初一数学下寒假培优训练讲义--平行线.doc

1 初一数学寒假培优训练一初一数学寒假培优训练一 余角 余角 补角以及三线八角补角以及三线八角 平行线的判定 平行线的判定 一 考点讲解 一 考点讲解 1 余角 如果两个角的和是直角 那么称这两个角互为余角 2 补角 如果两个角的和是平角 那么称这两个角互为补角 3 对顶角 如果两个角有公共顶点 并且它们的两边互为反向延长线 这样的两个角叫做对顶角 4 互为余角的有关性质 1 2 90 则 1 2 互余 反过来 若 1 2 互余 则 1 2 90 同角或等角的余角相等 如果 l 十 2 90 1 3 90 则 2 3 5 互为补角的有关性质 若 A B 180 则 A B 互补 反过来 若 A B 互补 则 A B 180 同角或等角的补角相等 如果 A C 18 0 A B 18 0 则 B C 6 对顶角的性质 对顶角相等 二 互为余角二 互为余角 互为补角互为补角 对顶角比较对顶角比较 项目定义性质图形 互余角 两个角和等于 直角 90 9021 同角或等角的余角相等 互补角 两个角和等于 平角 180 18021 同角或等角的补角相等 对顶角 两直线相交而成的一个角两边 分别是另一角两边反向延长线 对顶角相等 21 三 经典例题剖析 三 经典例题剖析 例例 1 1 如图所示 AOB 是一条直线 问图中互余的角有哪几对 哪些角是 90 90DOEAOC 相等的 例 1 1 2 1 2 12 AB E O C D 1 2 3 4 2 练习 练习 1 如图所示 AOE 是一条直线 则 90CODAOB 1 如果那么 301 23 2 和互为余角的角有 和相等的角有 1 1 例例 2 2 1 和 2 互余 2 和 3 互补 1 63 3 练习 1 练习 练习 1 如果一个角的补角是 150 那么这个角的余角是 2 1 和 2 互余 2 和 3 互补 3 153 l 例例 3 3 若 l 2 2 且 1 2 90 则 1 2 练习 练习 1 一个角等于它的余角的 2 倍 那么这个角等于它补角的 A 2 倍B 倍C 5 倍D 倍 2 1 5 1 2 已知一个角的余角比它的补角的还少 求这个角 13 5 4 四 巩固练习 四 巩固练习 1 的余角相等 的补角相等 2 一个角的余角 A 一定是钝角 B 一定是锐角 C 可能是锐角 也可能是钝角 D 以上答案都不对 3 下列说法中正确的是 A 两个互补的角中必有一个是钝角 B 一个角的补角一定比这个角大 C 互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D 相等的角一定互余 5 若两个角互补 则 A 这两个都是锐角 B 这两个角都是钝角 C 这两个角一个是锐角 一个是钝角 D 以上结论都不对 6 一个角的余角比它的补角的九分之二多 1 求这个角的度数 7 下列说法中正确的是 A 相等的角是对顶角B 不是对顶角的角不相等 C 对顶角必相等D 有公共顶点的角是对顶角 8 三条直线相交于一点 所成对顶角有 A 3 对B 4 对C 5 对D 6 对 9 下列说法正确的是 A 不相等的角一定不是对顶角B 互补的两个角是邻补角 C 两条直线相交所成的角是对顶角D 互补且有一条公共边的两个角是邻补角 3 10 如图 l 2 1 直线 AB CD 相交于点 O OE AB 于点 O OF 平分 AOE 1 15 30 则下列结论 中不正确的是 A 2 45 B 1 3 C AOD 与 1 互为补角 D 1 的余角等于 75 30 11 为下面推理填写理由 1 互为余角 已知 90 2 如图所示 AB CD 相交于点 O 已知 21 3 已知 32 21 31 4 已知 A B 11 题 90CA 90CB 五五 关于同位角关于同位角 内错角和同旁内角内错角和同旁内角 1 1 共同点 都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系 这两个角有一 共同点 都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系 这两个角有一 条边在同一直线上 条边在同一直线上 2 2 不同点 同位角在两条直线的 不同点 同位角在两条直线的 同方同方 第三条直线的 第三条直线的 同侧同侧 简称 位置相同的角 形状呈 简称 位置相同的角 形状呈 F F 字形 字形 内错角的两条直线内错角的两条直线 内侧内侧 第三条直线 第三条直线 两旁两旁 位置错开 形状呈 位置错开 形状呈 Z Z 字形 字形 同旁内角在两直线之间 第三条直线同旁内角在两直线之间 第三条直线 同旁同旁 形状呈 形状呈 C C 字形 字形 另外注意 寻找另外注意 寻找 三线八角三线八角 关键是找准截线 截线是公共边所在的那条直线 