2014广东高考(理数)【含答案--全WORD--精心排版】.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)一、选择题：1已知集合，则（ ）A B. C. D. 2已知复数满足，则（ ）A B. C. D. 3若变量，满足约束条件且的最大值和最小值分别为M和m，则（ ）A8 B.7 C.6 D.54若实数满足， 则曲线与曲线的（ ）A离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ）A B. C. D. 6已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A. 200，20 B. 100，20 C. 200，10 D. 100，107若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是（ ）A B. C. 与既不垂直也不平行 D. 与的位置关系不确定8设集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为（ ）A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题： （一）必做题（913题）9不等式的解集为 .10曲线在点处的切线方程为 .11从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .12在中，角，所对应的边分别为，已知，则 .13若等比数列的各项均为正数，且，则 .（二）选做题（1415题，考生从中选做一题）14（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为 .15（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且，AC与DE交于点F，则 .三、解答题： 16（满分12分）已知函数，且.（1）求的值；（2）若，求.17（满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中，和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35的概率.18（满分13分）如图4，四边形为正方形，平面，于点， 交于点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值. 19（满分14分）设数列的前和为，满足，且.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式.20（满分14分）已知椭圆：的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线互相垂直，求点的轨迹方程.21（满分14分）设函数，其中.（1）求函数的定义域D（用区间表示）；（2）讨论在区间D上的单调性；（3）若，求D上满足条件的的集合（用区间表示）.2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)参考答案一、选择题：BACD BADA1【解析】.故选B.2【解析】.故选A.3【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，易知在点和处目标函数分别取得最大值和最小值，所以.故选C.4【解析】因为，所以，从而两曲线均为双曲线，又，所以两双曲线的焦距相等.故选D.5【解析】因为，即这两个向量夹角余弦值为从而夹角为，故选B.6【解析】样本容量为：，抽取的高中生近视人数为.故选A.7【解析】在如图所示的正方体中，有，而直线可以是平面内的任何直线，所以与的位置关系不确定.故选D.8【解析】依题意，可取值为1，2，3，和为1的元素个数为，和为2的元素个数为，和为3的元素个数为，所以满足条件的元素总的个数为.故选A.二、填空题：9. 10. 11. 12. 2 13. 50 14. 15. 9（一）必做题（9-13题）9【解析】实轴上到1与距离之和为5的数为和，所以该不等式的解集为.10【解析】，所以，所以，所求切线方程为，即.11【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为.12【解析】方法一：由三角形中的射影定理知，所以，于是.方法二：由正弦定理得，即，所以，即，于是.方法三：由余弦定理得，即，所以，于是.13【解析】因为，所以，设，则，所以，得.（二）选做题（14、15题，考生只选做其中一题）14【解析】由得，所以的直角坐标方程为，由得的直角坐标方程为，所以和的交点的直角坐标为.15【解析】显然，所以.三、解答题：16（本小题满分12分）解：（1），所以.（2）由（1）得，所以，所以，因为，所以，所以.17（本小题满分13分）解：（1），.（2）频率分布直方图如图所示：（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间的概率为，设日加工零件数落在的人数为随机变量，则，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在的概率为.18（本小题满分13分）（1）证明：因为平面，所以平面平面，又平面平面，平面， ，所以平面，因为平面，所以，又，所以.因为，平面，所以平面.（2）方法一：过作交于点，因为平面，所以平面，过点作于，连结，则为二面角的平面角，设，因为，所以，从而，因为，所以，即，所以，易求得，从而，易得，所以，故，所以.方法二：分别以 ，为，轴建立空间直角坐标系，设，则，设，则，因为，可得，从而，易得，取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，利用且得可以是，从而二面角的余弦值为.19（本小题满分14分）解：（1），所以，解联立方程组，得，综上得，.（2），所以当时，整理得，由（1）猜想，以下用数学归纳法证明：（i）由（1）知，当时，结论成立.（ii）假设时，结论成立，即，则当时，.这就是说时，结论成立，从而对一切，.20（本小题满分14分）解：（1）因为，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）若一切线垂直于轴，则另一切线垂直轴，则这样的点共有4个：，.若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为，即，代入椭圆方程中，整理得，依题意，上述方程的，即，整理得，整理成关于的一元二次方程得：，因为两切线互相垂直，所以，即，所以，显然这四点，也满足上述方程，所以点的轨迹方程为.21（本小题满分14分）解：（1）依题意，可得或，由得，（因为），所以方程的解为，所以由得或，由得，（因为），所以方程的解为，所以由得，因为，所以，所以.（2）设，则（i）当时，所以，（ii）当时，所以，（iii）当时，所以，（iv）当时，所以，综上，