多元线性回归与最小二乘估计.doc

多元线性回归与最小二乘估计1假定条件、最小二乘估计量和高斯马尔可夫定理 多元线性回归模型：yt = 0 +1xt1 +2xt2 +k- 1xt k -1 + ut (1.1)其中yt是被解释变量（因变量），xt j是解释变量（自变量），ut是随机误差项，i, i = 0, 1, , k - 1是回归参数（通常未知）。 对经济问题的实际意义：yt与xt j存在线性关系，xt j, j = 0, 1, , k - 1, 是yt的重要解释变量。ut代表众多影响yt变化的微小因素。使yt的变化偏离了E( yt) =多元线性回归与最小二乘估计1假定条件、最小二乘估计量和高斯马尔可夫定理 多元线性回归模型：yt = 0 +1xt1 +2xt2 +k- 1xt k -1 + ut (1.1)其中yt是被解释变量（因变量），xt j是解释变量（自变量），ut是随机误差项，i, i = 0, 1, , k - 1是回归参数（通常未知）。 对经济问题的实际意义：yt与xt j存在线性关系，xt j, j = 0, 1, , k - 1, 是yt的重要解释变量。ut代表众多影响yt变化的微小因素。使yt的变化偏离了E( yt) =0 +1xt1 +2xt2 +k- 1xt k -1决定的k维空间平面。 当给定一个样本（yt , xt1, xt2 , xt k -1）, t = 1, 2, , T时, 上述模型表示为 y1 =0 +1x11 +2x12 +k- 1x1 k -1 + u1, 经济意义：xt j是yt的重要解释变量。 y2 =0 +1x21 +2x22 +k- 1x2 k -1 + u2, 代数意义：yt与xt j存在线性关系。 . 几何意义：yt表示一个多维平面。 yT =0 +1x T 1 +2x T 2 +k- 1x T k -1 + uT, (1.2)此时yt与x t i已知，j与 ut未知。 (1.3) Y = X+ u , (1.4)为保证得到最优估计量，回归模型（1.4）应满足如下假定条件。假定 随机误差项ut是非自相关的，每一误差项都满足均值为零，方差 s2相同且为有限值，即E(u) = 0 = , Var (u) = E( ) =2I = 2.假定 解释变量与误差项相互独立，即 E(X u) = 0.假定 解释变量之间线性无关。rk(X X) = rk(X) = k .其中rk()表示矩阵的秩。假定 解释变量是非随机的，且当T 时T 1X X Q .其中Q是一个有限值的非退化矩阵。最小二乘 (OLS) 法的原理是求残差（误差项的估计值）平方和最小。代数上是求极值问题。minS = (Y - X) (Y - X) = Y Y -X Y - Y X +X X = Y Y - 2X Y + X X. (1.5)因为Y X是一个标量，所以有Y X = X Y。(1.5) 的一阶条件为：= - 2X Y + 2X X= 0 (1.6)化简得 X Y = X X因为 (X X) 是一个非退化矩阵（见假定），所以有= (X X)-1 X Y （1.7）因为（1.5）的二阶条件= 2 X X 0 (1.8)得到满足，所以 (1.7) 是 (1.5) 的解 。因为X的元素是非随机的，(X X) -1X是一个常数矩阵，则是Y的线性组合，为线性估计量。求出，估计的回归模型写为Y = X+ (1.9)其中= ( ) 是的估计值列向量，= (Y - X) 称为残差列向量。因为 = Y - X= Y - X (X X)-1X Y = I - X (X X)-1 X Y (1.10)所以也是Y的线性组合。的期望和方差是 E() = E(X X)-1 X Y = E(X X)-1X (X+ u) =+ (X X)-1X E(u) = (1.11)Var() = E() ()= E(X X)-1X u u X (X X)-1 = E(X X)-1X s 2I X (X X)-1 = 2 (X X)-1 . (1.12) 高斯马尔可夫定理：若前述假定条件成立，OLS估计量是最佳线性无偏估计量。具有无偏性。具有最小方差特性。具有一致性，渐近无偏性和渐近有效性。2. 残差的方差s2 = / (T - k) (1.13)s 2是2 的无偏估计量，E(s 2 ) =2。的估计的方差协方差矩阵是() = s2 (X X)-1 (1.14)3. 多重确定系数（多重可决系数）Y = X+ = + (1.15)总平方和SST = = Y Y - T, (1.16)其中是yt 的样本平均数，定义为= 。回归平方和为SSR = = - T (1.17)其中的定义同上。残差平方和为SSE = = = (1.18)则有如下关系存在， SST = SSR + SSE (1.19)R2 = (1.20)显然有0 R 2 1。R 2 1，拟合优度越好。 4. 调整的多重确定系数当解释变量的个数增加时，通常R2不下降，而是上升。