北师大版选修45 平均值不等式 (2) 课件（39张）.pptxVIP

第一章 3平均值不等式 第1课时平均值不等式 学习目标1 理解并掌握平均值不等式的特征结构 2 了解平均值不等式的推广 3 会用平均值不等式解决相关问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一二元平均值不等式 思考回顾a2 b2 2ab的证明过程 并说明等号成立的条件 答案a2 b2 2ab a b 2 0 即a2 b2 2ab 当且仅当a b时 a2 b2 2ab 梳理 1 重要不等式定理1 对任意实数a b 有a2 b22ab 当且仅当a b时取 号 2 二元平均值不等式 定理2 对任意两个正数a b 有 当且仅当时取 号 定理2的应用 对两个正实数x y 如果它们的和s是定值 则当且仅当时 它们的积p取得最值 如果它们的积p是定值 则当且仅当时 它们的和s取得最值 a b x y 大 x y 小 知识点二三元平均值不等式 思考类比二元平均值不等式 a 0 b 0 请写出a b c r 时 三元平均值不等式 梳理 1 定理3 对任意三个正数a b c 有a3 b3 c33abc 当且仅当a b c时取 号 2 定理4 对任意三个正数a b c 有 当且仅当a b c时取 号 3 平均值不等式的推广 算术平均值 几何平均值 题型探究 a b c d 类型一平均值不等式成立的条件 答案 解析 解析在 中 lgx r sinx 1 1 不能确定lgx 0 sinx 0 因此 错误 当且仅当x 0时取等号 故 正确 反思与感悟平均值不等式成立的条件 1 各项均为正数 2 当且仅当各项均相等时 才能成立 跟踪训练1设a b为实数 且ab 0 下列不等式中一定成立的个数是 a 1b 2c 3d 4 当a b 0时 不成立 当a 1 b 2时 不成立 因此 成立 故选b 答案 解析 类型二用平均值不等式证明不等式 当且仅当a b c时等号成立 证明 引申探究 证明 当且仅当a b c时取等号 证明 证明 当且仅当a b c时等号成立 反思与感悟证明不等式的方法 1 首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件 看是否满足 一正 二定 三相等 的条件 若满足即可利用平均值不等式证明 2 若题目不满足该条件 则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子 跟踪训练2 1 已知a b c r 求证 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 证明 证明a4 b4 2a2b2 同理a4 c4 2a2c2 b4 c4 2b2c2 将以上三个不等式相加 得a4 b4 a4 c4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2 即a4 b4 c4 a2b2 a2c2 b2c2 当且仅当a b c时 等号成立 当且仅当a b c时 等号成立 证明 类型三证明不等式的技巧 1 的代换 证明 证明方法一 a b c为正实数 且a b c 1 方法二 a b c r 且a b c 1 当且仅当a b c时 等号成立 引申探究 证明 证明 a2 b2 2ab 证明 a2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2ac a2 b2 b2 c2 a2 c2 2ab 2bc 2ac 即2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a b c 2 1 证明 证明 a2 b2 2ab 2 a2 b2 a b 2 证明 反思与感悟用基本不等式证明不等式时 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形 使之具备基本不等式的结构和条件 然后合理地选择基本不等式进行证明 证明 a b c r 且a b c 1 由于上述三个不等式两边均为正 分别相乘 证明 达标检测 1 2 4 3 5 1 下列不等式中 正确的个数是 答案 解析 a 0b 1c 2d 3 1 2 4 3 5 解析显然 不正确 正确 不正确 如a 1 b 4 1 2 4 3 5 2 下列不等式的证明过程正确的是 答案 解析 1 2 4 3 5 解析对于a a b必须同号 对于b cosx不一定大于0 对于c 由x 0 1 2 4 3 5 当且仅当a b 2时 等号成立 答案 解析 1 2 4 3 5 答案 解析 3 故函数的最小值为3 1 2 4 3 5 证明 a2 b2 2ab 2 a2 b2 a2 b2 2ab a b 2 1 证明 规律与方法 1 应用平均值不等式证明问题时 如果能熟练掌握一些常见结论 可