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文档简介
第四节摆线和渐开线 1 了解圆的渐开线的参数方程 2 了解摆线的生成过程及它的参数方程 3 学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 4 通过阅读材料 了解其他曲线 应用计算机展现多种生成曲线 并感受这些曲线的美 学习目标 1 掌握渐开线和摆线的参数方程及应用 重点 2 常与方程 三角函数和圆锥曲线结合命题 难点 学法指要 预习学案 1 渐开线及其参数方程 1 把线绕在圆周上 假设线的粗细可以忽略 拉着线头离开 保持线与圆相切 的轨迹就叫做圆的渐开线 相应的 叫做渐开线的 2 设基圆的半径为r 圆的渐开线的参数方程 是参数 圆周 线头 定圆 基圆 2 摆线及其参数方程 1 当一个圆沿着一条定直线 滚动时 圆周上的 的轨迹叫做 简称 又叫做 无滑动地 定点运动 半摆线 摆线 旋轮线 1 关于渐开线和摆线的叙述 正确的是 a 只有圆才有渐开线b 渐开线和摆线的定义是一样的 只是绘图的方法不一样 所以才得到了不同的图形c 正方形也可以有渐开线d 对于同一个圆 如果建立的平面直角坐标系的位置不同 画出的渐开线形状就不同 解析 a 不仅圆有渐开线 其他图形如椭圆 正方形也有渐开线b两者定义上虽有相似之处 但它们的实质是完全不同的 因此得到的图形也不相同c 同a项解析d 对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系 画出的图形大小和形状都是一样的 只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同答案 c 答案 c 4 已知一个圆的摆线过一定点 1 0 请写出该摆线的参数方程 课堂讲义 圆的渐开线参数方程 变式训练 1 基圆直径为10 求其渐开线的参数方程 已知一个圆的摆线过一定点 2 0 请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程 思路点拨 圆的摆线方程 平摆线和渐开线参数方程的应用 设圆的半径为8 沿x轴正向滚动 开始时圆与x轴相切于原点o 记圆上动点为m 它随圆的滚动而改变位置 写出圆滚动一周时m点的轨迹方程 画出相应曲线 求此曲线上纵坐标y的最大值 说明该曲线的对称轴 思路点拨 1 列出轨迹方程 2 根据图象找出最大值点 3 得曲线的对称轴 规律方法 摆线的参数方程是三角函数的形式 可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方 1 在机械工业中 广泛地使用齿轮传递动力 由于渐开线齿形的齿轮磨损少 传动平稳制造安装较为方便 因此大多数齿轮采用这种齿形 设计加工这种齿轮 需要借助圆的渐开线方程 除了我们已经了解的平摆线 内外摆线 还有各种各样的摆线 它们已经被应用在图案设计 摆线齿轮 少齿差行星减速器 摆线转子油泵 旋转活塞
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