关键是找准截线 截线是公共边所在的那条直线 六六 角位置的确定巩固练习 角位置的确定巩固练习 1 如图 1 所示 直线 a b c 两两相交 共构成 对对顶角 2 如图 2 能与 1 构成同位角的角有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 3 如图 2 能与 1 构成同旁内角的角有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 4 如图 3 所示 已知四条直线 AB BC CD DE 问 1 2 是直线 和直线 被直线 所截而成的 角 1 3 是直线 和直线 被直线 所截而成的 角 4 5 是直线 和直线 被直线 所截而成的 角 2 5 是直线 和直线 被直线 所截而成的 角 5 如图 4 所示 下列各组判断错误的是 A 2 和 3 是同位角 B 1 和 3 是内错角 C 2 和 4 是同旁内角 D 1 和 2 是内错角 七七 直线平行的条件 又叫平行线的判定 直线平行的条件 又叫平行线的判定 O 1 2 A C B D 4 1 1 同位角相等 两直线平行 同位角相等 两直线平行 2 2 内错角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 3 3 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 4 4 同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行 同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行 例例 1 1 如图所示 和是什么角 由哪两条直线被什么样的第三条直线所截 和呢 和1 4 2 3 2 呢 和呢 和呢 4 1 A A 2 练习 练习 例 1 1 如图所示 根据下列条件 可以判定那两条直 180 BBEDFACBAODA 线平行 并说明判定的依据 练习 1 练习 2 2 如图所示 AB CD 两相交直线与 EF MN 两平行直线与 EF MN 两平行直线相交 试问一共可以得到同旁 内角多少对 例例 2 2 如图 已知 B C D 360 则 AB ED 为什么 练习 练习 1 已知 如图 B1 B2 A1 A2 A3 即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和 求证 AA1 BA3 2 如图所示 已知 试说明 AB 与 EF 有怎样的位 10 30 45 25ECDEBCDB 置关系 并说说你判断的理由 AC EF NM D B A B C D 1 2 3 4 A B C DE 例 2 A A1 A2 A3 B1 B2 B 练习 1 A B C D E F 5 练习 2 例例 3 3 如图所示 直线 AB CD 被直线 EF 所截 如果 1 2 CNF BME 那么 AB CD MP NQ 请说 明理由 练习 练习 1 如图所示 直线被直线所截 的 3 倍等于是的余角 求证 ba c1 3 2 1 ab 练习 1 2 已知 如图 AD BC EF BC 1 2 求证 AB GF 例例 4 4 给下列证明过程填写理由 已知 如图所示 AB BC 于 B CD BC 于 C 1 2 求证 BE CF 证明 AB BC 于 B CD BC 于 C 1 3 90 2 4 90 1 与 3 互余 2 与 4 互余 又 1 2 BE CF 练习 练习 已知 如图 2 18 直线 AB CD EF 交于点 O AB CD 1 27 求 2 FOB 的度数 解 AB CD 已知 COB 1 27 已知 3 3 2 2 2 FOB AB E 1 3 CD F 2 4 例 4 1 2 3b a c A B C DF E G 1 2 练习 2 6 FOB 八八 巩固练习巩固练习 1 下列说法正确的是 A 同位角相等B 同旁内角互补 C 若 则互补 D 对顶角相等 1803213 2 1 2 同一平面内有三条直线 若 则与 cba cbba ac A 平行B 垂直C 相交D 重合 3 一个人从 A 点出发向北偏东方向走了 4m 到 B 点 两从 B 点向南偏西的方向走了 3m 到 C 点 60 15 那么等于 ABC A B C D 45 75 105 135 4 如图 2 11 直线 AB CD 相交于 O 点 AOD 与 BOD 叫做 角 AOD 与 BOC 叫 角 若 AOD 2 BOD 则 BOD 度 AOC 度 5 如图 2 14 直线 AD BC 被 CE 所截 C 的同位角是 同旁内角是 1 与 2 是 被 所截得的 角 AB CD 被 AD 所截 A 的内错角是 