什么 提示 运用待定系数法 设普通方程为x2 y2 a2 求参数a的值 再化为参数方程 2 如何求线段长度的最小值 提示 利用双曲线的参数方程转化为三角函数解决 解析 1 设等轴双曲线c的普通方程为x2 y2 a2 依题意 得2a 2 所以a 1 所以x2 y2 1 化为参数方程为 为参数 2 因为点p 0 1 q在双曲线c上 设q sec tan 则当且仅当tan 时 延伸探究 1 若本例条件不变 求双曲线c的焦点到渐近线的距离 解析 由于等轴双曲线c的普通方程为x2 y2 1 一个焦点为f 0 一条渐近线方程为x y 0 所以焦点到渐近线的距离为 2 若本例条件变为 已知p 0 b 点q在双曲线 a b 0 上 如何求 pq 的最小值 解析 由双曲线得参数方程为 为参数 则 当且仅当时 方法技巧 双曲线的参数方程中的应用技巧 1 双曲线的参数方程 为参数 中 所以cos 0 所以 k k z 这也与使tan 有意义的 的取值范围相一致 故我们通常规定参数 的范围为 0 2 且 2 双曲线的参数方程中 常用的三角函数关系式为sin2 cos2 1 1 tan2 sec2 sec2 tan2 1 补偿训练 1 参数方程 为参数 表示曲线的离心率为 解析 参数方程 为参数 即所以表示双曲线 其中c2 a2 b2 9 16 25 所以答案 2 2015 湖北高考 在直角坐标系xoy中 以o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l的极坐标方程为 sin 3cos 0 曲线c的参数方程为 t为参数 l与c相交于a b两点 则 ab 解题指南 先将极坐标方程 sin 3cos 0和曲线c的参数方程 t为参数 化成普通方程 再求解 解析 由 sin 3cos 0知 直线的方程是y 3x 由曲线c的参数方程为 t为参数 消去参数得 y2 x2 4 解方程组 得答案 自我纠错等价转化求轨迹方程 典例 已知a b是抛物线y2 2x上异于顶点的两动点 且oa ob om ab 并与ab相交于点m 求点m的轨迹 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 错误的根本原因一是忽视了动点m不能到达原点导致求方程增解出错 另外 没有判断轨迹形状导致错误 正确解答过程如下 解析 方法一 设m x y 由 2t1t2 2 22t1t2 0 因为a b是抛物线上异于顶点的两动点 所以t1t2 1 所以x t1 t2 y 0 x 0 又且a m b共线 所以 即y t1 t2 2t1t2 x 0 将 代入 得到x2 y2 2x 0 由于动点m不能到达原点 故轨迹方程为x2 y2 2x 0 x