2025年成都市中考数学试题及解析

2025年成都市中考数学试题及解析（2025年6月14日9:00-11:00，满分150分）A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）题号12345678答案BCDBBADC1．如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（B）(A)2℃ (B)-2℃ (C)-5℃ (D)-7℃【解析】傍晚的气温是5-7=-2℃.故选B.2．下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（C）(A) (B)(C)(D)【解析】球的主视图和俯视图相同.故选C.3．下列计算正确的是（D）(A)x+2y=3xy(B)(x3)2【解析】(A)x+2y不能合并；(B)(x3)2=x6；故选D.4．在平面直角坐标系xOy中，点P(-2,a（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【解析】因为a2+1>0，所以点P(-2,5．在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：人数元宇宙16脑机接口a人形机器人14根据图表信息，表中a的值为（B）(A)8 (B)10 (C)12 (D)15【解析】表中a的值为16÷40%-16+146．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（A）(A) {x+y=100,300x+500(C){x+y=100,300x+500y=10000【解析】因为良田单价×良田亩数+劣田单价×劣田亩数=10000，所以300x+5007y=100007．下列命题中，假命题是（D）（A）矩形的对角线相等 （B）菱形的对角线互相垂直（C）正方形的对角线相等且互相垂直 （D）平行四边形的对角线相等【解析】因为平行四边形的对角线互相平分，所以命题（D）是假命题.故选D.8．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是（C）（A）小明家到体育馆的距离为2km（B）小明在体育馆锻炼的时间为45min（C）小明家到书店的距离为1km（D）小明从书店到家步行的时间为40min【解析】小明家到体育馆的距离为2.5km；小明在体育馆锻炼的时间为45-15=30min；小明从书店到家步行的时间为100-80=20min.故选C.第II卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．若ab=3，则a+bb的【解析】当ab=3，则a+bb=ab+10．任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为3.【解析】因为6x-3=15，所以x=3.故答案为3.11．正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为2.【解析】正六边形ABCDEF的对角线AD的长为边长的两倍.故答案为2.12．某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，则电流I的值随电阻R值的增大而减小（填“增大”或“减小”【解析】对于I=36R，因为36>0，所以电流I的值随电阻R值的增大而减小.13.如图，在RtΔABC中，∠ABC=90∘.AB=1,BC=2以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为【解析】连接AD，CD.则AC是BD的垂直平分线.设AC与BD交于点E.由勾股定理得AC=AB2+AB2=12+22=5.因为ΔAEB∽ΔABC，所以ABBE=ACCB，所以1BE=52，所以BE=三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（本小题满分12分，每题6分）（1）计算：(14)-（1）解：(14)-1-9+2cos⁡45∘=4-3+2×22+2-2=3.由②得4x-2-3x≤6，则x所以原不等式组的解集为2<x≤8.15．（本小题满分8分）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用.该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86,88,89,91,92,95,96；对平台B的服务态度评分为：86,86,89,90,91,93,95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：物品完好度服务态度物流时长平台A92m90平台B95n88（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是10分；（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？解：（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是96-86=10分.