2015年高考线性规划必考题型---宁老师.doc

第六专题：线性规划题（选考）一、命题规律讲解1、 求线性（非线性）目标函数最值题2、 求可行域的面积题3、 求目标函数中参数取值范围题4、 求约束条件中参数取值范围题5、 利用线性规划解答应用题二、北京历年高考真题实例分析2010线性规划（11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式3表示的平面区域内，则m= 。答案-3【命题意图】本题考查点到线的距离问题和二元一次不等式表示的平面区域问题，和应用方程的思想进行解题的能力。【试题解析】由题意可得，解得m=-3【2011北京文，7】7某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A60件 B80件 C100件 D120件【答案】B【解析】仓库费用，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和，当且仅当即时取等号，所以每批应生产产品80件，故选择20126已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a32a2 （B） （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3a1，则a4a2【解析】当，时，可知，所以A选项错误；当时，C选项错误：当时，与D选项矛盾，因此描述均值定理的B选项为正确答案，故选B。【答案】B20132设，且，则（ ）A B C D答案：D解析：A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负数则不成立，故选D.12设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 。12答案：解析：区域D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到D的距离最小值为(1,0)到直线2xy0的距离.三、必考知识点及题型讲解题型一、求线性（非线性）目标函数最值题一、必考知识点讲解1线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.所有可行解组成的集合，叫做可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.2线性规划问题有以下基本定理： 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. 凸多边形的顶点个数是有限的. 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题线性规划问题在近几年全国各省市的高考试题中，都是以选择题或填空题的形式呈现的；考查内容除了常见的截距型、距离型和斜率型问题外，还出现了求平面区域的面积、求约束条件中的参变量范围以及求目标函数中的参变量范围等问题，集中体现了化归思想、数形结合思想以及运动变化思想等等；不仅考查了学生的画图、识图能力，还对学生的观察能力、联想能力以及推理能力提出了较高的要求.二、经典例题分析一、 线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即简单线性规划的最优解。例1 已知，求的最大值和最小值约束条件： ，是关于的一个二元一次不等式组；目标函数：，是关于的一个二元一次函数；可行域：是指由直线，和所围成的一个三角形区域（包括边界）（如图1）；可行解：所有满足（即三角形区域内（包括边界）的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得一组平行线（为参数）中的取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解。当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程（或一元一次方程）时，则可行域就转变成一条线段（或一条直线，或一条射线）。例2 已知满足，求的最大值和最小值约束条件：，是关于的一个二元一次不等式组；目标函数：，是关于的一个二元一次函数；可行域：是指由直线被直线和所夹的一条线段（如图1）；可行解：所有满足（即线段上的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得一组平行线（为参数）中的取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解。这类问题的解决，关键在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。二、 非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即最优解。例3 已知满足，求的最大值和最小值Oxy2图 3约束条件：，是关于的一个二元二次方程；目标函数：，是关于的一个二元一次函数；可行域：是圆上的圆周（如图3）可行解：所有满足（即圆周上的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得一组平行线（为参数）中的取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解。给定区间内的函数最值问题也可以看作是这类问题。例4 求函数的最大值和最小值。约束条件：是关于的一个二元不等式组；目标函数：是关于的一个二元一次函数；可行域：函数的图象在直线和之间（包括端点）的部分曲线（如图4）可行解：所有满足（即曲线段上的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得一组平行线（为参数）中的取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解。这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件所表达的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。三、 线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即最优解。例5 已知实数满足不等式组，求的最小值。约束条件：是一个关于的一个二元一次不等式组；目标函数：是一个关于的一个二元二次函数，可以看作是一点到点的距离的平方；可行域：是指由直线，和所围成的一个三角形区域（包括边界）（如图5）；可行解：所有满足（即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得它到点的距离最小，则其距离的平方也取得最小值，此时所对应的点的坐标就是最优解。例6 实数满足不等式组，求的最小值约束条件：是一个关于的一个二元一次不等式组；目标函数：是一个关于的一个二元函数，可以看作是一点与点的斜率；可行域：是指由直线，和所围成的一个三角形区域（包括边界）（如图6）；可行解：所有满足（即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得它与点的斜率取得最小值，此时所对应的点的坐标就是最优解。这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义，并利用图形及非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。四、 非线性约束条件下非线性函数的最值问题在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即最优解。例7 已知满足，求的最大值和最小值约束条件：是一个关于的一个二元方程；目标函数：是一个关于的一个二元函数，可以看作是一点与点的斜率；可行域：以原点为圆心，1为半径的在轴上方的半圆及与轴的交点（如图7）；可行解：所有满足（即半圆（包括交点）上的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得它与点的斜率取得最大值和最小值，此时所对应的点的坐标就是最优解。这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利用非线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数学形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题。是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。1. “截距”型考题方法：求交点求最值在线性约束条件下，求形如的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1.【2012年高考广东卷 理5】已知变量满足约束条件，则的最大值为( ) 1、选 【解析】约束条件对应内的区域(含边界)，其中 画出可行域，结合图形和z的几何意义易得2. (2012年高考辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大值为A20 B35 C45 D552、选D； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点时，的最大值为55，故选D.3.(2012年高考全国大纲卷 理13) 若满足约束条件，则的最小值为 。