北师大版选修11 第四章2.2 最大值、最小值问题（二） 课件（41张）.ppt

2 2最大值 最小值问题 二 第四章导数应用 学习导航 第四章导数应用 1 利用导数解决优化问题的基本思路2 导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的 问题加以解决 最值 3 求函数最值的方法一般地 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 若函数在闭区间 a b 上连续单调 则最大 最小值在端点处取得 2 当连续函数f x 在开区间 a b 内只有一个导数为零的点时 若在这一点处f x 有极大值 或极小值 则可以判定f x 在该点处取得最大值 或最小值 这里 a b 也可以是无穷区间 4 函数最值的实际应用问题 1 解有关函数最大值或最小值的实际问题 需要根据问题中各个变量之间的关系 建立适当的函数关系式 并确定函数的定义域 借助函数的导数这一工具 从数学角度逐步解决实际问题 所求得的结果要符合问题的实际意义 2 求有关最大值或最小值的应用题的关键是建立问题的目标函数 建立目标函数的一般步骤是 根据题意找出与问题有关的各个量 分清其中哪些是变量 哪些是常量 确定变量中的哪个量作为因变量 通常是取要求最值的那个变量作为因变量 而自变量一般有多种取法 自变量是否选取得当 与解题难易关系密切 利用问题的条件 结合平面几何 解析几何及物理学中有关力学 电学 光学等方面的知识 找出变量之间的依存关系 同时确定自变量的取值范围 这样便可得到目标函数 注意 解实际应用问题的关键在于数学模型的建立 要建立符合实际意义的数学模型 则需要准确把握实际问题中量与量之间的关系 审题不严谨是解实际应用问题的易错点 解析 y x2 81 令y 0 解得x 9或x 9 舍去 当00 当x 9时 y 0 所以当x 9时 y取得最大值 c 2 将8分为两个非负数之和 使其立方和最小 则这两个数为 a 2和6b 4和4c 3和5d 以上都不对解析 设一个数为x 则另一个数为8 x 其立方和y x3 8 x 3 83 192x 24x2且0 x 8 y 48x 192 令y 0 即48x 192 0 解得x 4 当0 x0 所以当x 4时 y最小 b a 4 2014 南京市高二期末 已知圆柱的体积为16 cm3 则当底面半径r cm时 圆柱的表面积最小 2 面积 体积最大 小 问题 2013 高考重庆卷 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 链接教材第四章2 2例5 1 将一段长为100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆 怎样截可使正方形与圆的面积之和最小 用料最省 节能减耗问题 方法归纳实际生活中用料最省 费用最低 损耗最小 最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值 此时根据f x 0求出极值点 注意根据实际意义舍弃不合适的极值点 后 函数满足左减右增 此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 利润最大问题 方法归纳 1 求解利润最大问题 首先应理解相应的经济概念 如成本 利润 单价 销售量 边际利润 边际成本等 其次掌握相应的计算公式 如利润 销售额 成本 销售额 单价 销售量等 2 若求利润最大值 首先应将利润表示成某个变量的函数 然后利用导数或函数知识解决 导数在不等式中的应用 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 方法归纳利用导数可以证明含有高次式 指数式 对数式等类型的不等式 在证明的过程中 首先要注意变量的取值范围 再正确地构造出函数 最后再求出函数的最值 设函数f x 2x3 3 a 1 x2 6ax 8 其中a r 1 若f x 在x 3处取得极值 求常数a的值 2 若f x 在 0 上为增函数 求a的取值范围 解 1 f x 6x2 6 a 1 x 6a 6 x a x 1 f x 在x 3处取得极值 f 3 6 3 a 3 1 0 解得a 3 2 若f x 在 0 上为增函数 则只需f x 6 x2 a 1 x a 0在 0 上恒成立即可 令g a 1 x a x2 x 则只需f 0 6a 0即可 当x0 a的取值范围是a 0 感悟提高 不等式恒成立问题 一般都会涉及到求参数的取值范围 往往通过分离变量的方法转化为m f x 或m f x 恒成立 进而转化为利用导数求函数的最值问题 因此 利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法 现有一批货物由海上从a地运往b地 已知轮船的最大航行速度为35海里 时 a地至b地之间的航行距离约为500海里 每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比 比例系数为0 6 其余费用为每小时960元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度x 海里 时 的函数 2 为了使全程运输成本最小 轮船应以多大速度行驶 错因与防范 1 易忽视函数的定义域为 0 35 误认为当x 40时取得最小值 2 生活中的利润最大 用料最省 效率最高等应用问题 通过认真阅读理解关于实际问题的材料 可建立相关数学模型 转化为利用导数这一工具能解决的一般数学问题 解答此类问题应注意结合实际问题的定义域 所得结果要有实际意义 5 甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可