故答案为10分；（2）m=86+88+89+91+92+故平台A服务态度更好；将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比例确定平台的最终得分，则平台A的最终得分是510×92+310平台B的最终得分是510×95+310并以此为依据选择平台，该公司会选择B平台.16．（本小题满分8分）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89,cos63.4∘≈解：在RtΔACD中，∠ACD=90°，则tan∠D=ACCD，即tan63.4°=AC所以AC=60∙tan63.4°=2×60=120在RtΔABC中，∠CAB=90°，则tan∠B=ACAB，即tan30°=120所以AB=120÷tan30°=120÷13答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米．17.（本小题满分10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使弧EC=弧BC，连接BE，交AC于点F.（1）求证：BE∥CD；（2）若sin⁡D=23,BD=1备用图（1）证明：法1：如图1，图1∵CD是过点C的作半圆O的切线，∴∠1=∠3（弦切角定理）图1∵弧EC=弧BC，∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∴BE∥CD；法2：如图2，连接OC，则OB＝OC，∴∠OCB=∠OBC,∵CD是过点C作的半圆O的切线，交AB的延长线于点D∴OC⊥CD,∴∠OCD=90∘∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，∴∠3+图2∵弧EC=弧BC,∴∠3=∠2,∴∠1=∠图2（2）解：设半圆O的半径为r，则OC=OB=r，∴OD=OB+BD=r+1,∵OC⊥CD,∴∠OCD=90∴3r=2r+2,解得r=2，即半圆O的半径为2,AB=2r=4,图3∵BE∥CD,∴∠ABE=∠D,∴sin∠图3如图3，连接AE.∵AB为直径，∴∠AEB=9在RtΔABE中，sin∠ABE=AEAB=∴BE=A∵弧EC=弧BC,∴∠3=∠4,∴AF平分∠BAE，∴点F到AE，AB∴SΔAEFSΔABF=1（教学中若补充了三角形内角平分线性质定理，此处可直接由AF平分∠BAE，得AEAB∴EFBE=25，∴EF=25BE=25×（1）证明：连接OA，∵CD是切线，∴∠OCD=90°方法一:∵C是的中点，∴OC⊥BE，∴CD//BE方法二:∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ACO=∠BCD∵C是的中点，∴∠CBE=∠BAC=∠BCD，∴CD//BE（2）解：①求半径：方法一：设半径为r，OD=3+r在Rt△OCD中，∵，∴，∴方法二:过B作BG⊥CD于G，OC交BE于H.∵且BD=1，∴设半径为r，由△DBG∽△DOC，，∴，∴方法三：过B作BG⊥CD于G，OC交BE于H，设半径为r.∵且BD=1，∴，∵∠ABE=∠D，∴，∴，∴，∴方法四：过B作BG⊥CD于G，OC交BE于H，设半径为r.∵且BD=1，∴由△OBH∽△ODC得，∴，∴②求EF：方法一：连接AE，∵AB是直径，∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，，∴在Rt△ABE中：设，则在Rt△ABE中：，∴，∴∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D，∴△DBC∽△DCA，∴，∴，由△ABF∽△ADC，得，∴∴方法二：连接AE∵AB是直径，∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，，∴在Rt△ABE中：设，则.在Rt△ABE中：,∴,∴在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△ADC，得，∴,∴方法三：连接AE,∵AB是直径,∴∠E=90°.∵∠ABE=∠D，.∴在Rt△ABE中：设，则.在Rt△ABE中：,∴,∴∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△CDB，得,∴,∴方法四：连接AE,∵AB是直径,∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：设，则.在Rt△ABE中：,∴,∴在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△CDB，得,∴,∴方法五：作BG⊥CD，OC与BE交点记为H.由，BD=1得∴,∴∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△ADC，得，∴∴ 方法六：作BG⊥CD，OC与BE交点记为H.由，BD=1得∴,∴在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△ADC，得，∴∴方法七：作BG⊥CD，OC与BE交点记为H.