北师大版选修11 第二章 §3　双曲线 课件（43张）.pptxVIP

3 1双曲线及其标准方程 第二章 3双曲线 学习目标1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程 2 掌握双曲线的标准方程及其求法 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一双曲线的定义 思考若取一条拉链 拉开它的一部分 在拉开的两边上各选择一点 分别固定在点f1 f2上 把笔尖放在点m处 拉开或闭拢拉链 笔尖经过的点可画出一条曲线 那么曲线上的点应满足怎样的几何条件 答案如图 曲线上的点满足条件 mf1 mf2 常数 小于 f1f2 如果改变一下笔尖位置 使 mf2 mf1 常数 小于 f1f2 可得到另一条曲线 梳理 1 平面内到两个定点f1 f2的距离之差的等于非零常数 小于 f1f2 的点的集合叫作双曲线 叫作双曲线的焦点 两焦点间的距离叫作双曲线的 2 关于 小于 f1f2 若将 小于 f1f2 改为 等于 f1f2 其余条件不变 则动点轨迹是以f1 f2为端点的 包括端点 若将 小于 f1f2 改为 大于 f1f2 其余条件不变 则动点轨迹不存在 绝对值 这两个定点 焦距 两条射线 3 若将 绝对值 去掉 其余条件不变 则动点的轨迹只有双曲线的 4 若常数为零 其余条件不变 则点的轨迹是 一支 线段f1f2的中垂线 知识点二双曲线的标准方程 思考双曲线中a b c的关系如何 与椭圆中a b c的关系有何不同 答案双曲线标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里b2 c2 a2 即c2 a2 b2 其中c a c b a与b的大小关系不确定 而在椭圆中b2 a2 c2 即a2 b2 c2 其中a b 0 a c c与b大小不确定 梳理 1 双曲线两种形式的标准方程 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c a2 b2 c2 2 焦点f1 f2的位置是双曲线定位的条件 它决定了双曲线标准方程的类型 焦点跟着正项走 若x2项的系数为正 则焦点在上 若y2项的系数为正 则焦点在上 3 双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为ax2 by2 1 ab 0 4 标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 注意这里的b2 与椭圆中的b2 相区别 x轴 y轴 c2 a2 a2 c2 思考辨析判断正误 1 平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线 2 平面内到两定点的距离之差等于常数 大于零且小于 f1f2 的点的轨迹是双曲线 题型探究 类型一求双曲线的标准方程 解答 例1求适合下列条件的双曲线的标准方程 解当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 把a点的坐标代入 得b2 9 2 经过点 3 0 6 3 解答 解设双曲线的方程为mx2 ny2 1 mn 0 双曲线经过点 3 0 6 3 反思与感悟求双曲线方程的方法 1 求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似 也是 先定型 后定量 利用待定系数法求解 2 当焦点位置不确定时 应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论 3 当已知双曲线经过两点 求双曲线的标准方程时 把双曲线方程设成mx2 ny2 1 mn 0 的形式求解 跟踪训练1根据下列条件 求双曲线的标准方程 双曲线经过点 5 2 解答 解答 类型二由双曲线的标准方程求参数 解析 a 2 1 b 2 c 1 d 2 1 答案 解析由题意可知 2 m m 1 0 2 m 1 跟踪训练2若k 1 则关于x y的方程 1 k x2 y2 k2 1所表示的曲线是a 焦点在x轴上的椭圆b 焦点在y轴上的椭圆c 焦点在y轴上的双曲线d 焦点在x轴上的双曲线 解析 答案 k 1 k2 1 0 k 1 0 方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线 类型三双曲线的定义及应用 命题角度1双曲线中的焦点三角形 答案 解析 4a 2m 解析由双曲线的定义 知 af1 af2 2a bf1 bf2 2a 又 af2 bf2 ab 所以 abf1的周长为 af1 bf1 ab 4a 2 ab 4a 2m 答案 解析 12 解析由已知得2a 2 又由双曲线的定义 得 pf1 pf2 2 因为 pf1 pf2 3 2 所以 pf1 6 pf2 4 所以 f1pf2为直角三角形 引申探究本例 2 中 若将 pf1 pf2 3 2 改为 pf1 pf2 24 求 pf1f2的面积 解答 因为 pf1 pf2 24 所以 pf1f2为直角三角形 1 方法一 根据双曲线的定义求出 pf1 pf2 2a 利用余弦定理表示出 pf1 pf2 f1f2 之间满足的关系式 通过配方 利用整体的思想求出 pf1 pf2 的值 特别提醒 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题 一是要注意定义条件 pf1 pf2 2a的变形使用 特别是与 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 之间的关系 跟踪训练3已知f1 f2分别为双曲线c x2 y2 1的左 右焦点 点p在c上 f1pf2 60 则 pf1 pf2 等于a 1b 4c 6d 8 答案 解析 解析设 pf1 m pf2 n 由余弦定理得 f1f2 2 m2 n2 2mncos f1pf2 即m2 n2 mn 8 m n 2 mn 8 mn 4 即 pf1 pf2 4 命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例4已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 答案 解析 解析如图 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和b 根据两圆外切的条件 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc1 ac1 mc2 bc2 即 mc2 mc1 2 这表明动点m与两定点c2 c1的距离的差是常数2且2 6 c1c2 根据双曲线的定义 动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 这里a 1 c 3 则b2 8 设点m的坐标为 x y 反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点 1 注意条件中是到定点距离之差 还是差的绝对值 2 当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题 3 求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上 跟踪训练4已知动圆m与圆c1 x 4 2 y2 2外切 与圆c2 x 4 2 y2 2内切 则动圆圆心m的轨迹方程为 答案 解析 解析设动圆m的半径为r 则由已知得 又c1 4 0 c2 4 0 根据双曲线定义知 点m的轨迹是以c1 4 0 c2 4 0 为焦点的双曲线的右支 达标检测 1 已知f1 3 3 f2 3 3 动点p满足 pf1 pf2 4 则p点的轨迹是a 双曲线b 双曲线的一支c 不存在d 一条射线 答案 解析 1 2 3 4 5 解析因为 pf1 pf2 4 且4 f1f2 由双曲线定义知 p点的轨迹是双曲线的一支 a 3 2d k 2 1 2 3 4 5 答案 解析 解析由题意知 k 3 0且k 2 0 3 k 2 又由 f1f2 10 可得 pf1f2是直角三角形 且pf1 pf2 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 解析由a 0 0 a2 4 且4 a2 a 2 可解得a 1 5 p是双曲线x2 y2 16的左支上一点 f1 f2分别是左 右焦点 则 pf1 pf2 1 2 3 4 5 答案 解析 8 所以a2 16 2a 8 因为p点在双曲线左支上 所以 pf1 pf2 8 1 双曲线定义中 pf1 pf2