2020届江西名校学术联盟高三教学质量检测考试（二）数学（理）试题（解析版）

2020届江西名校学术联盟高三教学质量检测考试（二）数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】解出不等式，求出值域，分别得到集合，即可求解.【详解】依题意，故.故选:A.【点睛】此题考查解不等式和求函数的值域，并求不等式解集与函数值域的交集.2已知向量，其中若，则（ ）AB2CD【答案】B【解析】由则，即可求出参数的值，再用模的计算公式计算可得.【详解】解：，且即，即，解得，故，则，故，故选：B【点睛】本题考查向量垂直求参数的值，向量模的坐标表示，属于基础题.3已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上的一点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】首先由任意角的三角函数的定义求出，再利用二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为点是角终边上的一点，故，故选：C【点睛】本题考查任意角的三角函数及二倍角公式的应用，属于基础题.4现有如下命题：命题：“，”的否定为“，”；命题：“”的充要条件为：“”，则下列命题中的真命题是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，以及正弦函数的性质，结合真值表，可得结果.【详解】“，”的否定为“，”，故命题为假；，所以其中，故命题为真；故为真，故选：C.【点睛】本题主要考查命题的真假，属基础题.5已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，若，则的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先根据椭圆的定义求出，的值，再利用余弦定理计算可得.【详解】解：，而，故，故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义及余弦定理的应用，属于基础题.6如图，在正六边形ABCDEF中，（ ）ABCD【答案】B【解析】根据向量加、减法的定义及正六边形的性质计算可得.【详解】解：依题意，故，故选：B 【点睛】本题考查向量的线性运算及几何意义，属于基础题.7已知函数，则的值域为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据平方关系将函数转化为关于的二次函数，再结合二次函数的性质即可求解；【详解】解：，令，由的对称轴为，则，则的值域为，故选：C【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及二次函数的性质，属于基础题.8已知长方体中，分别是线段，的中点，若是在平面上的射影，点在线段上，/，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据线面垂直找到点，然后结合勾股定理，可得结果.【详解】过点作，垂足为，取的中点，连接，如图则由所以，且所以故所以，故选：D.【点睛】本题主要考查空间中两点之间的距离，还考查了射影的知识，属中档题.9函数的零点个数为（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】将函数零点问题转化成方程的根的问题，转化成两个新函数的公共点问题.【详解】令，得，显然不是该方程的根，故，在同一直角坐标系中分别作出的图象如下所示，观察可知，它们有2个交点，即函数有2个零点，故选：C.【点睛】此题考查函数零点问题，关键在于对方程进行等价转化，转化成两个易于作图的函数，讨论函数的交点问题.10已知函数，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先分析函数的单调性，再根据对数函数的性质比较自变量的大小，从而得解.【详解】解：已知函数在上单调递增，在上单调递减，且函数的图象关于对称，因为，而，故，故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于中档题.11若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用分离参数的方法，并构造新的函数，通过利用导数研究新函数的单调性，比较新函数的值域与的关系，可得结果.【详解】依题意：，令，则，令，则，易知单调递增，所以单调递增，故，故，则在上单调递增，故，即实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题主要考查存在性问题，对这种类型问题，掌握分离参数的方法以及学会构造新函数，通过研究新函数的性质，化繁为简，属中档题.12四棱柱中，底面四边形是菱形，连接，交于点，平面，点与点关于平面对称，则三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由 平面，得平面平面，作并延长到，且，由面面垂直的性质则平面，再计算点到底面的距离则体积可求【详解】平面，平面，则平面平面，又由题意，故平面平面，其交线为，作并延长到，且，由面面垂直的性质则平面，易得，故，则 ，点到底面的距离为，故三棱锥的体积为 故选：D【点睛】本题考查线面垂直与面面的判定及性质应用，考查椎体体积的求解，准确计算是关键，是中档题二、填空题13记等比数列的前n项和为，若，则_【答案】【解析】根据等比数列的前项和公式及求出，再根据等比数列的通项公式计算可得;【详解】解：显然，故，故，故故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前项和公式的应用，属于基础题.14若椭圆C过点，则椭圆C的离心率为_【答案】【解析】设椭圆方程为，代入即可求出椭圆方程，从而离心率可求；【详解】解：设椭圆C ：，则，则，故椭圆C：，故离心率故答案为：【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程及椭圆的简单几何性质的应用，属于基础题.15已知实数x，y满足，则的最大值为_【答案】【解析】首先作出不等式组所表示的平面区域，根据的几何意义表示平面区域内的点与连线的斜率，数形结合计算可得.