由，BD=1得∴,∴∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△CDB，得,∴,∴方法八：作BG⊥CD，OC与BE交点记为H.由，BD=1得∴,∴在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△CDB，得,∴.∴方法九：连接AE，作CM⊥AB∵AB是直径,∴∠E=90°,∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：设，则,在Rt△ABE中：,∴∴,∴.且,,.∴.方法十：过F作FN⊥AB，连接AE.∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△CDB，得,∴...................................8分∵AC平分∠BAE，∠E=∠ANF=90°,∴EF=FN....................................9分在Rt△BFN中：....................................10分方法十一：过F作FN⊥AB，连接AE.∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△ADC，得，∴.∵AC平分∠BAE，∠E=∠ANF=90°,∴EF=FN....................................9分在Rt△BFN中：,.方法十二：过F作FN⊥AB，连接AE.在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△CDB，得,∴∵AC平分∠BAE，∠E=∠ANF=90°,∴EF=FN.在Rt△BFN中：,.方法十三：过F作FN⊥AB，连接AE.在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△ADC，得，∴.∵AC平分∠BAE，∠E=∠ANF=90°,∴EF=FN....................................9分在Rt△BFN中：,.方法十四：作EN⊥AC,连接AE.∵AB是直径,∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：设，则.在Rt△ABE中：,∴∴,,,.∴由△ENF∽△BCF得..∴.方法十五：OC与BE的交点记为H，连接AE.∵AB是直径,∴∠E=90°,∴AE//OC,∴△EFA∽△HFC,∴由BF//CD，得,∴.∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：设，则,在Rt△ABE中：,∴,∴∵C是的中点,∴.∴.方法十六：过E作EK//AB交AC延长线于K，连接AE.∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：设，则在Rt△ABE中：,∴,∴.∵AC平分∠BAE，∴EK=AE由△EFK∽△BFA得：∴.方法十七：连接AE并延长交DC的延长线于G，作CM⊥AB于M.∵OC=2，OD=3，∠OCD=90°,∴由AC平分∠BAG，∠G=∠AMC=90°,可得：....................................8分∵BE//DG，∴.∴.方法十八：连接AE并延长交DC的延长线于G，作CM⊥AB于M.∵OC=2，OD=3，∠OCD=90°，∴由AC平分∠BAG，∠G=∠AMC=90°,可得：∵AB是直径,∴∠E=90°.∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：设，则在Rt△ABE中：,∴，∴.∵BE//DG，∴.∴.方法十九：连接AE，作CM⊥AB于M.在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△ADC,得∵AB是直径,∴∠E=90°.∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中，设，则在Rt△ABE中：,∴∴,,,∴,∴.且.由相交弦定理：，得：方法二十：连接AE，作CM⊥AB于M.在Rt△ODC中：∵，,∴由△ABF∽△ADC,得∵AB是直径,∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：设，则在Rt△ABE中：,∴∴,,,∴,∴.由△BCF∽△ACB，,.由相交弦定理：，得：.18．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+b与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为（1）求k的值；（2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD=90∘，求直线（3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若ΔBEP的面积为2，求点E的坐标．