1980年全国高考数学试题及其解析.doc

1980年全国高考数学试题及其解析理工农医类一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围;(2)实数范围(3)复数范围.二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a1,b1)五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知ACD、CBD、ABC的面积成等比数列,求B(用反三角函数表示).、九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点. 文史类一（本题满分8分）化简二（本题满分10分）三（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角。四（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？五（本题满分14分）六（本题满分16分）1若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD。2写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？七（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD-ABCD。三边AB、AD、AA的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线BD垂直于E。1证明AEBD; 2.求AE的长。八（本题满分16分）1把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图。2当时，各得到曲线的哪一部分？理工农医类参考答案及解析二、证明:设O1、O2、O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,O1O2O3为直角三角形.三、证明:取ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),根据所选坐标系,如图,有a0,b0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.b-c0,x=0.这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.因此,三条高线交于一点.四、证法一:令logbN=x,根据对数定义,bx=N.两端取以a为底的对数,Logabxx=logaN,xlogab=logaN.b1,logab0,证法二:令logbN=x,根据对数定义,N=bx=(alogab)x=axlogab,xlogab=logaN.b1,logab0,五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.设平面N与平面M的交线为l.PA平面M,PAl.又PB平面N,PBl.l平面PAB,lAB.六、解:(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期1.可见,k=32就是这样的最小正整数.七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,则AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,取负号不合题意,又依直角三角形的性质,有AC2=ADAB=c(c-x).但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二:由题设有(CDBD)2=(CDAD)(CDAB),BD2=ADAB.但AC2=ADAB,BD=AC.两端乘以正数sin,问题化为证明2sinsin21+cos.而2sinsin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos.所以问题又化为证明不等式(1+cos)4(1-cos)cos-10.8t2(1-t2)(1+t2)2,即-9t4+6t2-10,-(3t2-1)20.不等式成立.九、解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1.再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,由于对称性,圆与抛物线的另一交点(x0,-y0)处的切线也互相垂直.附加题解法一:消去参数,得消去y,整理得(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)0.化简并约去a2得(a2-1)m2-2bm+(1-b2)0.对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是即为所求的条件.解法二:直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点.如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上.要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是a1;这时,(E)与y轴的文史类参考答案及解析一、解：原式=二、解略：方程组的解为三、证：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x2+y2=1.A、B的坐标是A（-1，0）、B（1，0）。设P(x,y)是圆上任一点，则有y2=1-x2.PA的斜率为，PB的斜率为，PAPB，APB为直角。四、解：设1979年的工业总产值为a，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为解得：x=32。答：略。五、解：六、证：1。SABC=SADC，且ABC与ADC有同底AC，两高线相等：BE=DF。设AC与BD交于点O，则RtBOERtDOF。OB=OD。即AC平分BD。（若E、O、F重合、则已有BO=BE=DF=DO）2逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形。这个逆命题是正确的。证明如下：在上图中，由于OB=OD，BOE=DOF（对顶角），BEO=DFO=Rt，BOEDOF。