A 和 ADC 是 角 AB CD 被 BD 所截 和 是内错角 6 如图 2 15 AO OC OB OD 1 2 7 已知 如右图 FE AB CD AB 1 2 求证 AGD ACB 8 已知 如图 2 17 COD 是直线 且 1 3 说明 A O B 三点在一条直线的理由可以写成 COD 是一条直线 1 2 1 3 3 A O B 在一条直线上 7 初一数学寒假培优训练二初一数学寒假培优训练二 平行线的性质 平行线的性质 一一 知识点讲解知识点讲解 平行线的特征平行线的特征 1 两直线平行 同位角相等 2 两直线平行 内错角相等 3 两直线平行 同旁内角角互补 例例 1 如图所示 AB CD AC BD 分别找出与 1 相等或互补的角 例 1 练习 练习 1 如图 2 46 两条直线被第三条直线所截 则 A 同位角必相等 B 内错角必相等 C 同旁内角必互补 D 同位角不一定相等 2 如图 2 47 DE BC DF AC 在图中和 C 相等的角有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例例 2 如图 AB CD B D 比较 A 和 C 的大小 你是怎样推论的 例 2 练习 练习 1 如图 2 54 若 AB EF BC DE 则 E B 2 如图 2 55 已知 1 2 BAD 57 则 B 3 如图 2 56 所示 CD 平分 ACB DE BC AED 70 则 EDC C A B D 1 A BC D 11 例例 3 如图 AB CD 求证 E A C 例 3 练习 练习 1 如图 2 58 AB CD 则 1 A B 2 完成下列推理 如图 2 59 已知 1 36 C 74 B 36 求 4 的度数 1 36 4 3 如图 2 43 求证 三角形的内角和等于 180 例例 4 如图 已知 AB CD BAE 40 ECD 62 EF 平分 AEC 求 AEF 的度数 例 4 练习 练习 1 如图 2 52 所示 AB CD 1 50 则 2 2 如图 2 53 ABD CBD DF AB DE BC 则 1 与 2 的大小关系是 12 例例 5 如下图 已知 CB AB 点 E 在 AB 上 且 CE 平分 BCD DE 平分 ADC EDC DCE 90 求证 DA AB 例 5 练习 练习 1 已知 如图 2 60 1 2 C D 求证 A F 2 如图 2 61 所示 已知直线 MN 分别与直线 AB CD 相交于 E F AB CD EG 平分 BEF FH 平分 CFE 求证 EG FH 例例 6 如图 2 37 AB CD 直线 EF 分别交 AB CD 于正 F EG 平分 BEF 若 1 72 则 2 度 练习 练习 如图 2 64 所示 已知 MN AB 垂足为 G MN CD 垂足为 H 直线 EF 分别交 AB CD 于 G Q GQC 120 求 EGB 和 HGQ 的度数 13 点拨 点拨 1 聪明的同学会问 过 A 点作 EF BC 可达到证明的目的 那么过 B 点或 C 点作平行线是不是也 可行 均可行 这就是思维的灵活性 2 让思维飞扬起来 本题可以推广吗 可以 三边形 即三角形 的内角之和为 180 四边形的内角和为 2 180 如图 2 44 五边形的内角和为 3 180 n 边形的内角和为 n 2 180 n 边形可以分为 n 2 个小三角形的内角和 二 巩固训练二 巩固训练 1 下列说法正确的是 A 两条平行线被第三条直线所截 那么有 3 对内错角相等 B 平行于同一直线的两直线平行 C 垂直于同一直线的两直线垂直 D 两直线被第三条直线所截 同位角相 等 2 两条平行线被第三条直线所截 其同位角的平分线可以组成 A 2 条平行线 2 个直角 B 2 条平行线 4 个直角 C 2 组平行线 4 个直角 D 2 组平行线 16 个直角 3 如图 2 48 AB FF CD EF 1 F 45 那么与 FCD 相等的角有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 如果两个角的两条边分别平行 而其中一个角比另一个角的 3 倍少 20 那么这个角的度数是 A 50 或 130 B 60 或 120 C 65 或 115 D 以上都不是 5 如图 2 49 所示 如果 AD BC 则 1 2 3 4 1 3 2 4 上述结论中一定 正确的是 A 只有 B 只有 C 和 D 6 如图 2 50 直线 a 与 b 相交 直线 c 与 d 平行 图中内错角共有 A 48 对 B 24 对 C 16 对 D 8 对 7 如图 2 51 所示 AB CD AC BD 下面推理不正确的是 A AB CD 已知 5 A 两直线平行 同位角相等 B