北师大版选修21 3.1　椭　圆 课件（40张）.pptx

1 1椭圆及其标准方程 第三章 1椭圆 学习目标1 理解椭圆的定义 2 掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一椭圆的定义 思考给你两个图钉 一根无弹性的细绳 一张纸板 一支铅笔 如何画出一个椭圆 答案在纸板上固定两个图钉 绳子的两端固定在图钉上 绳长大于两图钉间的距离 笔尖贴近绳子 将绳子拉紧 移动笔尖即可画出椭圆 梳理 1 平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于 大于 f1f2 的点的集合叫作 这两个定点叫作椭圆的 两焦点间的距离叫作椭圆的 2 椭圆的定义用集合语言叙述为 p m mf1 mf2 2a 2a f1f2 常数 椭圆 焦点 焦距 3 2a与 f1f2 的大小关系所确定的点的集合如下表 知识点二椭圆的标准方程 思考在椭圆的标准方程中a b c一定成立吗 答案不一定 只需a b a c即可 b c的大小关系不确定 梳理 1 椭圆标准方程的两种形式 c 0 0 c 2 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 3 根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些 即 谁大在谁上 如方程为 1的椭圆 焦点在y轴上 而且可求出焦点坐标f1 0 1 f2 0 1 焦距 f1f2 2 思考辨析判断正误 1 已知f1 4 0 f2 4 0 平面内到f1 f2两点的距离之和等于8的点的集合是椭圆 2 已知f1 4 0 f2 4 0 平面内到f1 f2两点的距离之和等于6的点的集合是椭圆 3 平面内到点f1 4 0 f2 4 0 两点的距离之和等于点m 5 3 到f1 f2的距离之和的点的轨迹是椭圆 4 平面内到点f1 4 0 f2 4 0 的距离相等的点的集合是椭圆 题型探究 类型一椭圆定义的应用 例1点p 3 0 是圆c x2 y2 6x 55 0内一定点 动圆m与已知圆相内切且过p点 判断圆心m的轨迹 解方程x2 y2 6x 55 0化成标准形式为 x 3 2 y2 64 圆心为 3 0 半径r 8 因为动圆m与已知圆相内切且过p点 所以 mc mp r 8 根据椭圆的定义 动点m到两定点c p的距离之和为定值8 6 cp 所以动点m的集合是椭圆 解答 反思与感悟 1 椭圆是在平面内定义的 所以 平面内 这一条件不能忽视 2 定义中到两定点的距离之和是常数 而不能是变量 3 常数2a必须大于两定点间的距离 否则轨迹不是椭圆 这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件 跟踪训练1 1 下列命题是真命题的是 将所有真命题的序号都填上 已知定点f1 1 0 f2 1 0 则满足 pf1 pf2 的点p的集合为椭圆 已知定点f1 2 0 f2 2 0 则满足 pf1 pf2 4的点p的集合为线段 到定点f1 3 0 f2 3 0 的距离相等的点的集合为椭圆 答案 解析 解析 2 故点p的轨迹不存在 因为 pf1 pf2 f1f2 4 所以点p的轨迹是线段f1f2 到定点f1 3 0 f2 3 0 的距离相等的点的轨迹是线段f1f2的垂直平分线 y轴 2 已知一动圆m与圆c1 x 3 2 y2 1外切 与圆c2 x 3 2 y2 81内切 试求动圆圆心m的轨迹方程 解由题意可知c1 3 0 r1 1 c2 3 0 r2 9 设m x y 半径为r 则 mc1 1 r mc2 9 r 故 mc1 mc2 10 6 c1c2 由椭圆定义知 点m的轨迹是一个以c1 c2为焦点的椭圆 且a 5 c 3 故b2 a2 c2 16 解答 类型二椭圆的标准方程 解答 由a b 0 知不合题意 故舍去 当椭圆焦点在y轴上时 可设椭圆的标准方程为 方法二设椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 所以所求椭圆的方程为5x2 4y2 1 解答 得 11 21舍去 反思与感悟 1 若椭圆的焦点位置不确定 需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 也可设椭圆方程为mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 解答 跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 椭圆的两个焦点坐标分别为f1 4 0 f2 4 0 椭圆上一点p到两焦点的距离之和等于10 由题意可知2a 10 c 4 故b2 a2 c2 9 解答 2 椭圆过点 3 2 5 1 解设椭圆的一般方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 解答 3 椭圆的焦点在x轴上 且经过点 2 0 和点 0 1 类型三求与椭圆有关的轨迹方程 例3已知b c是两个定点 bc 8 且 abc的周长等于18 求这个三角形的顶点a的轨迹方程 解答 解以bc的中点o为坐标原点 过b c两点的直线为x轴 线段bc的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系xoy 如图所示 由 bc 8可知点b 4 0 c 4 0 由 ab ac bc 18 得 ab ac 10 8 bc 因此 点a的轨迹是以b c为焦点的椭圆 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a 10 但点a不在x轴上 由a 5 c 4 得b2 a2 c2 25 16 9 反思与感悟求动点的轨迹方程常用的方法 1 定义法 若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹 如椭圆 圆等 的定义 则可用定义直接求解 2 直接法 将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化 列出等式后化简 得出动点的轨迹方程 3 相关点法 根据相关点所满足的方程 通过转换求出动点的轨迹方程 解答 解设m x y p x1 y1 m为线段ap的中点 达标检测 答案 a 5b 6c 7d 8 1 2 3 4 5 解析 解析设椭圆的左 右焦点分别为f1 f2 pf1 2 结合椭圆定义 pf2 pf1 10 可得 pf2 8 答案 1 2 3 4 5 2 已知椭圆的焦点为 1 0 和 1 0 点p 2 0 在椭圆上 则椭圆的标准方程为 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 3 设f1 f2是椭圆 1的两个焦点 p是椭圆上的点 且 pf1 pf2 2 1 则 f1pf2的面积 4 pf1 pf2 2a 6且 pf1 pf2 2 1 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 pf1f2是直角三角形 答案 解析 1 2 3 4 5 4 在椭圆 y2 1中 有一沿直线运动的粒子从一个焦点f2出发经椭圆反射后经过另一个焦点f1 再次被椭圆反射后又回到f2 则该粒子在整个运动过程中经过的路程为 1 2 3 4 5 解答 5 若 abc的三边长a b c成等差数列 且b 6 求顶点b的轨迹方程 解以直线ac为x轴 ac的中点为原点 建立平面直角坐标系 设a 3 0 c 3 0 b x y 则 bc ab a c 2b 12 6 ac b点的轨迹是以a c为焦点的椭圆 且a 6 c 3 b 2