3、答案：【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点时，目标函数最大，当目标函数过点时最小为.4.【2012年高考陕西卷 理14】 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 4、答案2； 【解析】当x 0时，曲线在点处的切线为，则根据题意可画出可行域D如右图： 目标函数， 当，时，z取得最大值25.【2012年高考江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A50，0 B30，20 C20，30 D0，505、选B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x、y亩，总利润为z万元， 则目标函数为 . 线性约束条件为即 作出不等式组表示的可行域, 易求得点. 平移直线，可知当直线，经过点，即时 z取得最大值，且（万元）. 故选B.点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化设元写出约束条件和目标函数;(3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答就应用题提出的问题作出回答6. (2012年高考四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元6、答案C 【解析】 设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且 ，画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=这是随Z变化的一族平行直线，解方程组 ， ，即A（4,4） 7. (2012年高考安徽卷 理11) 若满足约束条件：；则的取值范围为.7、答案； 【解析】约束条件对应内的区域(含边界)，其中，画出可行域，结合图形和t的几何意义易得8(2012年高考山东卷 理5)的约束条件，则目标函数z=3xy的取值范围是 A ，6B，1 C1，6 D6， 8、选A； 【解析】 作出可行域和直线：，将直线平移至点处有最大值，点处有最小值，即. 应选A.9(2012年高考新课标卷 理14) 设满足约束条件：；则的取值范围为 .9、答案3，3；【解析】约束条件对应区域为四边形内及边界，其中，则2 . “距离”型考题方法：求交点求最值10.【2010年高考福建卷 理8】 设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A. B.4 C. D.210、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.11.( 2012年高考北京卷 理2) 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A B C D 11、选D；【解析】题目中表示的区域为正方形，如图所示，而动点M可 以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 ，故选D.3. “斜率”型考题方法：现求交点，再画图 （包括90取两边，不包括90取中间）当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。12.【2008年高考福建卷 理8】 若实数x、y满足则的取值范围是 （ ）A.(0,1) B. C.(1,+) D.12、选C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，表示平面区域内的动点与原点之间连线的斜率，由图易知，选C.评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定的最小值无限趋近于1.13.（2012年高考江苏卷 14）已知正数满足：则的取值范围是 13、答案；【解析】条件可化为：. 设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围.作出（）所在平面区域（如图），求出的切线的斜率，设过切点的切线为， 则，要使它最小，须.的最小值在处，为. 此时，点在上之间. 当（）对应点时， ，的最大值在处，最大值为7. 的取值范围为， 即的取值范围是2.求可行域的面积题一、必考知识点讲解本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.二、经典例题分析14.【2012年高考重庆卷 理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为A B C D 14、选；【解析】由对称性：围成的面积与围成的面积相等，得：所表示的平面图形的面积为围成的面积既15.（2007年高考江苏卷 理10）在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为 （ ）A B C D15、选B；【解析】令，则，代入集合A，易得，其所对应的平面区域如图阴影部分，则平面区域的面积为211，选B.评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.16.（2008年高考安徽卷 理15） 若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 .16、答案；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，其中： .当从2连续变化到1时，动直线扫过的平面区域即为与之间的平面区域，则动直线扫过中的那部分平面区域的面积即为四边形的面积，由图易知，其面积为：.评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A与动直线在从2连续变化到1时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键.17.（2009年高考安徽卷 理7） 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（A） （B） （C） （D） 高AxDyCOy=kx+17、选A； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知， ，选A. 18.（2008年高考浙江卷 理17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于_.18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有成立，只须平面区域顶点的坐标都满足不等式，易得所以所形成的平面区域的面积等于1.评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.3.求目标函数中参数取值范围题一、必考知识点讲解规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.二、经典例题分析21.（2008年高考山东卷 理12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）A1，3 B2， C2，9 D，921、选C；【解析】区域是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中，使函数的图象过区域,由图易知，只须区域M的顶点不位于函数图象的同侧，即不等式(a0，a1)恒成立，即评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.22.（2010年高考北京卷 理7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 A (1，3 B 2，3 C (1，2 D 3， 22、选A；【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点. 25.（2009年高考陕西卷 理11）若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 （ ）A（，2） B（，2） C D 25、选B；【解析】如图，阴影部分ABC为题设约束条件所对应的可行域，其中A(1，0)，法一：，目标函数对应直线，直线的斜率为，在y轴上的截距为. 目标函数恰好在点(1，0)处取得最小值，直线落在的直线xy =1按逆时针方向旋转到直线2xy =2的位置所扫过的区域，根据直线倾斜角与直线斜率的关系，可得12，解得41，在约束条件目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为A B C（1，3） D26、选A；【解析】在平面直角坐标系中作出直线，再作出直线y (m1)，由图可知目标函数z=x+my在点（，）处取得最大值，由已知可解m.4.求约束条件中参数取值范围题一、必考知识点讲解规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.二、经典例题分析19.（2009年高考福建卷 文9）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 19、选D；【解析】 作出不等式组所围成的平面区域. 如图所示，由题意可知，公共区域的面积为2；|AC|=4，点C的坐标为（1，4）代入得a=3，故选D. 