08高考文科试题分类立体几何.doc

3eud教育网 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！08 立体几何一、选择题 1（安徽3）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是省（ B ）ABC D 2（北京8）如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ B ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO3(福建6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ D ）A. B. C. D.4（广东7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）5（宁夏12）已知平面平面，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ D ）ABCD6（湖南5）已知直线m,n和平面满足,则 ( D ) 或 或7（湖南9）长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是( B )A B C D28（江西9）设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ B ）A在平面内有且只有一条直线与直线垂直B过直线有且只有一个平面与平面垂直C与直线垂直的直线不可能与平面平行D与直线平行的平面不可能与平面垂直9（辽宁12）在正方体中，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，都相交的直线（ D ）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条10（全国11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ B ）ABCD11（全国8）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ B ）A3 B6 C9 D18 12（全国12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ）A1 B C D213(山东俯视图正(主)视图侧(左)视图23226) 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ）ABCD14（上海13）给定空间中的直线l及平面条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（C）充分非必要条件必要非充分条件C充要条件 既非充分又非必要条件15（四川）设是球心的半径的中点，分别过作垂直于的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D )（） （） （） （）16（四川10）设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有：( B )（）条（）条（）条（）条17（四川12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )（） （） （） （）18(天津5) 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ C ）ABCD19（浙江9）对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得 ( B )（A） （B）（C） （D）20(重庆11)如题（11）图，模块均由4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为 ( A )(A)模块，(B)模块，(C)模块， (D)模块，21(湖北4).用与球必距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为 ( D ) A. B. C. D. 22(陕西8)长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为( C )ABCD23(陕西10) 如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ D ）ABablABCD二、填空题 1（安徽16）已知点在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是 2（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 . 93（广东15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB1，则圆O的半径R=_.4（宁夏14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为5（江西15）连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 56（辽宁14）在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_7（全国16）已知菱形中，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 8（全国16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件）两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形注：上面给出了四个充要条件如果考生写出其他正确答案，同样给分9（浙江15）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于 。10(天津13) 若一个球的体积为，则它的表面积为 三、解答题1（安徽19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。方法一（综合法）（1） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以 与所成角的大小为（）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(2) 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , .所以点B到平面OCD的距离为2（北京16）（本小题共14分）ACBP如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小解法一：（）取中点，连结ACBDP，平面平面，（），ACBEP又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，二面角的大小为解法二：（），又，ACBPzxyE，平面平面，（）如图，以为原点建立空间直角坐标系则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为3（福建19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.()求证:PO平面ABCD；()求异面直线PB与CD所成角的余弦值；()求点A到平面PCD的距离.解法一：（）证明：在PAD卡中PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.（）连结BO，在直角梯形ABCD中，BCAD,AD=2AB=2BC，有ODBC且ODBC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC.由（）知POOB，PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD2AB2BC2，在RtAOB中，AB1，AO1，所以OB，在RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，PB,cosPBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.()由（）得CDOB，在RtPOC中，PC，所以PCCDDP，SPCD=2=.又S=设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得SACDOPSPCDh，即11h，解得h.解法二：（）同解法一，（）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以（-1，1，0），（t，-1，-1），、=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，（）设平面PCD的法向量为n（x0,y0,x0），由（）知=（-1，0，1），（-1，1，0），则n0，所以-x0+ x0=0,n0，-x0+ y0=0，即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d4（广东18）（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD=60,BDC=45,ADPBAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积.解：（1） BD是圆的直径 又 , , ; (2 ) 在中， 又 底面ABCD 三棱锥的体积为 .5（宁夏18）（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结，证明：面46422EDABCFG2解：（）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图） 3分（）所求多面体体积ABCDEFG7分（）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面12分6（江苏16）（14分）在四面体中，且E、F分别是AB、BD的中点，求证：（1）直线EF/面ACD（2）面EFC面BCD【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。