【师说系列】2014年高考数学三轮专题分项模拟 解析几何.doc

专题质量检测(五)解析几何一、选择题1“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：若a2，则直线ax2y0平行于直线xy1，反之也成立，即“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的充要条件，故应选C.答案：C2已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC，BD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形ABCD的面积为()A10B20C30 D40解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为24，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为41020，故应选B.答案：B3若直线l被圆x2y24所截得的弦长为2，则直线l与下列曲线一定有公共点的是()Ay2x B.y21C(x2)2y24 D.y21解析：依题意得，圆心(0,0)到直线l的距离等于1，即直线l必是圆x2y21的切线对于A，圆x2y21的切线x1与曲线y2x没有公共点；对于B，圆x2y21的切线x1与曲线y21没有公共点；对于C，圆x2y21的切线x1与曲线(x2)2y24没有公共点；对于D，由于圆x2y21上的所有点均不在椭圆y21外，因此圆x2y21的切线与曲线y21一定有公共点综上所述，选D.答案：D4已知双曲线1的两个焦点分别为F1、F2，则满足PF1F2的周长为62的动点P的轨迹方程为()A.1 B.1C.1(x0) D.1(x0)解析：依题意得，|F1F2|22，|PF1|PF2|6|F1F2|，因此满足PF1F2的周长为62的动点P的轨迹是以点F1、F2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P的轨迹方程是1(x0)，选C.答案：C5正方形的四个顶点都在双曲线C上，其一边经过C的焦点，则C的离心率为()A. B2C. D.解析：不妨设正方形的边长为2，则有2c2,2a1，双曲线C的离心率e，选C.答案：C6直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A、B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2C. D4解析：直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.答案：C7已知A(2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2y2kx0上两个不同点，P是圆x2y2kx0上的动点，如果M，N关于直线xy10对称，则PAB面积的最大值是()A3 B4C3 D6解析：依题意得圆x2y2kx0的圆心位于直线xy10上，于是有10，即k2，因此圆的圆心坐标是(1,0)、半径是1.由题意可得|AB|2，直线AB的方程是1，即xy20，圆心(1,0)到直线AB的距离等于，点P到直线AB的距离的最大值是1，PAB面积的最大值为23，选C.答案：C8已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B.C2 D.1解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案：D9已知双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(1,0)与点(1,0)到直线1的距离之和为S，且Sc，则离心率e的取值范围是()A. B，C. D.解析：由题意得Sc，所以2c25ab，即4c425a2(c2a2)，整理得4c425a2c225a40，所以4e425e2250，解得e25，即e.答案：A10已知椭圆1(ab0)和双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F1、F2，则椭圆和双曲线离心率的平方和为()A. B.C2 D3解析：依题意得2a2b2a2b2，即a22b2，因此该椭圆和双曲线的离心率分别是 和 ，该椭圆与双曲线的离心率的平方和为，选A.答案：A11若P是双曲线C1：1(a0，b0)和圆C2：x2y2a2b2的一个交点且PF2F12PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为()A.1 B.1C2 D3解析：依题意得，F1PF290，又PF2F12PF1F2，因此PF1F230，|PF2|F1F2|c，|PF1|F1F2|c，双曲线C1的离心率等于1，选B.答案：B12若曲线C1：y22px(p0)的焦点F恰好是曲线C2：1(a0，b0)的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点的连线过点F，则曲线C2的离心率为()A.1 B.1C. D.解析：设曲线C1与曲线C2在第一象限的交点为A，则点A，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以A点的坐标可以表示为，所以p2c，从而2c，即e22e10，解得e1或e1(舍去)，故选B.答案：B二、填空题13已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点，则OAB的外接圆的方程是_解析：由题意知A，B两点关于x轴对称，所以外接圆的圆心C在x轴上设圆C的半径为r(r0)，则圆心坐标为(r,0)，A点坐标为，于是有22r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)2y216.答案：(x4)2y21614若直线l：4x3y80过圆C：x2y2ax0的圆心且交圆C于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由题易知，圆C：x2y2ax0的圆心为.又直线l：4x3y80过圆C的圆心，43080，a4，圆C的方程为x2y24x0，即(x2)2y24.|AB|2r4.又点O(0,0)到直线l：4x3y80的距离d，SOAB|AB|d4.答案：15F是抛物线y22x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到y轴的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知：|AF|BF|x1x2x1x2p6，p1，x1x25，线段AB的中点的横坐标为，线段AB的中点到y轴的距离为.答案：16已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为_解析：由题意知，ABE为等腰三角形若ABE是锐角三角形则只需要AEB为锐角根据对称性，只要AEF即可直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使AEF，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e2，又e1，故1e2.