AB CD 已知 3 4 两直线平行 内错角相等 C AB CD 已知 1 2 两直线平行 内错角相等 D AC BD 已知 3 4 两直线平行 内错角相等 8 如果两个角的一边在同一直线上 另一边互相平行 那么这两个角只能 A 相等 B 互补 C 相等或互补 D 相等且互补 9 若两条平行线被第三条直线所截 则同旁内角的平分线相交所成的角的度数是 10 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边 则这两个角 11 如图 2 57 DH EG BC DC EF 则与 1 相等的角有 个 14 12 已知 如图 2 62 AC DE DC EF CD 平分 BCA 求证 EF 平分 BED 综合能力训练综合能力训练 13 若两条平行线被第三条直线所截 则一对同位角的平分线的位置关系是 A 相交 B 平行 C 垂直 D 不能确定 14 若两条平行线与第三条直线相交 那么一组内错角的平分线互相 A 平行 B 相交 C 垂直 D 重合 15 如下图 DH EG BC 且 DC EF 那么图中与 BFE 相等的角 不包括 BFE 本身 的个数应是 A 2 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 15 题 16 题 16 如上图 已知 AB CD AD BC B 50 EDA 60 则 CDO 17 如下图 已知 CD 平分 ACB DE BC AED 50 求 EDC 的度数 17 题 18 如下图 已知 AB DF DE BC B 65 求 BOE D 的度数 15 18 题 初一数学寒假培优训练三初一数学寒假培优训练三 平行线性质及几何推理语言专题训练 平行线性质及几何推理语言专题训练 一一 平行线的性质平行线的性质 性质定理性质定理 1 1 平行线的性质一 平行线的性质一 2 2 平行线的性质二 平行线的性质二 3 3 平行线的性质三 平行线的性质三 推理语言训练经典例题推理语言训练经典例题 例例 1 1 已知 如图 ADE 60 B 60 C 80 问 AED 等于多少度 为什么 答 AED 理由 ADE B 60 已知 DE BC AED C 例 1 C 80 AED 练习 练习 1 如图 1 AD BC 已知 B 1800 2 1 已知 2 如图 已知 1 1350 8 450 直线 a 与 b 平行吗 说明理由 1 1 1350 已知 2 2 a b 2 8 450 已知 A B C D E 16 6 8 450 1800 a b 例例2 2 已知 如图 1 ABC ADC 3 5 2 4 ABC BCD 180 1 1 ABC 已知 AD 2 3 5 已知 AB 3 2 4 已知 4 1 ADC 已知 例 2 5 ABC BCD 180 已知 练习 练习 1 1 如图 1 EF AB 已知 1 2 3 已知 AB EF 3 A 已知 AC DF 4 2 1800 已知 DE BC 5 AC DF 已知 2 6 EF AB 已知 FCA 1800 2 2 下列说法错误的是 A 内错角相等 两直线平行 B 两直线平行 同旁内角互补 C 相等的角是对顶角 D 等角的补角相等 A B C D 12 3 4 5 17 3 一个角的余角是 46 这个角的补角是 A 134 B 136 C 156 D 144 例例 3 3 如图 1 A 已知 AC ED 2 2 已知 AC ED 3 A 180 已知 AB FD 例 3 4 AB 已知 2 AED 180 5 AC 已知 C 1 练习 练习 1 如图 BE平分 ABC 已知 1 3 又 1 2 已知 2 练习 1 AED 2 如图 4 已知AB DE A 150 D 140 则 C的度数是 A 60 B 75 C 70 D 50 3 若两条平行线被第三条直线所截 则同一对同位角的平分线互相 A 垂直B 平行C 重合D 相交 练习2 例例 4 4 如图 a b 1 122 3 50 求 2 和 4 的度数 A B C D E F 1 2 3 4 3 2 1 b a 18 例 4 练习 练习 1 如图 直线 a 与 b 平行 1 3x 70 2 5x 22 求 3 的度数 练习1 2 如图 已知AB CD BC DE 那么 B D 3 如图 已知CE是DC的延长线 AB DC AD BC 若 B 60 则 BCE D A 练习 2 练习 3 巩固练习巩固练习 1 如图 AB CD 1 102 求 2 3 4 5的度数 并说明根据 2 如图 EF过 ABC的一个顶点A 且EF BC 如果 B 40 2 75 那么 1 3 C BAC B C各是多少度 为什么 3 如果 A 35 18 那么 A 的余角等于 4 一个角的补角比这个角的余角大 