（1）E、F分别是AB、BD的中点 EF是ABD的中位线EF/ADBCAFDE又面ACD，AD面ACD直线EF/面ACD（2） 7（江西20）如图，正三棱锥的三条侧棱、两两垂直，且长度均为2、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、或其延长线分别相交于、，已知（1）求证：面；（2）求二面角的大小解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以，则平面，所以。 又是的中点，所以，则。 因为，所以面，则，因此面。（2）作于，连。因为平面，根据三垂线定理知， 就是二面角的平面角。 作于，则，则是的中点，则。设，由得，解得，在中，则，。所以，故二面角为。解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 所以所以 所以平面 由得，故：平面 (2)由已知设则由与共线得:存在有得同理: 设是平面的一个法向量,则令得又是平面的一个法量 所以二面角的大小为 8（江苏选修）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围解：由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有, 由，得，所以 显然不是平角，所以为钝角等价于 ，则等价于即 ，得因此，的取值范围是9（湖南18）（本小题满分12分）如图所示，四棱锥PABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面积ABCD，PA.()证明：平面PBE平面PAB；()求二面角ABEP的大小.解解法一()如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB.又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.()由()知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角.在RtPAB中，tanPBA，PBA60.故二面角ABEP的大小是60.解法二如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C()，D()，P()，E().()因为，平面PAB的一个法向量是(0,1,0)，所以和共线.从而BE平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE平面PAB.()易知=(1,0,-), =(0,0),设=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则有所以y1=0,x1=z1.故可取=(,0,1).而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).于是，cos,.故二面角A-BE-P的大小是10（辽宁19）（本小题满分12分）ABCDEFPQHG如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF，截面PQGH（）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（）若，求与平面PQEF所成角的正弦值解法一：（）证明：在正方体中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）证明：由（）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值8分（）解：设交于点，连结，ABCDEFPQHGN因为平面，所以为与平面所成的角因为，所以分别为，的中点可知，所以12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分（）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值8分（）解：由（）知是平面的法向量由为中点可知，分别为，的中点所以，因此与平面所成角的正弦值等于12分11（全国18）（本小题满分12分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；CDEAB（）设侧面为等边三角形，求二面角的大小解：（1）取中点，连接交于点，又面面，面，即，面，（2）在面内过点做的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角，则，12（全国20）（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且ABCDEA1B1C1D1（）证明：平面；（）求二面角的大小解法一：依题设，（）连结交于点，则由三垂线定理知，3分在平面内，连结交于点，ABCDEA1B1C1D1FHG由于，故，与互余于是与平面内两条相交直线都垂直，所以平面6分（）作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角8分，又，ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小为12分 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，3分（）因为，故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为12分13(山东19)（本小题满分12分）ABCMPD如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，（）设是上的一点，证明：平面平面；（）求四棱锥的体积（）证明：在中，由于，ABCMPDO所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面（）解：过作交于，由于平面平面，所以平面因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形因此在底面四边形中，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故14（上海16）(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解】过E作EFBC，交BC于F，连接DF. EF平面ABCD， EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. 4分由题意，得EF= .8分 EFDF， .10分故直线DE与平面ABCD所成角的大小是.12分15（四川19）（本小题满分12分） 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，分别为的中点（）证明：四边形是平行四边形；（）四点是否共面？为什么？（）设，证明：平面平面；【解1】：（）由题意知，所以又，故所以四边形是平行四边形。（）四点共面。理由如下：由，是的中点知，所以由（）知，所以，故共面。又点在直线上所以四点共面。（）连结，由，及知是正方形故。由题设知两两垂直，故平面，因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，又，所以平面由（）知，所以平面。由（）知平面，故平面，得平面平面【解2】：由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（）设，则由题设得所以于是又点不在直线上所以四边形是平行四边形。（）四点共面。理由如下：由题设知，所以又，故四点共面。（）由得，所以又，因此即又，所以平面故由平面，得平面平面16(天津19)（本小题满分12分）ABCDP如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小（）证明：在中，由题设，可得，于是在矩形中，又，所以平面（）解：由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角在中，由余弦定理得ABCDPHE由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为（）解：过点作于，过点作于，连结因为平面，平面，所以又，因而平面，故为在平面内的射影由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角由题设可得，于是在中，所以二面角的大小为17（浙江20）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求证：AE/平面DCF；（）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？ 方法一：DABEFCHG（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，又因为，所以，从而于是因为，所以当为时，二面角的大小为DABEFCyzx方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为18（重庆20）（本小题满分12分，（）小问6分，（）小问6分.） 如图（20）图， 为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A，B，AA3，BB2.若二面角的大小为，求： （）点B到平面的距离;（）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.解：（1）如答（20）图，过点BCAA且使BC=AA.过点B作BDCB，交CB的延长线于D.由已知AAl，可得DBl，又已知BBl，故l平面BBD，得BDl又因BDCB，从而BD平面,BD之长即为点B到平面的距离.因BCl且BBl，故BBC为二面角-l-的平面角.由题意，BBC=.因此在RtBBD中，BB=2,BBD=-BBC=,BD=BBsinBBD=.（）连接AC、BC.因BCAA，BC=AA,AAl,知AACB为矩形，故ACl.所以BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.在BBC中，BB=2，BC=3，BBC=，则由余弦定理，BC=.因BD平面，且DCCA，由三策划线定理知ACBC.故在ABC中，BCA=，sinBAC=.因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin.19(湖北18).（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，平面侧面 （）求证： （）若，直线AC与平面所成的角为，二面角()证明：如右图，过点A在平面A1ABB