三角函数第一轮复习学案.docVIP

三角函数与三角恒等变换任意角的三角函数一、自主梳理1任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形旋转开始时的射线OA叫做角的_，射线的端点O叫做角的_，旋转终止位置的射线OB叫做角的_，按_时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个_角(1)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是_角(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为_；终边在y轴上的角表示为_；终边落在坐标轴上的角可表示为_(3)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把长度等于_长的弧所对的_叫1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做_，它的单位符号是_，读作_，通常略去不写(5)度与弧度的换算关系360_ rad；180_ rad；1_ rad；1 rad_57.30.(6)弧长公式与扇形面积公式l_，即弧长等于_S扇_.2三角函数的定义任意角的三角函数定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么_叫做的正弦，记作sin ，即sin y；_叫做的余弦，记作cos ，即cos x；_叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦3.自我检测1“”是“cos 2”的 （ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2. 点P(tan 2 009，cos 2 009)位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知sin 0，则角是 （ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角4已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 ()A. B. C. D.二、考点分析探究点一角的概念例1(1)如果角是第三象限角，那么，角的终边落在第几象限；(2)写出终边落在直线yx上的角的集合；(3)若168k360 (kZ)，求在0，360)内终边与角的终边相同的角变式迁移1若是第二象限的角，试分别确定2，的终边所在位置探究点二弧长与扇形面积例2已知一个扇形的圆心角是，00)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三三角函数的定义例3已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值变式迁移3已知角的终边经过点P(4a,3a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值三、课堂小结1角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础2三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法 四、课堂练习一、选择题1点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为（ ） A(，) B(，) C(，) D(，)2若0x和cos x同时成立的x的取值范围是 ()A.x B.x C.x D.x3已知为第三象限的角，则所在的象限是 ()A第一或第二象限 B第二或第三象限 C第一或第三象限 D第二或第四象限4若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于 ()Asin B. C. D2sin 5已知且sin cos a，其中a(0,1)，则关于tan 的值，以下四个答案中，可能正确的是 A3 B3或 C D3或二、填空题6已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，且0,2，则的取值范围是_7已知点P落在角的终边上，且0,2)，则的值为_8阅读下列命题：若点P(a,2a) (a0)为角终边上一点，则sin ；同时满足sin ，cos 的角有且只有一个；设tan 且0 (为象限角)，则在第一象限其中正确命题为_(将正确命题的序号填在横线上)三、解答题9已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6，(1)求的弧长； (2)求弓形OAB的面积10在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ； (2)cos .11已知角终边经过点P(x，) (x0)，且cos x.求sin 的值同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、自主梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_. (2)商数关系：_.2诱导公式(1)sin(2k)_，cos(2k)_，tan(2k)_，kZ.(2)sin()_，cos()_，tan()_.(3)sin()_，cos()_，tan()_.(4)sin()_，cos()_，tan()_.(5)sin_，cos_.(6)sin_，cos_.3诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：上述过程体现了化归的思想方法4、自我检测1cos 300等于 ()A B C. D.2若3sin cos 0，则的值为 ()A. B. C. D23是第一象限角，tan ，则sin 等于()A. B. C D4cos()sin()的值是()A. B C0 D.5已知cos()，则sin()_.二、考点分析探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值例1已知x0，0)在闭区间，0上的图象如图所示，则为()A1B2C3D42函数ysin图象的对称轴方程可能是 ()AxBx CxDx3函数f(x)sin，xR的最小正周期为 ()A.BC2D44函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x的最小正周期为 ()A4B3C2D5如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为 ()A.B.C.D.