度 5 推理填空 如图 B AB CD 3 2 l a b 4 4 19 DGF CD EF AB EF B 180 综合训练综合训练 1 如图1示 AOB 90 COD 90 则 AOD与 1的 关系是 AOD 与 BOC 的关系是 理由是 2 如图 2 直线 AB 与 CD 交于点 O 指出图中的一对对顶 角 如果 AOC 40 那么 BOD 3 如图 2 AOC 与 AOD 互补 BOD 与 AOD 互补 则可得 AOC BOD 这是根据 4 如图 3 1 的同位角是 1 的同旁内角是 1 的内错角是 5 如图 3 已知 a b 若 1 43 则 6 理由是 若 4 128 则 7 6 如图 4 是一条街道的两个拐角 ABC 与 BCD 均为 140 则街道 AB 与 CD 的关系是 这是因为 7 已知一个角等于它的余角的一半 则这个角的度数是 8 一对邻补角的平分线的夹角是 度 9 已知 如图 1 2 则有 A AB CD B AE DF C AB CD 且 AE DF D 以上都不对 10 如图 5 直线 AB 与 CD 交于点 O OE AB 于 O 图 1 与 2 的关系是 A 对顶角 B 互余 C 互补 D 相等 11 下列说法正确的是 图 5 A 相等的角是对顶角 B 一对同旁内角的平分线互相垂直 C 对顶角的平分线在一条直线上 D 同位角相等 12 如图 6 直线 a b 若 1 118 则 2 图2 O D C B A b a 7 6 5 4 3 2 1 图3 图4 AB CD 图1 1 D C B A O C 2 1 E D BA 20 A B CD EF 图 6 13 如图 7 直线 AB 与 CD 平行吗 说明理由 图 7 14 如图 8 已知 AB A B BC B C 那么 B 与 B 有何关系 为什么 图 8 15 如图 9 已知 AB CD 且 B 40 D 70 求 DEB 的度数 提示 过 E 作 EF AB 图 9 16 如图 10 已知 试判断与的关系 并说明你的理由 ABBC BCCD 12 BECF 70 70 C D B A C1B1 CB A 图 10 21 17 如图 11 问吗 为什么 46BAF 136ACE CECD CDAB 初一数学寒假培优训练四初一数学寒假培优训练四 平行线的判定与性质综合训练专题 平行线的判定与性质综合训练专题 一一 平行线的判定平行线的判定 一一 填空填空 1 如图 1 若A 3 则 若2 E 则 若 180 则 2 若 a c b c 则 a b 3 如图 2 写出一个能判定直线 a b 的条件 4 在四边形 ABCD 中 A B 180 则 5 如图 3 若 1 2 180 则 6 如图 4 1 2 3 4 5 中 同位角有 内错角有 同旁内角有 7 如图 5 填空并在括号中填理由 1 由 ABD CDB 得 2 由 CAD ACB 得 3 由 CBA BAD 180 得 A C B 4 1 2 3 5 图图 4 a b cd 1 2 3 图图 3 ABC E D 1 2 3 图图 1图图 2 4 3 2 1 5 a b AD C B O 图图 5 5图图 6 6 5 12 4 3 l1 l2 图图 7 7 5 4 3 2 1 AD CB 图 11 22 8 如图 6 尽可能多地写出直线 l1 l2的条件 9 如图 7 尽可能地写出能判定 AB CD 的条件来 10 如图 8 推理填空 1 A 已知 AC ED 2 2 已知 AC ED 3 A 180 已知 AB FD 4 2 180 已知 AC ED 二二 解答下列各题解答下列各题 11 如图 9 D A B FCB 求证 ED CF 12 如图 10 1 2 3 2 3 4 AFE 60 BDE 120 写出图中平行的直线 并说 明理由 13 如图 11 直线 AB CD 被 EF 所截 1 2 CNF BME 求证 AB CD MP NQ 1 2 3 A F CDB E 图图 8 8 E B A F D C 图图 9 1 3 2 A E CDB F 图图 10 F 2 AB CD Q E 1 P M N 图图 11 23 二二 平行线的性质平行线的性质 一一 填空填空 1 如图 1 已知 1 100 AB CD 则 2 3 4 2 如图 2 直线 AB CD 被 EF 所截 若 1 2 则 AEF CFE 3 如图 3 所示 1 若 EF AC 则 A 180 F 180 2 若 2 则 AE BF 3 若 A 180 则 AE BF 4 如图 4 AB CD 2 2 1 则 2 5 如图 5 AB CD EG AB 于 G 1 50 则 E 6 如图 6 直线 l1 l2 AB l1于 O BC 与 l2交于 E 1 43 则 2 7 如图 7 AB CD AC