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最高考 高考全程总复习（一轮） 数学教师用书课时训练第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念1. 已知集合A1，3，B1，2，m，若AB，则实数m_答案：3解析： AB， 集合A中的元素必在集合B中，则3B，得m3.2. 已知Ax|3xa，若AB，则实数a的取值范围是_答案：a3解析：Ax|3xa，AB，则a3.3. 若x|x2a，aR，则实数a的取值范围为_答案：0，)解析：由条件知集合非空，则a0.4. 已知Ax|x22x30，若实数aA，则a的取值范围是_答案：1，3解析：由条件知a22a30，从而a1，35. A1，2，3，BxR|x2ax10，aA，则BA时，a_答案：1或2解析：验证a1时B满足条件；验证a2时B1也满足条件6. 若自然数n使得作加法n(n1)(n2)运算均不产生进位现象，则称n为“给力数”，例如：32是“给力数”，因为323334不产生进位现象；23不是“给力数”，因为232425产生进位现象设小于1 000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A，则集合A中的数字之和为_答案：6解析：“给力数”的个位取值：0、1、2，“给力数”的其他数位取值：0、1、2、3，所以A0，1，2，3所以集合A中的数字之和为6.7. 已知集合Ax|ax22x10，aR，xR若A中只有一个元素，则a_答案：0或1解析：当a0时，此时方程有一个根；当a0时，则44a0，得a1.8. 已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_答案：4解析：Ax|0x4，B，a，AB，故c4.9. 已知集合M1，m，Nn，log2n，若MN，求(mn)2 013的值解：由MN知或 或故(mn)2 0131或0.10. 对于集合A、B，我们把集合(a，b)|aA，bB记作AB.例如：A1，2，B3，4，则有AB(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，BA(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，AA(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，BB(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)据此，试解答下列问题：(1) 已知Ca，D1，2，3，求CD及DC；(2) 已知AB(1，2)，(2，2)，求集合A、B；(3) 若A有3个元素，B有4个元素，试确定AB有几个元素解：(1) CD(a，1)，(a，2)，(a，3)，DC(1，a)，(2，a)，(3，a)(2) A1，2，B2(3) 12个11. 已知集合Ax|0ax15，集合B.若AB，求实数a的取值范围解：A中不等式的解集应分三种情况讨论： 若a0，则AR； 若a0，则A.当a0时，若AB，此种情况不存在当a0时，若AB，如图，则 a0时，若AB，如图，则 a2.综上，实数a的取值范围是a8或a2.第2课时集合的基本运算1. 已知集合M3，2a，Na，b，若MN2，则MN_答案：1，2，3解析：由题易知a1，b2，MN1，2，32. 已知集合P1，m，Q，若PQ，则整数m_答案：0解析：mQ，即1m，而mZ， m0.3. 已知全集U2，1，0，1，2，集合A1，0，1，B2，1，0，则AUB_答案：1解析：因为UB1，2，所以AUB14. 设集合PxZ|0x3，MxZ|x29，则PM_答案：0，1，2解析：P0，1，2，M3，2，1，0，1，2，3, PM0，1，25. 已知集合A1，3，B1，m，ABA，则m_答案：0或3解析： ABA， BA.又A1，3，B1，m， m3或m.由m得m0或m1.但m1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m0或m3.6. 已知全集UR，集合A(，0)，B1，3，a，若(UA)B，则实数a的取值范围是_答案：0，)解析： A(，0)， UA0，) (UA)B， a0.7. 已知集合Ay|y，Bx|xm|2 013，若ABA，则m的取值范围是_答案：(2 012，2 013)解析：集合A表示函数y的值域，由tx22x(x1)211，可得0y1，故A0，1集合B是不等式|xm|2 013的解集，解得m2 013xm2 013，所以B(m2 013，m2 013)因为ABA，所以AB.如图，由数轴可得解得2 012m2 013.8. 给定集合A，若对于任意a、bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： 集合A4，2，0，2，4为闭集合； 集合An|n3k，kZ为闭集合； 若集合A1、A2为闭集合，则A1A2为闭集合其中正确的结论是_(填序号)答案：解析：中，4(2)6A，所以不正确；中设n1、n2A，n13k1，n23k2，k1、k2Z，则n1n2A，n1n2A，所以正确； 令A14，0，4，A22，0，2，则A1、A2为闭集合，但A1A2不是闭集合，所以不正确9. 