解：（1）∵直线经过点B（3，0），∴-3+b=0．解得b=3．1分∵直线经过点A（a，2），∴-a+3=2．解得a=1． 1分∵反比例函数的图象经过点A（1，2），∴．1分方法一：如图，过点C作直线轴，分别过点A，D作l的垂线，垂足为M，N．∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，∴点C坐标为（-1，-2）．∴点M坐标为（1，-2）．∵点D在反比例函数的图象上，∴设点D的坐标为．则点N坐标为（t，-2）．由△CDN∽△ACM，得．即．1分解得或（舍去）．∴点D坐标为（-4，）．1分∴直线AD的函数表达式为．1分方法二：∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，∴点C坐标为（-1，-2），直线AC的函数表达式为．由∠ACD=90°，设直线CD的函数表达式为．代入C（-1，-2），得．解得．∴直线CD的函数表达式为．1分联立得或（与点C重合，舍去）．∴点D坐标为（-4，）．1分设直线AD的函数表达式为，则解得∴直线AD的函数表达式为．1分方法三：∵直线AO与反比例函数图象在第三象限交于点C，∴点C坐标为（-1，-2）．∵点D在反比例函数的图象上，∴设点D的坐标为．∵∠ACD=90°，∴，即解得或（舍去）．1分∴点D坐标为（-4，），1分∴直线AD的函数表达式为．1分（3）方法一：∵点E在反比例函数的图象上，∴设点E的坐标为．∴直线AE的函数表达式为．∴点P的坐标为．1分=1\*GB3①当时，∵△BEP的面积为2，∴．即．解得．∴点E的坐标为．1分=2\*GB3②当且s≠1时，∵△BEP的面积为2，∴．即．解得．∴点E的坐标为．=3\*GB3③当时，∵△BEP的面积为2，∴．即．解得（舍去）．综上，点E的坐标为或．2分方法二：=1\*GB3①当点E在第三象限时，如图，分别过点E，A作，，垂足为点F，H．∵点E在反比例函数的图象上，∴设点E的坐标为，.∵,∴． 1分∴．∴．∵点A（1，2），∴．∵△PEF∽△PAH，∴，即，解得或（舍去）．∴点E的坐标为．1分=2\*GB3②当点E在第一象限时，如图，分别过点E，A作，，垂足为点F，H．∵点E在反比例函数的图象上，∴设点E的坐标为，.∵,∴．∴．∴．∵点A（1，2），∴．∵△PEF∽△PAH，∴，即，解得或（舍去）．∴点E的坐标为．当点E在第一象限点A右侧时，同上述方法计算得无解.综上，点E的坐标为或． 2 分方法三：∵△BEP的面积为2，∴．．1分即.解得或.∴点E的坐标为或．2分B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是4x（填一个即可）【解析】4x2+4x+1=(2x+1)2，4x4+4x2+1=(2x2+1)2.从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0【解析】分六种情况列表如下：序号abb2根的情况1-111+4>0有实数根2-124+4>0有实数根31-11-4<0无实数根4124-4=0有实数根52-11-8<0无实数根6211-8<0无实数根则关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有实数根的概率为36=1如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为π6.【解析】如图，连接OB.∵OA=OC，∴平行四边形OABC是菱形.在ΔOAB中，OA=OB=AB，∴ΔOAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC∥AB,∴SΔABC=S扇形AOB=16π×1如图，在ΔABC中，AB=AC，点D在AC边上，AD=3,CD=2,∠CBD=45∘，则tan∠ACB的值点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED=∠ABD，则CE的长为217【解析】法1：如图，作AH⊥BC于点H，作DG⊥BC于点G，作DF⊥AH于点F，则四边形DFHG为矩形，∴DG=FH,DF=HG,DF∥HG,DG∥AH,在RtΔBDG中，∠DBC=45°，∴ΔBDG是等腰直角三角形，∴BG=DG∵AB=AC，∴BH=CH，∠ACB=∠ABC.∵DF∥BC,∴ΔADF∽ΔACH，∴DFCH=ADAC=ADAD+CD=∴设DF=3x，CH=5x.∴HG=DF=3x，BH=CH=5x，DG=BG=BH+HG=5x+3x=8x，CG=CH-HG=5x-3x=2x，∴BD=DG2+BG在RtΔCDG中，tan∠ACB=DGCG=8x2x=4，∵2x2+8x2=22，∴BD=82x=83417，∵∠CED=∠ABD,∠ACB=∠E+∠CDE,∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ABC=∠ACB，∴∠CDE=∠CBD=45°，又∠E＝∠E，ΔDEC∽ΔBED,∴DEBE=CEDE=CDBD=283417=34∵DE∴(834CE)2=（1017+CE）∙CE，∵CE≠0，∴32故答案为4，法2：如图，AB=AC=AD+CD=3+2=5，在AB上取点F，作∠FDB=∠CED=∠ABD=∝，所以∠AFD=2∝.