二、考点分析探究点一求三角函数的定义域例1求函数y的定义域变式迁移1函数ylg(2sin x1)的定义域为_探究点二三角函数的单调性例2求函数y2sin的单调区间变式迁移2(1)求函数ysin，x，的单调递减区间；(2)求函数y3tan的周期及单调区间探究点三三角函数的值域与最值例3已知函数f(x)2asin(2x)b的定义域为0，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值变式迁移3设函数f(x)acos xb的最大值是1，最小值是3，试确定g(x)bsin(ax)的周期三、知识扩展转化与化归思想的应用例求下列函数的值域：(1)y2sin2x2cos x2； (2)y3cos xsin x，x0，； (3)ysin xcos xsin xcos x.【突破思维障碍】1对于形如f(x)Asin(x)，xa，b的函数在求值域时，需先确定x的范围，再求值域同时，对于形如yasin xbcos xc的函数，可借助辅助角公式，将函数化为ysin(x)c的形式，从而求得函数的最值2关于yacos2xbcos xc(或yasin2xbsin xc)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域四、课堂小结1熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)2三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题3函数yAsin(x) (A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看作一个整体，利用ysin x的单调区间来求 五、课堂练习一、选择题1已知函数ysin x的定义域为a，b，值域为1，则ba的值不可能是 () A.B.CD.2已知函数ytan x (0)与直线ya相交于A、B两点，且|AB|最小值为，则函数f(x)sin xcos x的单调增区间是 ()A. (kZ) B. (kZ)C. (kZ) D. (kZ)3函数f(x)tan x (0)的图象的相邻的两支截直线y所得线段长为，则f的值是()A0B1C1D.4函数yxcos x的部分图象是图中 ()5若函数ysin xf(x)在，上单调递增，则函数f(x)可以是()A1Bcos x Csin xDcos x二、填空题6设点P是函数f(x)sin x的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是_7函数f(x)2sin 对于任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值为_8定义在区间上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与ysin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_三、解答题(共38分)9已知函数f(x)，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性10已知函数f(x)2sin(x)a(0)与g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)当x0，时，f(x)的最小值为2，求a的值11已知向量a(sin x，2sin x)，b(2cos x，sin x)，定义f(x)ab.(1)求函数yf(x)，xR的单调递减区间；(2)若函数yf(x) (00，0)的图象可由函数ysin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：ysin xysin(x)，把ysin x图象上所有的点向_(0)或向_(0)平行移动_个单位（2）周期变换：ysin (x)ysin(x)，把ysin(x)图象上各点的横坐标_(01)到原来的_倍(纵坐标不变)（3）振幅变换：ysin (x)yAsin(x)，把ysin(x)图象上各点的纵坐标_(A1)或_(0A0，0)，x(，)表示一个振动量时，则_叫做振幅，T_叫做周期，f_叫做频率，_叫做相位，_叫做初相函数yAcos(x)的最小正周期为_yAtan(x)的最小正周期为_4自我检测1要得到函数ysin的图象，可以把函数ysin 2x的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位2已知函数f(x)sin (xR，0)的最小正周期为.将yf(x)的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是 ()A.B.C.D.3已知函数f(x)sin(x)(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象 ()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度4函数ysin的一条对称轴方程是 ()AxBx CxDx5若动直线xa与函数f(x)sin x和g(x)cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为() A1 B. C. D2二、考点分析探究点一三角函数的图象及变换例1已知函数y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到变式迁移1设f(x)cos2xsin xcos xsin2x (xR)(1)画出f(x)在上的图象； (2)求函数的单调增减区间；(3)如何由ysin x的图象变换得到f(x)的图象？探究点二求yAsin(x)的解析式例2已知函数f(x)Asin(x) (A0，0，|0，0，|0，0)的图象如图所示，f()，则f(0)等于() A B CD5若函数yAsin(x)m(A0，0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2Dy2sin2二、填空题6已知函数ysin(x) (0，0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x，则f(x)的取值范围是_三、解答题9已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|0，00)的最小正周期为，(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)在区间上的最小值两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、自主梳理1(1)两角和与差的余弦(，均不等于k，kZ)cos()_， cos()_. (2)两角和与差的正弦sin()_，sin()_.(3)两角和与差的正切tan()_，tan()_.