【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域如图阴影区域所示，表示平面区域内的点与连线的斜率，观察可知，联立，解得，即，故的最大值为故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键是的几何意义的理解和应用，属于中档题.16已知首项为3的正项数列满足，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为_.【答案】21【解析】由递推关系得，求出的通项公式，再求出前n项和即可求解.【详解】依题意，故，令，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为4，所以，故，故，令，即，所以或（舍去），故所求最小值为21.故答案为：21【点睛】此题考查递推关系的应用，构造等比数列求通项公式，再求前n项和解不等式.三、解答题17已知函数（1）求曲线在点处切线的方程；（2）求函数的极大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出函数的导函数，计算出及，再利用点斜式求出切线方程；（2）根据导函数可得函数的单调性即可得到极大值点，计算可得.【详解】解：（1），而，故所求切线方程为，即（2）依题意，令，解得或，故当时，当时，当时，即函数在和上单调递增，在上单调递减，故当时，函数 取得极大值，且，故函数的极大值为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值以及导数的几何意义的应用，属于基础题.18已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求外接圆的半径；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据正余弦定理进行边角互化即可求解；（2）利用余弦定理建立等式，求解边长即可得出面积.【详解】解：（1）依题意，由正弦定理得，整理得，所以，因为，所以，故所求外接圆半径；（2）因为，所以由余弦定理，得，即，解得或（舍去），所以.【点睛】此题考查正余弦定理和面积关系的综合应用，关键在于熟记公式，准确计算.19直角梯形ABCD如图（1）所示，其中，过点B作，垂足为M，得到面积为4的正方形ABMD，现沿BM进行翻折，得到如图（2）所示的四棱柱C-ABMD（1）求证：平面平面CDM；（2）若，平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为，求CM的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）根据翻折的性质可知，即可得到平面，从而得证；（2）以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法表示出二面角的余弦，从而解方程即可.【详解】解：（1）在图（1）中，因为，所以翻折后，在图（2）中有，又，平面，平面，所以平面，因为平面，故平面平面（2）因为，平面，平面，所以平面，又，以 为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，D（2，0，0），C（0，0，a），A（2，2，0），则，设平面CAD的法向量为，由，取，即，取平面的法向量为，即，解得，即【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何的问题，属于中档题.20已知圆C过点（4,1），（0,1），（2,3），过点的直线与圆C交于M，N两点（1）若圆：，判断圆C与圆的位置关系，并说明理由；（2）若，求的值【答案】（1）圆C 与圆外切，见解析；（2）【解析】（1）设圆C：，代入点的坐标得到方程组即可求出圆C的方程，再求出两圆圆心距即可判断两圆的位置关系；（2）当直线与重合时，不符题意；设直线：，将代入圆C的方程可得，设，由，且，故，即可求出 ，再利用垂径定理、勾股定理计算可得.【详解】解：（1）设圆C：，则解得，故圆C：，即，即圆心，半径，又圆：的圆心，半径为，而，故圆C 与圆外切（2）当直线与x轴重合时，令，得，则可得，不符合题意，设直线：，将代入圆C的方程可得，设，则，因为，且，故，解得或，圆心到直线的距离，故【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，圆与圆的位置关系的判定，直线与圆的综合应用，属于中档题.21记数列的前n项和为，且，等比数列满足：，（1）求数列的通项公式以及前n项和；（2）求数列的通项公式【答案】（1）或，或；（2）【解析】（1）当时，求出，当时，解得，即得，设公比为，则即可解得；（2）由得到，即得，再用累加法求出数列的通项公式.【详解】解：（1）当时，解得，当时，解得，故，设数列的公比为，则，则，或，故或，或（2）因为所以当时，两式相减，可得，则，则，则，累加可得，故，而，均符合该式，故【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和，累加法求数列的通项公式，属于中档题.22已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数在上的最值；（2）若函数，求证：当时，函数无零点.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导函数，讨论在上的单调性即可求出最值；（2）对函数等价变形，结合定义域利用经典不等式进行放缩，转化成证明函数恒为