2020届百师联盟高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

2020届百师联盟高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1设复数z满足(1i)z2i，则|z|（ ）ABCD2【答案】C【解析】先求出的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.【详解】由题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题.2已知全集，集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】化简集合A，根据交集、补集运算即可.【详解】，所以，则，故选：B.【点睛】本题主要考查了分式不等式，交集、补集的运算，属于容易题.3在Excel表格中，RAND（ ）表示内平均分布的随机数，设RAND（ ），且在数轴上对应的点到原点的距离为，则的概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意知总的a的取值长度为2，所需a的取值长度为，由几何概型求概率即可.【详解】在Excel表格中，RAND（ ）表示内平均分布的随机数，而RAND（ ），故表示内的随机数，所以的取值测度为2.在数轴上对应的点到原点的距离即为，所以表示，事件“”发生的测度为.所以事件“”发生的概率为，故选：D.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率问题，属于容易题.4谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是一种分形几何图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是一个自相似的例子，其构造方法是：（1）取一个实心的等边三角形（图1）；（2）沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形；（3）挖去中间的那一个小三角形（图2）；（4）对其余三个小三角形重复（1）（2）（3）（4）（图3）.制作出来的图形如图4，图5，.若图3（阴影部分）的面积为1，则图5（阴影部分）的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出图1,2,3的阴影部分面积，根据合情推理归纳规律可知，面积构成等比数列，即可求解.【详解】设图1的面积为，图2被挖去的面积占图1面积的，则图2阴影部分的面积为，同理图3被挖去的面积占图2面积的，所以图3阴影部分的面积为，按此规律图1、图2、图3的面积组成等比数列：，公比为.若图3阴影部分的面积为1，则图5阴影部分的面积为，故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳推理，属于容易题.5正方形ABCD和矩形BEFC组成图1，G是EF的中点，BC=2BE.将矩形BEFC沿BC折起，使平面平面ABCD，连接AG，DF，得到图2，则（ ）图1. 图2.A，且直线是相交直线B，且直线是相交直线C，且直线是异面直线D，且直线是异面直线【答案】B【解析】根据平面图形翻折前后，相关线段或直线的位置变化可知，并未改变，所以可知在一个平面内，又因为,所以是相交直线再根据条件可得平面，所以，即【详解】如图，连接，因为，且，同理，且,所以,且，故为平行四边形，所以在一个平面内又因为,所以是相交直线由题知，所以平面故平面，所以，所以，即故选：B【点睛】本题主要考查平面图形翻折前后相关线段或直线位置变化，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题6执行下边的程序框图，如果输入的，则输出的值等于（ ）A5B7C9D11【答案】C【解析】根据程序框图，执行循环，依次求出的值并判断，直至跳出循环，即可求出输出的值【详解】第1次循环：是，；第2次循环：是，；第3次循环：是，；第4次循环：否，输出，结束程序故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的理解，属于基础题7在长方体中，若，则（ ）A0BC3D6【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则.则，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模的概念，属于容易题.8如图是某棱锥的三视图，其主视图和侧视图都是等腰直角三角形，直角边的长为1，则该棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三视图还原几何体，即可求出该棱锥的体积【详解】三视图为一个三棱锥，将三棱锥放在一个棱长为1的正方体中，如图，故该三棱锥的高为1，底面积为，所以该棱锥的体积为，故选：C【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体以及棱锥的体积公式应用，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题9抛物线的焦点为F，准线为，经过点F的直线交E于A，B两点，交于C点，若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据抛物线的定义及平面几何的性质即可求解.【详解】设，则，如图，由抛物线定义知，所以，又，所以，在中，.所以，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，三角形相似，属于中档题.10已知数列的前项和为，且，则（ ）A1010B1011C2019D2020【答案】D【解析】对关系式进行赋值，即可求出，根据合情推理得，所以【详解】因为，令，则，又，所以；令，则，所以，即，所以所以，根据合情推理得，所以故选：D【点睛】本题主要考查赋值法和合情推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题11记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，可构造函数，利用导数可知，在单调递增，即可得，化简即可判断出正确选项【详解】不妨设，因为，设，则,所以在单调递增，所以，即，从而故选：A【点睛】本题主要考查利用导数解决函数的单调性问题，解题关键是构造出合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，属于中档题12在平面内，四边形ABCD的与互补，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）ABCD【答案】B【解析】根据正弦定理，可求得，即角或，分类讨论， 由，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为与互补，且四点共圆. 