其变形为：tan tan tan()(1tan tan )， tan tan tan()(1tan tan )2辅助角公式asin bcos sin()，其中角称为辅助角3自我检测1计算sin 43cos 13cos 43sin 13的结果等于 ()A.B.C.D.2已知cossin ，则sin的值是 ()AB.CD.3函数f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期是 ()A.BC2D44设0cos ，则的取值范围是 ()A.B. C.D.5已知向量a(sin x，cos x)，向量b(1，)，则|ab|的最大值为()A1B.C3D9二、考点分析探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1求值：(1)2sin 50sin 10(1tan 10)； (2)sin(75)cos(45)cos(15)变式迁移1求值：(1)； (2)tan()tan()tan()tan()探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2已知0，cos，sin，求sin()的值变式迁移2已知tan2，tan .(1)求tan 的值； (2)求的值探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值变式迁移3若sin A，sin B，且A、B均为钝角，求AB的值三、知识扩展转化与化归思想的应用例已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值； (2)若0，且sin ，求sin 的值四、课堂小结1转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等2变换则必须熟悉公式分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件3恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化4基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数 五、课堂练习一、选择题1已知sinsin ，则cos等于 ()ABC.D.2已知cossin ，则sin的值是 ()AB.CD.3已知向量a，b(4,4cos )，若ab，则sin等于()AB C. D.4函数ysin xcos x图象的一条对称轴方程是 ()Ax Bx Cx Dx5在ABC中，3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，则C的大小为 ()A.B. C.或D.或二、填空题6如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等设第i段弧所对的圆心角为i (i1,2,3)，则cos cos sin sin _.7设sin ，tan()，则tan()_.8已知tan 、tan 是方程x23x40的两根，且、，则tan()_，的值为_三、解答题9 (1)已知，且sin()，cos .求sin ；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值10 (1)证明两角和的余弦公式C()：cos()cos cos sin sin ；由C()推导两角和的正弦公式S()：sin()sin cos cos sin .（2）已知ABC的面积S=，3，且cos B，求cos C.11设函数f(x)ab，其中向量a(2cos x,1)，b(cos x，sin 2x)，xR.(1)若函数f(x)1，且x，求x；(2)求函数yf(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出yf(x)在区间0，上的图象简单的三角恒等变换一、自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_ (且k)2公式的逆向变换及有关变形(1)sin cos _cos ；(2)降幂公式：sin2_，cos2_；升幂公式：1cos _，1cos _；变形：1sin 2sin2cos22sin cos _.3、自我检测1函数f(x)2sin xcos x是 ()A最小正周期为2的奇函数 B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数2函数f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分别为 ()A3,1 B2,2 C3， D2，3函数f(x)sin xcos x的最小值是 ()A1BC.D14已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin Asin B ()A有最大值，最小值0 B有最小值，无最大值C既无最大值也无最小值 D有最大值，无最小值二、考点分析探究点一三角函数式的化简例1求函数y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值变式迁移1已知函数f(x).(1)求f的值； (2)当x时，求g(x)f(x)sin 2x的最大值和最小值探究点二三角函数式的求值例2已知sin(2)sin(2)，(，)，求2sin2tan 1的值变式迁移2(1)已知是第一象限角，且cos ，求的值(2)已知cos()，求cos(2)的值探究点三三角恒等式的证明例3已知sin(2)3sin ，设tan x，tan y，记yf(x)(1)求证：tan()2tan ； (2)求f(x)的解析表达式；(3)若角是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域变式迁移3求证：.三、知识扩展转化与化归思想的应用例已知函数f(x)sin2xmsinsin.(1)当m0时，求f(x)在区间上的取值范围； (2)当tan 2时，f()，求m的值1求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角2三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，是的二倍角等(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异 一、选择题1已知0，3sin 2sin ，则cos()等于 ()A.BC.D2已知tan()，tan，那么tan等于 ()A.B.C.D.3已知cos 2 (其中，则sin 的值为 ()A.BC.D4若f(x)2tan x，则f的值为 ()AB8 C4D45在ABC中，若cos 2B3cos(AC)20，则sin B的值是()A.B.C.D1二、填空题6已知为第二象限的角，且sin ，则tan 2_.7函数y2cos2xsin 2x的最小值是_8若，则cos sin 的值为_三、解答题(共38分)9化简：(1)cos 20cos 40cos 60cos 80； (2).10设函数f(x)sin xcos xcos xsin.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当时，求函数f(x)的最大值和最小值11已知函数f(x)2cos 2xsi