BC 图中与 CAB 互余的角有 8 如图 8 AB EF CD EG BD 则图中与 1 相等的角 不包括 1 共有 个 二二 解答下列各题解答下列各题 9 如图 9 已知 ABE DEB 180 1 2 求证 F G 图图 1 2 4 3 1 A B C D E 1 2 AB DC E F 图图 2 12 3 4 5 ABC D FE 图图 3 1 2 AB CD E F 图图 4 图图 5 1 AB CD E F G H 图图 7 1 2 D A C B l1 l2 图图 8 1 AB F CD E G 图图 6 CD F E B A 图图 9 1 2 AC B F G E D 24 G 32 1 F E D C BA 10 如图 10 DE BC D DBC 2 1 1 2 求 DEB 的度数 11 如图 11 已知 AB CD 试再添上一个条件 使 1 2 成立 要求给出两个以上答案 并选择其中一个加以证明 12 如图 12 ABD 和 BDC 的平分线交于 E BE 交 CD 于点 F 1 2 90 求证 1 AB CD 2 2 3 90 13 如图 13 EF AD 1 2 BAC 70 将求 AGD 的过程填写完整 解 因为 EF AD 所以 2 图图 11 1 2 AB E F DC C 图图 12 1 2 3 A B DF 25 又因为 1 2 所以 1 3 所以 AB 所以 BAC 180 图图 1313 因为 BAC 70 所以 AGD 14 如图 14 已知 EFB ADC 180 且 1 2 试说明 DG AB 图图14 15 如下图15 直线AB CD相交于O点 OM AB 1 若 1 2 求 NOD 2 若 1 1 4 BOC 求 AOC与 MOD M N 1 O A B D C 2 图图1515 16 如图16 已知 AB CD AE平分 BAC CE平分 ACD 请说明 AE CE A B D C E 图图 16 17 如图 17 已知 求的度数 ABCD 12 56EFD EGD 图 17 26 H P G F E D CBA 初一数学寒假培优训练五初一数学寒假培优训练五 认识三角形 认识三角形 一 主要知识点 一 主要知识点 1 三角形的分类 三角形按边分类可分为 和 等边三角形是等腰三角形的特殊情况 按角分类可分为 和 2 一般三角形的性质 1 角与角的关系 三个内角的和等于 三个外角的和等于 一个外角等于和它不相邻的两 个内角之和 并且大于任何 个和它不相邻的内角 2 边与边的关系 三角形中任两边之和大于第三边 任两边之差小于第三边 3 边与角的大小对应关系 在一个三角形中 边对等角 等角对等 4 三角形的主要线段的性质 见下表 名称基本性质 角平分线 三角形三条内角平分线相交于一点 内心 内心到三角形三边距离相等 角平分线上任一点到角的两边距离相等 中线三角形的三条中线相交于一点 高三角形的三条高相交于一点 边的垂直 平分线 三角形的三边的垂直平分线相交于一点 外心 外心到三角形三个顶点的距离相 等 3 几种特殊三角形的特殊性质 1 等腰三角形的特殊性质 等腰三角形的两个 角相等 等腰三角形 中线 和 是同一条线段 三线合一 这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴 2 等边三角形的特殊性质 等边三角形每个内角都等于 三线合一 3 直角三角形的特殊性质 直角三角形的两个锐角互为 角 27 4 三角形的面积一般三角形 S a h h 是a边上的高 2 1 二 典型例题二 典型例题 例例 1 1 如图 AC DF GH是截线 CBF 40 BHF 80 求 HBF BFP BED BEF 的度数 例 1 练习 练习 1 在 ABC 中 A 50 B C 的角平分线相交于点 O 则 BOC 的度数是 A 65 B 115 C 130 D 100 2 如图 已知在 ABC 中 AB AC A 40 ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D 求 ADB 和 CDB 的度数 例例 2 2 练习 2 在 ABC 中 已知 B 40 C 80 则 A 度 在 ABC 中 A 60 C 50 则外角 CBD 已知 在 ABC 中 A B C 那么 ABC 的形状为 A 直角三角形 B 钝角三角形 C 锐角三角形 D 以上都不对 下列长度的三条线段能组成三角形的是 A 3cm 4cm 8cm B 5cm 6cm 11cm C 5cm 6cm 10cm D 3cm 8cm 12cm 如果一个三角形的三边长分别为x 2 3 那么x的取值范围是 小华要从长度分别为 5cm 6cm 11cm 16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形 