设集合U2，3，a22a3，A|2a1|，2，UA5，求实数a的值解：此时只可能是a22a35，易得a2或4.当a2时，A2，3符合题意当a4时，A9，3不符合题意，舍去故a2.10. 已知集合Ax|x22x30，xR，集合Bx|m2xm2，xR，mR(1) 若AB0，3，求实数m的值；(2) 若ARB，求实数m的取值范围解：由已知得集合Ax|1x3(1) AB0，3， m2.(2) RBx|xm2 ARB， m23或m25或m5a， a3；当B2时，可得解得a3；综上所述，所求a的取值范围为a|a3第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1. “x0”是“x0”的_条件答案：充分而不必要解析：对于“x0”“x0”；反之不一定成立，因此“x0”是“x0”的充分而不必要条件2. 已知命题p：nN，2n1000，则綈p为_答案：nN，2n10003. 命题“xR，使得xsinx10”的否定是_答案：xR，使得xsin x10解析：直接改写，原命题的否定为“xR，使得xsin x10”4. 已知a、b、c是非零实数，则“a、b、c成等比数列”是“b”的_(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)条件答案：必要不充分解析：若非零实数a、b、c成等比数列，则b2ac，即b， 非零实数a、b、c成等比数列是b的必要不充分条件5. 已知命题p：若实数x、y满足x2y20，则x、y全为零命题q：若ab，则b1，而1，命题q为假命题由真值表可知， p或q、非q为真命题6. 已知a、b、c、d为实数，且cd.则“ab”是“acbd”的_条件答案：必要而不充分解析：显然充分性不成立又若acbd和cd都成立，则同向不等式相加得ab，即由“acbd” “ab”7. “a”是“对x是正实数，2xc”的充要条件，则实数c_答案：1解析：若c0，c2x，根据x是正数，有acx2x2， ycx2x2在x是正数时，值域是y2c，则a，于是c1.8. 存在实数x，使得x24bx3b0，则4b23b0，解得b.9. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1) 全等三角形一定相似；(2) 末位数字是零的自然数能被5整除解：(1) 逆命题：两个三角形相似，则它们全等，为假命题；否命题：两个三角形不全等，则它们不相似，为假命题；逆否命题：两个三角形不相似，则它们不全等，为真命题(2) 逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零，为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除，为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零，为真命题. 10. 设条件p：2x23x10，条件q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围解：条件p为：x1，条件q为：axa1.p对应的集合A，q对应的集合Bx|xa1或x1且a或a11且a2，即a3.故a的取值范围为(3，)(2) 若命题pq为真命题，则p和q都为真命题命题p为真，则a3.命题q为真，即转化为当x1，2时，f(x)x2ax40恒成立(解法1)由解得a0.(解法2)当x1，2时，ax恒成立，而x在1，2上单调递增，故a0.综上，a的取值范围为0，3第二章函数与导数第1课时函数及其表示1. 下列对应f是从集合A到集合B的函数有_个 AN，BN*，f：xy|x2|； A1，2，3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4； A1，1，B0，f：xy0.答案：22. 已知函数yf(x)，集合A(x，y)|yf(x)，B(x，y)|xa，yR，其中a为常数，则集合AB的元素有_个答案：0或1解析：设函数yf(x)的定义域为D，则当aD时，AB中恰有1个元素；当aD时，AB中没有元素3. 若f(1)x1，则f(x)_答案：x22x2(x1)解析：令t1，则x(t1)2，所以f(t)(t1)21.4. 已知函数(x)f(x)g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且16，(1)8，则(x)_答案：3x(x0)解析：由题可设(x)ax，代入16，(1)8，得a3，b5.5. 已知函数f(x)3x1，g(x)若x，则g(f(x)_答案：9x26x解析：当x时，f0，所以g(f(x)(3x1)219x26x.6. 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p(c为常数，且0cc时，p，所以yx3x0；当0f(2x)解：(1) 由条件，g(f(1)3，g(a)a2，所以f(g(a)g(f(1)即为f(a2)3.当a20，即a2时，(a2)213，所以a2；当a20，即af(2x)，知解得1x1.