则设BF=DF=x，则AF=AB-BF=5-x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°+∝,∴∠A=180°-2（45°+∝）=90°-2∝在ΔAFD中，∠A=90°-2∝，∠AFD=2∝.则∠ADF=90°.在RtΔAFD中，因为AD2+FD2=AF2，所以32+所以9+x2=25-10x+x2，所以10x=16，解得∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°+∝=∠CDE+∠E，又∠E=∝，∴∠CDE=45°.作CG⊥DE于点G,∵CD=2，∠CDE=45°,∴DG=CG=2.在RtΔAFD中，tan∠AFD=tan2∝=ADFD=385又因为tan2∝=2tan∝1-tan2∝=158∴(3tan∝+5)(5tan∝-3)=0,∴tan∝=35(负值舍去)，则tan∠ACB=tan（∝+45°）=1+tan∝1-tan∝=1+35在RtΔCEG中，因为sin∝=CGCE，所以334=2CE，所以CE=217注：这里用了高中的和角，倍角三角函数.23．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：35=12+110..将311拆分成两个单位分数相加的形式为14+【解析】第一空：拆分3第1步，设方程：设311=1a+1b第2步，变形方程：通分得311=第3步，试值法：尝试a>当a＝4时，代入方程得12b=11(4+b)，解得b=44.验证：14+第二空：拆分2k（奇数k＞2第1步，设2k=1m第2步，构造分母：对于任意奇数k(k>2)，令m=k+12第3步，验证：代入得1m+1n=2k，恒成立.故答案为1二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（本小题满分8分）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的45，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7（1）求每个A种挂件的价格；（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．解：（1）方法一：设每个A种挂件的价格为x元，根据题意，得.2分解得x=25.1分经检验，x=25是所列方程的根且符合题意． 所以，每个A种挂件的价格为25元．1分方法二：375-200=175，2分175÷7=25.1分所以，每个A种挂件的价格为25元．1分（2）方法一：设该游客购买A种挂件y个，根据题意，得 2分解得y≤． 1分因为为正整数，所以，该游客最多购买11个A种挂件. 1分方法二：设该游客最多购买A种挂件y个，根据题意，得 1分解得y=． 1分因为y为正整数，且总费用不超过600元，所以y的最大值为11.1分所以，该游客最多购买11个A种挂件. 1分方法三：根据题意列表格如下：A种个数A种费用B种个数B种费用A、B两种总费用125612014525071401903758160235410091802805125102003256150112203707175122404158200132604609225142805051025015300550112751632059512300173406402分因为游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，所以，由所列表格知，该游客最多购买11个A种挂件.2分25．（本小题满分10分）如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在□ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q.【特例感知】（1）如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：ΔEFP≅ΔECQ；【问题探究】（2）在（1）的条件下，若CG=3,GQ=5，求DQ的长；【拓展延伸】（3）如图2，当CE=2BE时，点P在BC边上，若CQDQ=1n，求CGDG的值.图2图2图1解：（1）由对称的性质，得AB=AF，BE=FE，∠B=∠AFE．在□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC． ∴∠B＋∠BCD=180°．∴∠EFP=180°-∠AFE=180°-∠B=∠ECQ．1分 ∵BE=EC，BE=EF，∴EF=EC．1分 又∵∠FEP=∠CEQ，∴△EFP≌△ECQ． 1分方法一：设DQ=x，则DG=x+5，CD=x+8． ∴AF=AB=CD=x+8．∵△EFP≌△ECQ，∴EP=EQ，∠P=∠EQC．∴EP-EC=EQ-EF，即CP=FQ．又∵∠CGP=∠FGQ，∴△CGP≌△FGQ．∴FG=CG=3，GP=GQ=5．1分AG=AF+FG=x+11．∵AD∥BC，∴．即1分解得x=4．即DQ=4．1分（说明：若证△GDA∽△GCP，或△GDA∽△GFQ，可与方法一得到相同的方程）方法二：同方法一，得FG=CG=3，GP=GQ=5．1分AP=AF+FG+GP=x+16．∵AB∥CD，∴∠B=∠PCG，∠PAB=∠PGC．∴△ABP∽△GCP．∴．即．1分解得x=4．即DQ=4．1分方法三：同方法一，得FG=CG=3，GP=GQ=5． 1分AF=AB=x+8，AG=x+11．