那么他选的三根 木棒的长度分别是 已知等腰三角形的一边长为 6 另一边长为 10 则它的周长为 在 ABC 中 AB AC BC 10cm A 80 则 B C BD CD 如图 AB AC BC AD 若 BC 6 则 BD 画一画画一画 如图 在如图 在 ABC ABC 中 中 1 1 画出 画出 C C 的平分线的平分线 CDCD 2 2 画出 画出 BCBC 边上的中线边上的中线 AEAE B A 28 3 3 画出 画出 ABC ABC 的边的边 ACAC 上的高上的高 BFBF 练习 练习 1 已知在 ABC 中 A B 107 则 C 的外角度数为 2 若 AD 是 ABC 的高 则 ADB 度 3 若 AE 是 ABC 的中线 BC 4 则 BE 4 若 AF 是 ABC 中 A 的平分线 A 70 则 CAF 度 例例 3 3 ABC 中 C 90 B 2 A 30 则 A B 在等腰三角形中 一个角是另一个角的 2 倍 求三个角 在等腰三角形中 周长为 40cm 一条边是另一条边的 2 倍 求三条边的长 练习 练习 1 等腰三角形中 一个角为 50 则这个等腰三角形的顶角的度数为 A 150 B 80 C 50 或 80 D 70 2 在 ABC 中 A B C 1 2 3 C 3 ABC 中 BO CO 分别平分 ABC ACB 若 A 70 则 BOC 若 BOC 120 A 例例 4 4 在 ABC 中 A 是 B 的 2 倍 C 比 A 与 B 的和大 12 求这个三角形的三个内角的度 数 练习 练习 1 在 ABC 中 A B C 1 2 3 则 ABC 是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 不能确定形状 2 如图 2 1 2 3 是 ABC 的外角 若 1 2 3 4 3 2 则 ABC 等于 A 60 B 80 C 90 D 100 例例 5 5 如图 求 A B C D E 的度数 29 练习 练习 例 5 1 1 如图 1 在 ABC 中 与 ACB 相邻的一个外角等于 110 A 40 则 B 的度数是 A 30 B 50 C 60 D 70 图 1 图 2 图 3 2 如图 2 试求 A B C D E F 的度数 3 已知如图 3 A B C D E 五个角的和的度数是 A 100 B 180 C 360 D 540 4 如图 4 1 2 3 4 度 例例 6 6 如图 试说明 A ABC C ADC 练习 练习 例 6 1 如图 已知 B ACB 75 BDE 3 E 试求 ADE 的度数 练习 1 2 如图 在四边形 ABCD 中 B 70 C 50 在顶点 D 的一个外角为 100 则在顶点 A 的一 30 个外角 x 练习 2 三 巩固练习三 巩固练习 1 如图 1 如果 1 2 3 则 AM 为 的角平分线 AN 为 的角平分线 2 ABC 中 BC 12cm BC 边上的高 AD 6cm 则 ABC 的面积为 3 直角三角形的一锐角为 60 则另一锐角为 4 等腰三角形的一个角为 45 则顶角为 图 1 5 如图 2 用 连结 A 1 2 6 已知在 ABC 中 若 A 比 B 大 20 外角 ACD 96 则 A B 7 如图 3 则与的关系是 ADBC DEAB CDE BAD 互余 互补 相等 不能确定 图 2 8 如图 4 已知 B C AD BC 求证 AD 是 EAC 的角平分线 9 如图 5 ABC 中 D 为 ABC 内一点 已知 BDC 100 1 30 2 20 求 A 的度数 2 C 3 N M B 1 A 图 3 图 4 31 图 5 10 如图 6 已知 在 MNG 中 AB CD EMB 50 MN MG 求 FMG 的度数 图 6 初一数学寒假培优训练六初一数学寒假培优训练六 三角形全等的判定 三角形全等的判定 一 知识讲解 一 知识讲解 1 1 概念理解 概念理解 两个三角形的形状 大小 都一样时 其中一个可以经过平移 旋转 对称等运动 或称变换 使之与 另一个重合 这两个三角形称为全等三角形 2 2 三角形全等的判定公理及推论有 三角形全等的判定公理及推论有 1 边角边 简称 SAS 2 角边角 简称 ASA 4 角角边 简称 AAS 4 边边边 简称 SSS 3 3 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等 对应边相等 4 4 三角形全等的条件探究三角形全等的条件探究 4 14 1 探索 给出一个条件时探索 给出一个条件时 1 1 只给定一条边时 如图中的实线 由图可知 这三个三角形不全等 32 2 2 只给定一个角时夹角 如图中的实线 