所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，得，所以或.设四边形的外接圆半径为，则，解得.（1）设.当，则，故，此时，且，在中，所以，即.所以四边形面积，当且仅当时，四边形面积取得最大值为（2）当，则，故，所以.因为，所以，则在中由余弦定理得，所以，即.所以，此时，四边形面积.综上，四边形面积的最大值等于，故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形面积公式，均值不等式，属于难题.二、填空题135个人站成一排，其中甲，乙不站首、尾的概率为_；【答案】【解析】先安排好首位有种排法，再安排中间三个位置有，根据分步乘法原理计算所有符合要求排法，无限制5人站队共有种排法，根据古典概型求解即可.【详解】先排首、尾，有，在排中间3个位置，有，所以甲、乙不站首、尾的所有可能为，5个人站成一排的所有可能有，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了古典概型，排列，计数原理，属于中档题.14已知为等腰直角三角形，在AC边上任取一点D，过D作BC的平行线交AB于E.以DE为折痕，将折起，使平面平面，则四棱锥体积的最大值为_.【答案】【解析】设,求出底面积，写出棱锥面积，利用导数求最值即可.【详解】设，则所以梯形的面积为 ，则四棱锥体积，即，令，得，所以在单调递增，在单调递减，故时，取得最大值.所以当时，.故答案为：【点睛】本题主要考查了棱锥的体积，利用导数求函数的最值，属于中档题.三、解答题15已知点为坐标原点，动点满足，当时，点的轨迹方程为_；【答案】【解析】设出点，根据向量相等，可以用表示出，再由，即可求出轨迹方程【详解】设，则，因为,所以，即，当，即，即故答案为：【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题16已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_；【答案】【解析】根据函数在上单调递增，可知在上恒成立，即在上恒成立，即可求解【详解】因为，所以，函数在上单调递增，可知在上恒成立，即，所以，即，则实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导数的关系应用，属于基础题17已知数列满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）设，则，根据等比数列定义式证明即可（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）证明：设，则，所以.因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.即数列是等比数列.（2）由（1）得，即.所以.则，所以，两式相减得，所以，故.【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，错位相减法求和，属于中档题.18已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数.（1）求；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据的图象关于直线对称，可得，又因为在上为单调函数，所以，故可求出；（2）先利用辅助角公式求出，然后求出，根据正弦函数的图象可得，即可求出【详解】（1）因为函数的图像关于直线对称则，所以 又在上为单调函数，所以，即，当满足题意，当或不满足题意故（2）设，则，由（1）得，因为，则，所以故所以取值范围是【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，辅助角公式的应用以及正弦型函数在闭区间上的值域求法，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题19某企业为了解某产品的销售情况，选择某个电商平台对该产品销售情况作调查.统计了一年内的月销售数量（单位：万件），得到该电商平台月销售数量的茎叶图.（1）求该电商平台在这一年内月销售该产品数量的中位数和平均数；（2）该企业与电商签订销售合同时规定：如果电商平台当月的销售件数不低于40万件，当月奖励该电商平台10万元；大于等于30万件且小于40万件，当月奖励该电商平台5万元；当月低于30万件没有奖励，用该样本估计总体，从电商平台一个年度内任取两个月，记这两个月企业发给电商平台的奖金为万元，求的分布列.【答案】（1）中位数为33（万件），平均数为（万件）（2）详见解析【解析】（1）根据茎叶图确定中位数，计算平均数即可（2）写出的所有可能取值为，计算概率，即可写出分布列【详解】（1）由茎叶图知，电商平台的月销售数量的中位数为33（万件），电商平台的月销售数量的平均数为：（万件）.（2）由题知，的所有可能取值为.则，.所以，的分布列为：05101520【点睛】本题主要考查了茎叶图，中位数，平均值，离散型随机变量的分布列，属于中档题.20在三棱锥中，已知是等边三角形，分别是的中点，且.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）可证明平面，得，利用勾股定理可得，即可证明平面，得证（2）由（1）知两两垂直，空间直角坐标系，利用向量求二面角的余弦即可.【详解】（1）证明：连接，因为是的中点，所以.同理，所以平面.又平面，所以.故，又，所以为等腰直角三角形.在等边中，可求得，所以，而，所以.所以平面，又因为平面，所以.（2）由（1）知两两垂直，故如图建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，则可取.平面的法向量可取为，故.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线线垂直，线面垂直的判定与性质，二面角的余弦，属于中档题.21已知直线，点是直线上的动点，过点作直线，线段的垂直平分线交于点，记点运动的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知，且点满足，经过的直线交于两点，且为的中点，证明：为定值.【答案】（1）；（2）定值12，见解析【解析】（1）设出点，直接利用，列出方程化简即可得的方程；（2）设出，由可得，又为的中点，所以，最后根据抛物线的焦半径公式可得【详解】（1）设，则，因为点在线段的垂直平分线上，则则，化简得所以的方程为（2）设，则，因为，所以，可得，又为的中点，所以，则 因为在抛物线上，所以【点睛】本题主要考查利用直接法或者定义法求抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质的应用，涉及设而不求，整体思想的运用，属于中档题22已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求的值；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）