R延长AB，QE交于点R．由∠BER=∠CEQ，BE=CE，∠EBR=∠ECQ，R得△BER≌△CEQ．∴BR=CQ=8.则AR=AB+BR=x+16．∵AB∥CD，∴∠R=∠EQC，∠RAF=∠FGQ．∴△AFR∽△GFQ．∴．即．1分解得x=4．即DQ=4．1分方法四：连接CF，PQ．由EC=EF，EP=EQ，且∠CEF=∠PEQ，得∠ECF=∠EPQ=∠EFC=∠EQP．∴CF∥PQ．1分可得△ECF∽△EPQ，△CGF∽△QGP．∴．∴．∴．1分由AD∥BC，可得△AGD∽△PGC．∴．∴DG=3CG=9.∴DQ=DG-GQ=9-5=4.1分方法五：连接CF，PQ．同方法四，得CF∥PQ．1分得．∴．∵BE=CE，∴．1分∴．同方法二，得△ABP∽△GCP．∴．∴AB=4CG=12．则DC=AB=12．∴DQ=DC-CG-GQ=12-3-5=4.1分方法六：连接CF，PQ，BF．同方法四，得CF∥PQ．1分得．∴．由BE=CE=EF，可得∠BFC=90°．即CF⊥BF．由对称的性质，得AE⊥BF．∴CF∥AE．∴．1分由△EFP≌△ECQ，得FP=CQ=8．∴．即DC=AB=AF=12．∴DQ=DC-CG-GQ=12-3-5=4.1分（3）设BE=t，则EF=BE=t，CE=2BE=2t，AD=BC=3t．同（1），得∠EFP=∠ECQ，∠FEP=∠CEQ．∴△EFP∽△ECQ．∴．1分由，得．又∵AF=AB=CD，∴．∴． 方法一：延长AD，EQ交于点H．由AD∥BC，得∠H=∠CEQ，∠HDQ=∠ECQ，∠HAF=∠EPF．∴△DQH∽△CQE，△PFE∽△AFH．∴，． 1分H∴DH=nCE=2nt．

∴AH=AD+DH=(2n+3)t．H∴．∴．1分由AD∥BC，得∠GPC=∠GAD，∠GCP=∠GDA．∴△GPC∽△GAD．∴．1分M方法二：∵．∴．M过点Q作BC的平行线，交AP于M，则QM∥AD∥BC．又∵，∴．∴．∴．∵QM∥BC，∴． 1分∴．∴．∴．∵EC=2BE，∴．∴． 1分∵AD∥BC，AB∥CD，∴． 1分TK方法三：∵，AB=AF，∴．TK作EK⊥AB于K，作ET⊥AP于T．∵∠BAE=∠FAE，∴EK=ET．设△ABE与△APE的面积分别为S1，S2，则．1分∴,∴,

．1分∵AB∥CD，∴∠GCP=∠B，∠G=∠PAB．∴△GPC∽△APB．∴．又∵AB=CD，∴．∴． 1分26．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx过点（-1,3），且对称轴为直线x=1,直线y=kx-k与抛物线交于A，B两点，与（1）求抛物线的函数表达式；（2）当k=1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x=2交于点E.若抛物线y=(x-h)2-1与线段(3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）方法一：∵抛物线y=ax2+bx过点，对称轴为，∴解得 2分∴抛物线的函数表达式为. 1分方法二：∵抛物线的对称轴为，设函数解析式为∴解得 2分∴抛物线的函数表达式为 1分方法三：注意到抛物线过原点，则原点关于的对称点坐标为.1分设，代入点得. 1分所以抛物线的函数解析式为. 1分 （2）方法一：当时，直线AB的函数表达式为当时，．则．当时，．则. ①当直线与抛物线有一个交点时，联立.由，解得. 经检验，此时符合题意． 2分②当抛物线恰好过点时，．解得. 1分结合抛物线图象平移可得的取值范围是. 1分方法二：当时，直线AB的函数表达式为当时，．则．当时，．则.由（1）知抛物线的函数表达式为.而抛物线.设直线为，则点D，E的对应点分别为.若抛物线与线段DE有公共点就转化为抛物线与线段有公共点.当直线与抛物线有一个交点时，联立. 由，解得.经检验，此时符合题意．2分当点恰好在抛物线上时，．解得. 1分结合直线图象平移可得的取值范围是. 1分（3）由题意，可知.设直线与抛物线的交点坐标为.联立则是方程的两根．，.设线段中点，则，.即. ∵PQ⊥AB，∴直线PQ的函数表达式为．同理，可求得. 1分方法一：假设抛物线对称轴上存在定点，使得总是平分.如右图示，由对称性，不妨设，即在对称轴右侧，则在对称轴左侧.分别过作对称轴的垂线，垂足分别为.∵∴△MTE∽△NTF.∴.即 . 1分∵，，∴.1分整理，得. 1分由题意，上式对任意实数恒成立，则.解得. 所以，抛物线对称轴上存在，使得总是平分.1分方法二：假设抛物线对称轴上存在定点，使得总是平分.则点关于直线的对称点在直线TM上．点关于直线的对称点是． 当k≠±1时，1分∴直线的函数表达式为. 1分整理，得.1分∴直线过定点，此时T满足总是平分.特别地，当k=±1时，平分也成立.综上，抛物线对称轴上存在，使得总是平分.1分方法三：假设抛物线对称轴上存在定点，使得总平分，则.1分所以.