由画图可知 这三个三角形也不全等 因此 只给出一个条件时 不能保证所画出的三角形一定全等 因此 只给出一个条件时 不能保证所画出的三角形一定全等 4 24 2 探索 给出两个条件时 探索 给出两个条件时 1 1 三角形的一个内角为 30 一条边为 3 厘米 如图 这三个三角形不全等 2 2 三角形的两个内角分别为 30 和 50 如图 它们看起来的形状一样 但大小不一样 3 3 三角形的两条边分别为 4cm 6cm 如图 它们也不全等 4 34 3 给出三个条件时 有四种可能 即 给出三个条件时 有四种可能 即 三条边 三个角 两边一角和两角一边 下面我们来逐一探索 1 1 已知三角形的三个内角 已知三角形的三个内角 如果已知一个三角形的三个内角分别为 40 60 80 33 通过比较得知 给出三角形的三个内角 得到的三角形不一定全等 2 2 已知三角形的三条边 已知三角形的三条边 如果已知一个三角形的三条边分别是 4cm 5cm 和 7cm 画出这个三角形如 图 比较可知 这样的所有三角形都是全等的 由此可知 已知三角形的三边 则画出的所有三角形都全 等 结论结论 1 1 三边对应相等的两个三角形全等 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边边边边 或或 SSS SSS 如下图 3 3 已知三角形的已知三角形的 两角一边两角一边 A A 如果 如果 两角一边两角一边 条件中的边是两角所夹的边 条件中的边是两角所夹的边 如 三角形的两个内角分别是 60 和 80 它们所夹的边为 2cm 我们来画出这个三角形 如图 已知一个三角形的两个内角及其夹边 那么由此得到的三角形都是全等的 由此我们得到了判定三 角形全等的另一条件 结论结论 2 2 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写为 角边角角边角 或或 ASA ASA 如图 在 ABC 和 DEF 中 34 B B 如果 如果 两角及一边两角及一边 条件中的边是其中一角的对边条件中的边是其中一角的对边 如果 60 角所对的边为 3cm 时 画出的图形如下 如果 45 角所对的边为 3cm 时 画出的图形如下 结论结论 3 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简称 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简称 角角边角角边 或或 AAS AAS 如图 在 ABC 和 DEF 中 35 4 4 已知三角形的两边及一角 已知三角形的两边及一角 有两种情况 两边及这两边的夹角 两边及一边的对角 A A 如果 如果 两边及一角两边及一角 条件中的角是两边的夹角 条件中的角是两边的夹角 如 三角形的两条边分别为 2 5cm 3 5cm 它们的夹角为 40 如图 结论 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 结论 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简称简称 边角边边角边 或或 SAS SAS 如图 在 ABC 和 DEF 中 B B 如果 如果 两边及一角两边及一角 条件中的角是其中一边的对角 条件中的角是其中一边的对角 按上述条件画的三角形不唯一 存在不同的三角形满足上述条件 如图 由图可知 这两个三角形不全等 36 结论结论 4 4 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 二 整理总结二 整理总结 一 三角形全等的识别方法 一 三角形全等的识别方法 图 1 1 如图 1 ABC 与 DEF 中 2 如图 1 ABC 与 DEF 中 ABC DEF ABC DEF 3 如图 1 ABC 与 DEF 中 4 如图 1 ABC 与 DEF 中 ABC DEF ABC DEF 5 如图 2 Rt ABC 与 Rt DEF 中 90 Rt ABC Rt DEF 图 2 二 全等三角形的特征 二 全等三角形的特征 如图如图 3 3 ABC DEF AB AC BC 全等三角形的对应边 A B C 图 3 全等三角形的对应边 37 三 典型例题三 典型例题 例例 1 1 如图 ABC DEF AB 和 DE AC 和 DF 是对应边 说出对应角和另一组对应边 例 1 练习 练习 1 如图 ABE ACD AB AC 写出两个全等三角形的对应角与对应边 并问图中是否存在其它的 全等三角形 练习 1 2 如图 ABC DCB 找出图中所有的对应角和对应边 练习 2 例例 2 2 如图 AD AE D E 在 BC 上 BD