答案：(1,2)三、解答题17已知椭圆y21的两个焦点是F1(c,0)，F2(c,0)(c0)(1)设E是直线yx2与椭圆的一个公共点，求|EF1|EF2|取得最小值时椭圆的方程；(2)已知点N(0，1)，斜率为k(k0)的直线l与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足，且0，求直线l在y轴上的截距的取值范围解析：(1)由题意，知m11，即m0.由得(m2)x24(m1)x3(m1)0.又16(m1)212(m2)(m1)4(m1)(m2)0，解得m2或m1(舍去)，m2.此时|EF1|EF2|22.当且仅当m2时，|EF1|EF2|取得最小值2，此时椭圆的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykxt.由方程组消去y得(13k2)x26ktx3t230.直线l与椭圆交于不同的两点A，B，(6kt)24(13k2)(3t23)0，即t213k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，则x1x2.由，得Q为线段AB的中点，则xQ，yQkxQt.0，直线AB的斜率kAB与直线QN的斜率kQN乘积为1，即kQNkAB1，k1，化简得13k22t，代入式得t22t，解得0t2.又k0，即3k20，故2t13k21，得t.综上，直线l在y轴上的截距t的取值范围是.18已知圆C：(x4)2(ym)216(mN*)，直线4x3y160过椭圆E：1(ab0)的右焦点，且被圆C所截得的弦长为，点A(3,1)在椭圆E上(1)求m的值及椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围解析：(1)因为直线4x3y160被圆C所截得的弦长为，所以圆心C(4，m)到直线4x3y160的距离为 ，即，解m4或m4(舍去)又因为直线4x3y160过椭圆E的右焦点，所以椭圆E的右焦点F2的坐标为(4,0)，则其左焦点F1的坐标为(4,0)因为椭圆E过A点，所以|AF1|AF2|2a，所以2a56，所以a3，a218，b22，故椭圆E的方程为1.(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以(1,3)，设Q(x，y)，则(x3，y1)，则x3y6.令x3yn，则由消去x得18y26nyn2180，由于直线x3yn与椭圆E有公共点，所以(6n)2418(n218)0，解得6n6，故x3y6的取值范围为12,019已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y24x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M：x2y2的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由解析：(1)设椭圆C的焦距为2c.椭圆C的离心率e，即ac.抛物线y24x的焦点F(，0)恰好是该椭圆的一个顶点，a.c1，b1.椭圆C的方程为y21.(2)()当直线l的斜率不存在时，直线l与圆M相切，其中的一条切线的方程为x.由解得或不妨设A，B，则以AB为直径的圆的方程为2y2.()当直线l的斜率为零时，直线l与圆M相切，其中的一条切线的方程为y.由解得或不妨设A，B，则以AB为直径的圆的方程为x22.显然以上两圆的一个交点为O(0,0)()当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为ykxm.由消去y得(2k21)x24kmx2m220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.x1x2y1y2.直线l和圆M相切，圆心到直线l的距离d，整理得m2(1k2)，将式代入式，得0，显然以AB为直径的圆经过定点O(0,0)综上可知，以AB为直径的圆过定点(0,0)20如图，已知M(m，m2)、N(n，n2)是抛物线C：yx2上的两个不同的点，且m2n21，mn0，直线l是线段MN的垂直平分线设椭圆E的方程为1(a0，a2)(1)当M、N在C上移动时，求直线l的斜率k的取值范围；(2)已知直线l与抛物线C交于A、B两点，与椭圆E交于P、Q两点，设线段AB的中点为R，线段QP的中点为S，若0，求椭圆E的离心率的取值范围解析：(1)由题意知，直线MN的斜率kMNmn，又lMN，mn0，直线l的斜率k.m2n21，由m2n22mn，得2(m2n2)(mn)2，即2(mn)2(当mn时，等号成立)，|mn|，M、N是不同的两点，即mn，0|mn|，|k|，即k或k.(2)由题意易得，线段MN的中点坐标为，直线l是线段MN的垂直平分线，直线l的方程为yk，又m2n21，k，即mn，直线l的方程为ykx1，将直线l的方程代入抛物线和椭圆方程并分别整理得，x2kx10，(a2k2)x24kx22a0.易知方程的判别式1k240，方程的判别式28a(2k2a1)，由(1)易知k2，a0，2k2a1a0，20恒成立设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则xAxBk，yAyBkxA1kxB1k(xAxB)2k22，线段AB的中点R的坐标为，又xPxQ，yPyQkxP1kxQ1k(xPxQ)2，线段QP的中点S的坐标为.，由0得，0，即k2a0，a，|k|，a22，a22，故a2.由题易知，椭圆E的离心率e ，a22e2，22e22，0e2，0e，椭圆E的离心率的取值范围是.21已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，且C1的中心和C2的顶点均为原点O.从每条曲线上取两个点，其坐标如下表所示：x124y204(1)求C1、C2的标准方程；(2)请问是否存在直线l满足下列条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M、N，且满足.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析：(1)设抛物线C2的标准方程为y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证四个点易知只有(1，2)、(4，4)两点在抛物线上，进而可求得C2的标准方程为y24x.设椭圆C1的标准方程为1(ab0)，把(2,0)、两点代入，得解得故C1的标准方程为1.(2)假设存在满足题设条件的直线l.由(1)知抛物线C2的焦点为(1,0)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，由得或故不妨令M，N.此时1，这与矛盾当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，直线l与C1的交点坐标为M(x1，y1)、N(x2，y2)，由得，(34k2)x28k2x4(k23)0，所以x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k2.又，即0，所以x1x2y1y20，即0，整理得5k2