点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程中含有参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确可变形为的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解. 20.【2012年高考福建卷 理9】若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D220、选B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所以，若直线上存在点满足约束条件，则，即。评注：题设不等式组对应的平面区域随参数m的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.23.（2007年高考浙江卷 理17）设为实数，若，则的取值范围是_.23、答案；【解析】 如图10，直线，由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线应位于直线与轴之间（包括直线及轴），即，所以的取值范围是.评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置、轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.24.（2010年高考浙江卷 理7） 若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数A B C 1 D 224、选C；【思路点拨】画出平面区域，利用的最大值为9，确定区域的边界【规范解答】选C令，则，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距当z最大值为9时， 过点A，因此过点A，所以5. 其它型考题27. （2009年高考山东卷 理12） 设x，y满足约束条件 ，若目标函数 的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 427、选A；【解析】如图，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中，显然，当直线过点时，目标函数取得最大值12，即，=，选A.评注：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并根据图形建立关于参数的等式；求的最小值时，常先用乘积进行等价变形，进而用基本不等式解答.28. （2010年高考安徽卷 理13）设满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为_.28、答案4； 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，由图易知，目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立.所以的最小值为4.综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.三、求可行域中整点个数例3、满足|x|y|2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个xyO解：|x|y|2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D6、 利用线性规划解答应用题一、必考知识点讲解点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化设元写出约束条件和目标函数;(3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答就应用题提出的问题作出回答二、经典例题分析6. (2012年高考四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元6、答案C 【解析】 设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且 ，画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=这是随Z变化的一族平行直线，解方程组 ， ，即A（4,4） 四、近三年各区模拟题2010年模拟题1. （东城文题4）已知变量满足，则的最小值为（ ）A B C D【解析】 A；不等式组所表示的平面区域如下图如示，当时，有最小值下面四个点中，在平面区域内的点是（ ）A B C D【解析】 B；直接将坐标代入即得2. （西城理题7）已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（ ）A B C D【解析】 C；如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为，小的等腰直角三角形区域为，由面积比知3. （海淀文题11）已知不等式组，表示的平面区域的面积为，点在所给平面区域内，则的最大值为_【解析】 6；可行域面积为，因此当时，取最大值，为2011年模拟题2.(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.答案:A【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 3.（2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 B（A） （B） （C） （D） 【解析】：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABCAxDyCOy=kx+由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A。 4.（2009安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于A. B. C. D. 【解析】由可得，故阴 =，选C。【答案】C6.（2009宁夏海南卷理）设x,y满足（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值【解析】画出可行域可知，当过点（2，0）时，但无最大值。选B.7.（2009宁夏海南卷文）设满足则（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 【答案】B【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z2，无最大值，故选.B8.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6 （B）7 （C）8 （D）23【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。【解析】画出不等式表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。11.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.二、填空题2.（2009浙江卷文）若实数满足不等式组则的最小值是 【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，4.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元. 【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A类产品 (件)(50) B类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:, 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. 答案:2300【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题 【2012北京市房山区一模理】7.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）【答案】B【2012年北京市西城区高三一模理】14. 在直角坐标系中，动点，分别在射线和上运动，且的面积为则点，的横坐标之积为_；周长的最小值是_【答案】，【解析】设A,B的坐标分别为，则，由题意知,所以三角形的面积为，所以。2013年模拟题 （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设若的最小值为（）A8B4C1D （北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知，满足不等式组当时，目标函数的最大值的变化范围是（）ABCD （北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知是正数，且满足那么的取值范围是（）ABCD （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）设不等式组表示的平面区域为.若圆 不经过区域上的点,则的取值范围是（）AB CD二、填空题（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为_（北京市海淀区北师特学校2