所以不等式的解集为(1，1)11. 是否存在正整数a、b，使f(x)，且满足f(b)b及f(b)1，因此a3，b1不符合题意，舍去；当a2，b2时，f(x)，此时b2， f(b)f(2)，符合题意 存在a2，b2满足条件使f(x).第2课时函数的定义域和值域1. 设集合Ax|，则A_答案：x|x1且x0解析：由x0，且10可得答案2. 函数f(x)的定义域为_答案：(0, 解析：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得00解析：My|y0，Ny|y0， MNy|y0y|y0y|y04. 函数yx(x1)的值域为_答案：(，0解析：y，因为x1，所以y0.5. 若函数yx22x4的定义域、值域都是闭区间2，2b，则b_答案：2解析：yx22x4(x2)22，显然f(2b)2b，结合b1，得b2.6. 函数y的最大值为_答案：解析：若x0，则y0；若x0，则y.7. 若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是_答案：0a1解析：2x22axa10，即x22axa0恒成立， 0， 0a1.8. 若函数f(x)则函数yf(f(x)的值域是_答案：解析：x0时，f(x)2x(0，1)，1，f(f(x)，同理可得x0时，f(f(x)，综上所述，函数yf(f(x)的值域是.9. (1) 求函数f(x)(5x4)0的定义域(2) 已知函数f(x)的定义域是0，1，求函数yf(x2)f的定义域解：(1) .(2) 由得所以1x，即函数f(x)的定义域是.10. 已知a1，函数f(x)(x1，3)，g(x)x4(x0，3)(1) 求f(x)与g(x)的值域；(2) 若x11，3，x20，3，使得f(x1)g(x2)成立，试求a的取值范围解：(1) f(x)a.因为a1，所以f(x)在1，3上是增函数，所以函数f(x)的值域为(a1)，(3a1)由g(x)(x1)3239，当且仅当(x1)，即x20，3时，取等号，即g(x)的最小值为9.又g(0)13，g(3)，所以g(x)的最大值为13.所以函数g(x)的值域为9，13(2) 由题意知，9，13，即解得a17.因为a1，所以a17符合11. 设函数f(x).(1) 设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数h(t)；(2) 求函数f(x)的最值解：(1) 1x1， t2()2222，4， t，2由t21， h(t)t2t1，t，2(2) 由h(t)t2t1(t1)2，3， f(x)的最大值为3，最小值为.第3课时函数的单调性1. 下列函数中，在区间(0，)上是增函数的是_(填序号)y；y；y2x1；y|x|.答案：2. 函数yx的单调增区间为_答案：(，0)，(0，)3. 已知f(x)x2x，则f_(填“”或“”)f(2)答案：解析： f(x)的对称轴方程为x， f(x)在上为增函数又a22， ff(2)4. 函数f(x)2xlog2x，x1，2的值域是_答案：2，5解析：因为f(x)2xlog2x在区间1，2上为增函数，所以f(x)2，55. 若函数f(x)x2ax与g(x)在区间(1，2)上都是增函数，则实数a的取值范围是_答案：2，0)解析：若f(x)在(1，2)上是增函数，则a2；若g(x)在(1，2)上是增函数，则a1， 函数f(x)的单调减区间为.7. 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间0，)上是单调增函数若f(1)1，所以lnx1，所以0xe.8. 已知函数f(x)满足对任意的x1x2，都有0成立，则a的取值范围是_答案：解析：对任意的x1x2，都有0成立，说明函数f(x)是减函数， 此不等式组的解集为.9. 设函数f(x)ax2bx1(a，bR)(1) 若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0，求实数a、b的值；(2) 在(1)的条件下，当x2，2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解：(1) a1，b2.(2) 由(1)知，f(x)x22x1，所以g(x)x2(2k)x1，因为g(x)在2，2上是单调函数，所以2，2或2，2，解得k2或k6.10. 设函数f(x)ax.(1) 当a1时，证明函数f(x)在区间0，)上是单调减函数；(2) 当x0，2时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围(1) 证明：设x1、x20，)，且x1x2，由f(x1)f(x2)(ax1)(ax2)a(x1x2)(x1x2). 0x1x2， (0，1)而a1， a0.又x1x2f(x2)， f(x)在0，)上是单调减函数(2) 解：当x0时，f(x)10，此时aR.当x(0，2时，由f(x)0恒成立，得a.而， a.综上，满足条件的实数a的范围是a.11. 已知函数f(x)的定义域是(0，)，且对一切x0，y0都有ff(x)f(y)，当x1 时，有f(x)0.