2020届成都市树德中学高三11月阶段性检测数学（文）试题（解析版）VIP

2020届四川省成都市树德中学高三11月阶段性检测数学（文）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可.【详解】由于：，故由题意可知：，结合交集的定义可知：.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2在复平面内，给出以下四个说法：实轴上的点表示的数均为实数虚轴上的点表示的数均为纯虚数互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数已知复数满足，则.其中说法正确的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】根据复数的几何意义，可判断，根据共轭复数的概念，可判断；根据复数的除法运算，直接计算，可判断.【详解】由复数的几何意义可得，复数与复平面内的点一一对应，实轴上的点表示的均为实数，虚轴上的点（除原点外）表示的均为纯虚数，故正确，错；由共轭复数的概念，可得：互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；故正确；由得，故正确.故选C【点睛】本题主要考查复数相关命题的判定，熟记复数的几何意义，共轭复数的概念，以及复数的除法运算法则即可，属于常考题型。3为等比数列的前项和，则（ ）A31BC63D【答案】B【解析】设数列的公比为，则,解方程再用求和公式表示即可得解.【详解】设数列的公比为，则，解之得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算，重点考查了学生的计算能力，属于基础题.4采用系统抽样法从960人中抽取40人参与一项问卷调査，为此将他们随机编号为1，2，960并按编号依序分为第一组、第二组、第四十组.然后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.那么，在第八组中抽到的编号是（ ）A129B153C177D201【答案】C【解析】先由题意，确定分组间隔，再由系统抽样的特点，根据第一组抽取的号码，即可求出结果.【详解】将960人编号后，按编号分成40组，则分组间隔为，又第一组抽到的号码为，所以在第八组中抽到的编号是.故选：C【点睛】本题主要考查系统抽样求抽取的样本，熟记系统抽样的特点即可，属于基础题型.5魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为A16BCD【答案】C【解析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，正方体的内切球的体积，又由已知，故选C【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题6如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是ABCD【答案】B【解析】根据时间和h的对应关系分别进行排除即可【详解】函数是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选B【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键7如图三棱锥中，底面，则与所成角的大小为（ ）ABCD【答案】B【解析】先由题意，得到，则，再由题意求出，从而求出，进而求出，由向量夹角公式，求出，即可得出结果.【详解】因为底面，所以，所以，又，所以，因此所以，又，所以，因此，所以与所成角的大小为.故选：B【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，灵活运用向量的方法求解即可，属于常考题型.8我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形所围成的区域记为，在圆内且在正方形外的部分记为，在圆外且在大正方形内的部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】首先要将小正方形旋转度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积比，从而可确定概率间的关系.【详解】将小正方形旋转度，图像转化为:由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以.则选A.【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直观想象的考查.9如图所示框图，若输入三个不同的实数，输出的值相同，则此输出结果可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据程序框图知，本题是输出函数的函数值，设输出的值为，可知直线与函数的图象有个交点，利用数形结合思想得出的取值范围，从而可得出输出的可能值.【详解】由题意可知，程序框图是输出函数的函数值，设输出的值为，可知直线与函数的图象有个交点，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有个交点，因此，此输出结果可能是.故选：C.【点睛】本题考查程序框图与函数的综合问题，读懂程序框图的功能是解题的关键，同时也涉及了由两函数图象的交点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10平面直角坐标系中，过坐标原点和点分别作曲线的切线和，则直线、与轴所围成的封闭图形的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】先设为曲线上任意一点，用导数的方法求出曲线在点的切线方程为：；分别由该切线过原点和过点，求出和；进而可求出所围成三角形的面积.【详解】设为曲线上任意一点，由得，因此曲线在点处的切线斜率为，所以其在点的切线方程为：，若该切线过原点，则，解得：，此时切线方程为，即；若该切线过点，则，即令，则，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，所以方程的根为，此时切线方程为，即，因此、与轴所围成的封闭图形是三角形，由解得：，即与的交点为，又直线 、与轴的交点分别为、，因此，围成的封闭图形面积为： .故选：A【点睛】本题主要考查求曲线过某点的切线方程，以及直线所围成图形的面积，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.11已知椭圆、双曲线均是以线段的两端点为焦点的曲线，点B是它们的一个公共点且满足，记此椭圆和双曲线的离心率分别为、，则（ ）AB2CD3【答案】B【解析】设，并设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，两曲线的焦距均为，利用椭圆、双曲线的定义，以及勾股定理可得出，由此可得出的值.【详解】设，并设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，两曲线的焦距均为，由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，由勾股定理得，化简得，即，因此，.故选：B.【点睛】本题考查双曲线与椭圆离心率关系的计算，同时也涉及了椭圆和双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12已知是定义在上的偶函数，且，当时，,则函数在区间的所有零点之和为（ ）A-7B-6C-5D-4【答案】A【解析】利用定义推导出函数是周期为的函数，并作出函数与函数在区间上的图象，可知两函数在区间上的图象关于直线对称，然后利用数形结合思想得出函数在区间上的零点之和.【详解】，所以，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以，所以，函数是以为周期的周期函数，作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数在区间上的图象都关于直线对称，两个函数在区间上的图象共有个交点，有对关于直线对称，还有一个交点的横坐标为.因此，函数在区间的所有零点之和为.故选：A.【点睛】本题考查函数的零点之和，转化为两函数图象的交点并结合图象的对称性求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13已知以点为圆心的圆C与直线相切，则圆C的方程为_【答案】【解析】根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得，结合圆的标准方程分析可得答案【详解】根据题意，设圆C的半径为r，以点为圆心的圆C与直线相切，则圆心到直线的距离为半径，则有，则圆C的方程为；故答案为：【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。