(1) 求f(1)的值；(2) 判断f(x)的单调性并证明；(3) 若f(6)1，解不等式f(x3)f2.解：(1) 令xy，则f(1)f(x)f(x)0.(2) 设0x1x2，则f(x2)f(x1)f. 0x11， f0，即f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)， f(x)在定义域(0，)上是增函数(3) f(6)ff(36)f(6)， f(36)2，原不等式等价于f(x23x)f(36)由(2)知解得0x0时，f(x)lgx，则f_答案：lg2解析：因为flg2，所以ff(2)f(2)lg2.3. 若函数f(x)是奇函数，则实数a_答案：解析：由f(x)f(x)恒成立可得a.4. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x1)f(x)，若f(1.5)1，则f(2 014.5)_答案：1解析：由f(x1)f(x)，知f(x2)f(x)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(2 014.5)f(0.5)f(1.5)f(1.5)1.5. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a、bR.若ff，则a3b_答案：10解析：因为ff，函数f(x)的周期为2，所以fff，根据f(x)得到3a2b2.又f(1)f(1)，得到a1，即2ab0，结合上面的式子解得a2，b4，所以a3b10.6. 已知奇函数f(x)是定义在(1，1)上的增函数，若f(a2)f(a24)0，则a的取值范围是_答案：(，2)解析：由已知得f(a2)f(a24)，因f(x)是奇函数，故 f(a24)f(4a2)，于是f(a2)f(4a2)又f(x)是定义在(1，1)上的增函数，从而af时x0的取值范围是_答案：解析：f在区间上是偶函数，且在上是单调递增函数，所以即x0的取值范围是.8. 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_答案：2解析：f(x)1，令g(x)，则g(x)是奇函数，图象关于原点对称，由于f(x)的图象是由g(x)的图象向上平移1个单位而得，所以f(x)的图象关于(0，1)对称，所以Mm2.9. 设f(x)(a、b为实常数)(1) 证明：当ab1时，f(x)不是奇函数；(2) 设f(x)是奇函数，求a与b的值(1) 证明：f(x)，f(1)，f(1)，所以f(1)f(1)，f(x)不是奇函数(2) 解：f(x)是奇函数时，f(x)f(x)，即对任意实数x成立化简整理得(2ab)22x(2ab4)2x(2ab)0，这是关于x的恒等式，所以所以或 10. 设函数f(x)ax(k1)ax(a0且a1)是定义域为R的奇函数(1) 求k的值；(2) 若f(1)0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2tx)f(4x)0且a1)，由于f(1)0， a0， 0a1. f(x)在R上是减函数不等式f(x2tx)f(4x)0等价于f(x2tx)x4，即x2(t1)x40恒成立 (t1)2160，解得3t5.11. 设yf(x)是定义在R上的奇函数， 且当x0时， f(x)2xx2.(1) 求当x0时，f(x)的解析式；(2) 请问是否存在这样的正数a、b，当xa，b时，g(x)f(x)，且g(x)的值域为？ 若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由解：(1) 当x0，于是f(x)2(x)(x)22xx2.因为yf(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)f(x)(2xx2)2xx2，即f(x)2xx2(x0, 所以1，a1, 从而函数g(x)在a，b上单调递减于是所以a、b是方程2xx2的两个不等正根，方程变形为x32x210，即(x1)(x2x1)0，方程的根为x1或x.因为0a0)的单调递增区间是_答案：和5. 不等式lg(x)f(x1)f(x2)，则称f(x)是(a，b)上的凸函数在下列图象中，是凸函数图象的是_(填序号)答案：7. 已知函数yf(x)的周期为2，当x1，1时 f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有_个答案：10解析：根据f(x)的性质及f(x)在1，1上的解析式可作图如下：可验证当x10时，y|lg10|1；当0x10时，|lgx|10时，|lgx|1.因此结合图象及数据特点yf(x)与y|lgx|的图象交点共有10个8. 已知a0，且a1，f(x)x2ax，当x(1，1)时，均有f(x)，则实数a的取值范围是_答案：(1，2解析：由题知，当x(1，1)时，f(x)x2ax，即x2ax.在同一坐标系中分别作出二次函数yx2，指数函数yax的图象，如图，当x(1，1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，只需a2且a1.故实数a的取值范围是a1或1a2.9. 