14在矩形中，则_.【答案】【解析】作出图形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，然后利用坐标计算出的值.【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则点、，则，则点，.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查图形中数量积的计算，一般利用基底法结合平面向量数量积的定义和运算律来计算，也可以建立坐标系，利用坐标来计算，考查计算能力，属于中等题.15已知函数，设，请将、按照由大到小的排列顺序写出_.【答案】 【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数为偶函数，利用复合函数的单调性判断出函数在区间上为减函数，可知，该函数在区间上为增函数，再比较、和这三个正数的大小，从而可得出、的大小关系.【详解】对任意的实数，则恒成立，所以，函数的定义域为，所以函数为偶函数，当时，则，内层函数为减函数，外层函数为增函数，所以，函数在区间上为减函数，则该函数在区间上为增函数，.对数函数在上为增函数，则，即.指数函数为增函数，则，即.指数函数为增函数，则，由于函数在区间上为增函数，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查函数值的大小比较，涉及了函数单调性与奇偶性的判断，在涉及偶函数的性质时，一般结合性质来判断，同时要注意将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16已知数列满足：，记数列的前项和为，则_.【答案】【解析】先由求出，得到，由裂项求和的方法求出，进而可求出前项的乘积.【详解】因为，所以，两式作差可得：，即，又当时，所以，满足，因此；所以，因此，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查由递推公式求通项，以及数列的前项的应用，熟记裂项求和的方法求数列的和即可，属于常考题型.三、解答题17的内角，所对的边长分别为，且.（1）求角的大小；（2）若角,点为边上靠近点的一个四等分点，且，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】（1）将已知等式右边提取，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，然后利用正弦定理化简，求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；（2）结合（1）知三角形为等腰三角形，在三角形中利用余弦定理求出，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积【详解】解：（1），又为三角形的内角，；（2）结合（1）知三角形为等腰三角形，又因为点为边上靠近点的一个四等分点则，在三角形中利用余弦定理，解得，则【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题18如图，已知直三棱柱中，是的中点，是上一点，且.（）证明：平面；（）求三棱锥的体积【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）连接，由三棱柱是直三棱柱，得面,得到，又在直角三角形中，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面；（）过作，连接,交于点，过作,交于点，利用线面垂直的判定定理，证得面,得到面，求得，利用体积公式，即可求解。【详解】（）连接，在中，依题意为等腰三角形且，由面积相等，解得，由于三棱柱是直三棱柱，故面,那么.在直角三角形中，因为，所以，又由，所以，又因，故为直角，即，又由，所以得面，所以,由,故面.（）过作，连接,交于点，过作,交于点，因为面，所以,又因,所以面,所以面，又由，所以，所以.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及三棱锥的体积的求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。19某市房管局为了了解该市市民年月至年月期间买二手房情况，首先随机抽样其中名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图所示的频率分布直方图，接着调查了该市年月至年月期间当月在售二手房均价（单位：万元/平方米），制成了如图所示的散点图（图中月份代码分别对应年月至年月）.（1）试估计该市市民的购房面积的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从购房面积位于的位市民中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人的购房面积恰好有一人在的概率；（3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值如下表所示：0.0005910.0001640.006050请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出年月份的二手房购房均价（精确到）（参考数据），（参考公式）【答案】(1) ； (2) (3) 模型的拟合效果更好；万元/平方米【解析】（1）先由频率分布直方图，求出前三组频率和与前四组频率和，确定中位数出现在第四组，根据中位数两侧的频率之和均为，即可得出结果；（2）设从位于的市民中抽取人，从位于的市民中抽取人，根据分层抽样，求出，；由列举法确定从人中随机抽取人所包含的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而可求出概率；（3）根据题中数据，分别求出两种模型对应的相关指数，比较大小，即可确定拟合效果；再由确定的模型求出预测值即可.【详解】（1）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为，前四组频率和为，故中位数出现在第四组，且.（2）设从位于的市民中抽取人，从位于的市民中抽取人，由分层抽样可知：，则，在抽取的人中，记名位于的市民为，位于的市民为则所有抽样情况为：，共6种.而其中恰有一人在口的情况共有种，故所求概率（3）设模型和的相关指数分别为，则，显然故模型的拟合效果更好.由年月份对应的代码为，则万元/平方米【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求中位数，求古典概型的概率，以及函数模型的选取，熟记中位数的概念，古典概型的概率计算公式，以及相关指数的公式即可，属于常考题型.20设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，、分别是椭圆的左、右焦点，其离心率椭圆右焦点的直线与椭圆交于、两点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出，再结合离心率求出的值，由此可得出椭圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，求出、两点的坐标，验证是否成立；在直线的斜率存在时，可设直线的方程为，并设点、，将直线与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算得出关于的方程，解出即可.【详解】（1）由抛物线的焦点为，则知，又结合，解得，故椭圆方程为；（2）若直线不存在，可得，不满足；故直线斜率必然存在，由椭圆右焦点，可设直线为，记直线与椭圆的交点、，由，消去整理得到.由题意可知恒成立，且有，.那么则，解得.因此，直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了利用椭圆中向量数量积的运算求直线的方程，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法计算，考查计算能力，属于中等题.21已知函数（1）讨论的单调性；（2）若为的两个极值点，证明：.【答案】（1）当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数（2）证明见解析【解析】（1）求函数导数，分类讨论函数的正负，可得函数的单调性；（2）由（1）知，且，不等式作差得，即证对成立，进而构造函数求最值证明即可.【详解】（1）的定义域为，对于函数，当时，即时，在恒成立在恒成立，在为增函数； 当，即或时，当时，由，得或，在为增函数，减函数，为增函数， 当时，由在恒成立，在为增函数 综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数（2）由（1）知，且， 故故只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令，所以单调递减，有得证.【点