作出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间(1) y|3x1|；(2) y|x2|(x1)解：(1) y|3x1|图象如下，其单调增区间是(0，)，单调减区间是(，0)(2) 由y|x2|(x1)图象如下，其单调增区间是和(2，)，单调减区间是.10. 已知定理：“若a、b为常数，g(x)满足g(ax)g(ax)2b，则函数yg(x)的图象关于点(a，b)中心对称”已知函数f(x)1.(1) 试证明函数f(x)的图象关于点(a，1)中心对称；(2) 当xa2，a1时，求证：f(x).证明：(1) f(ax)f(ax)2， 函数f(x)的图象关于点(a，1)中心对称(2) 由f(x)11，知f(x)在(，a)和(a，)上均为增函数， f(x)在a2，a1上单调递增，从而f(x)f(a2)，f(a1)，即f(x).11. 已知a、b是实数，函数f(x)axb|x1|(xR)(1) 若a、b(2，2)，且函数f(x)在(0，)内存在最大值，试在平面直角坐标系xOy内，求出动点(a，b)运动区域的面积；(2) 若b0，且关于x的不等式f(x)0的解集中的整数恰有2个，试求的取值范围解：(1) f(x)结合f(x)的图象知，f(x)在(0，)内存在最大值的充要条件是且两个等号不同时成立当a、b(2，2)时，点(a，b)运动区域的面积为4.(2) f(x)0b|x1|ax，即|x1|x.在同一坐标系内作出函数p(x)|x1|和q(x)x的图象，由图可知，0时，方程f(x)0只有一个实根；yf(x)的图象关于点(0，c)对称；方程f(x)0至多有两个实根上述命题中正确的是_(填序号)答案：解析：由c0，得f(x)x|x|bx为奇函数；当b0，c0时，f(x)x|x|c，此时方程f(x)0有唯一一个实数根；在函数yf(x)的图象上任取一点(x，y)，其关于点(0，c)的对称点为(x，2cy)，可判断该点仍在yf(x)的图象上；当c0，b0时，方程f(x)0有三个实数根故正确，错误9. 设a为实数，函数f(x)x|xa|，其中xR.(1) 判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2) 写出函数f(x)的单调区间解：(1) 当a0时，f(x)x|x|, 因为定义域为R，它关于原点对称，且f(x) x|x| f(x)，所以f(x)为奇函数当a0时，因f(a)0，f(a) a|2a|，所以f(a)f(a)，f(a) f(a)，所以f(x)是非奇非偶函数(2) 当a0时，f(x)f(x)的单调递增区间为(，)当a0时，f(x)f(x)的单调递增区间为和(a，)，f(x)的单调递减区间为.当a0时，f(x)f(x)的单调递增区间为(，a)和，f(x)的单调递减区间为.10. 已知f(x)x2ax3a，且f(x)在闭区间2，2上恒为非负数，求实数a的取值范围解：f(x)x2ax3a3a.由题意，f(x)0在x2，2上恒成立，即f(x)min0.当4时，f(x)minf(2)73a，由73a0，得a，这与a4矛盾，此时a不存在当22，即4a4时，f(x)minf3a，由3a0，得6a2，此时4a2.当2，即a4时，f(x)minf(2)7a，由7a0，得a7，此时7a0，c0)的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f(c)0，当0xc时，恒有f(x)0.(1) 当a1，c时，解不等式f(x)0；(2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；(3) 若f(0)1，且f(x)m22km1对所有x0，c，k1，1恒成立，求实数m的取值范围解：(1) 当a1，c时，f(x)x2bx.f(x)的图象与x轴有两个不同交点，因f0，设另一个根为x2，则x2，所以x21，于是f(x)0的解集为.(2) f(x)的图象与x轴有两个交点，因f(c)0，设另一个根为x2，则cx2，故x2.所以三交点的坐标分别为(c，0)，(0，c)又当0x0，则c，于是，以这三交点为顶点的三角形的面积为Sc8，故a，于是a.(3) 由题意，当0x0，所以f(x)在0，c上是单调递减的，且在x0处取到最大值1.要使f(x)m22km1对所有x0，c，k1，1恒成立，必须f(x)max1m22km1成立，即m22km0.令g(k)2kmm2，对所有k1，1，g(k)0恒成立，只要即解得实数m的取值范围为m2或m0或m2.第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)1. 化简 (a0，b0)_答案：2. 已知3a2，3b，则32ab_答案：20解析：32ab20.3. 比较log25与log58的大小为_答案：log25log58 解析：log25log242，log58log5252.4. _答案：5. 设lg2a，lg3b，则log512用a、b可表示为_答案：解析：log512.6. 已知函数f(x)alog2xblog3x2，且f4，则f(2 014)_答案：0解析：因为falog22 014blog32 0142，f(2 014)alog22 014