为调整因自由度减小带来的损失，又定义调整的多重确定系数如下： = 1 - = 1 - (1.21) 5. OLS估计量的分布 若u N (0, 2I ) ，则每个ut都服从正态分布。于是有Y N (X, 2I ) (1.22)因也是u的线性组合（见公式1.7），依据（1.11）和（1.12）有N (, 2 (X X)-1 ) (1.23) 6. 方差分析与F检验与SST相对应，自由度T-1也被分解为两部分，（T-1）= (k -1) + (T- k) (1.24) 回归均方定义为MSR = ，误差均方定义为MSE = 表1.1 方差分析表方差来源平方和自由度均方回归SSR =-T2k-1MSR = SSR / (k-1)误差SSE = T-kMSE = SSE / (T-k)总和SST= Y Y - T2T-1H0: 1=2 = =k-1 = 0; H1: j不全为零F = = F(k-1,T-k) (1.25)设检验水平为a，则检验规则是，若 F Fa (k-1,T-k) , 拒绝H0。 0 Fa (k-1, T-k) -ta(T-k) 0 ta(T-k)F检验示意图 t检验示意图7t检验H 0：j = 0, (j = 1, 2, , k-1), H 1：bj 0t = t(T-k) (1.26)判别规则：若 t ta(T-k) 接受H 0；若 t ta(T-k) 拒绝H 0。 8i的置信区间 （1） 全部bi的联合置信区间接受F = (-) (X X) (-) / s2 Fa (k, T-k) (1.27)(-) (X X ) (-) SST。为维持SSE+SSR=SST，迫使SSR ta) = a, P( t Fa (k-1,T-k) , 拒绝H0。 0 Fa (k-1, T-k) -ta(T-k) 0 ta(T-k)F检验示意图 t检验示意图7t检验H 0：bj = 0, (j = 1, 2, , k-1), H 1：bj 0t = t(T-k) (1.26)判别规则：若 t ta(T-k) 接受H 0；若 t ta(T-k) 拒绝H 0。 8bi的置信区间 （1） 全部bi的联合置信区间接受F = (b -) (X X) (b -) / s2 Fa (k, T-k) (1.27)( b -) (X X ) ( b -) s2 k Fa (k, T-k)，它是一个k维椭球。 (1.28) （2） 单个bi的置信区间bi = s ta/2(T-k) . (1.29) 9预测 （1）点预测C = (1 xT+1 1 xT+1 2 xT+1 k-1 ) (1.30)则T + 1期被解释变量yT+1的点预测式是，= C=0 +1 xT+1 1 + + k-1 xT+1 k-1 (1.31) （2）E(yT+1) 的置信区间预测 首先求点预测式C的抽样分布E() = E(C) = Cb (1.32)Var() = Var(C) = E(C- Cb ) (C- Cb ) = EC (- b ) C (- b ) = C E(- b ) (- b ) C = C Var()C = C s2 (X X )-1C = s2 C (X X )-1C , (1.33)因为服从多元正态分布，所以C也是一个多元正态分布变量，即= C N (Cb, s2C (X X ) -1C ) (1.34)构成 t 分布统计量如下t = t (T-k) (1.35)置信区间 C ta/2 (1, T-k) s (1.36) (3) 单个yT+1的置信区间预测yT+1值与点预测值有以下关系 yT+1 = + uT+1 (1.37)其中uT+1是随机误差项。因为E( yT+1) = E(+ uT+1) = Cb (1.38) Var( yT+1) = Var() + Var(uT+1) = s 2 C (X X)-1C + s 2 = s 2 (C (X X)-1C + 1) (1.39)因为服从多元正态分布，所以yT+1也是一个多元正态分布变量，即yT+1 N (Cb, s2C (X X ) -1C + 1)与上相仿，单个yT+1的置信区间是C ta/2 (T-k) s (1.40) 计算举例：（见计量经济分析第19-27页，熟悉矩阵运算）10. 预测的评价指标注意，以下6个公式中的et表示的是预测误差，不是残差。可以在样本内、外预测。(3) 预测误差。预测误差定义为et = - yt, t = T+1, T+2, (4) 相对误差PE (Percentage Error)。 PE = , t = T+1, T+2, (3) 误差均方根rms error (Root Mean Squared Error) rms error = (4) 绝对误差平均MAE (Mean Absolute Error) MAE = (5) 相对误差绝对值平均MAPE (Mean Absolute Percentage Error) MAPE = (6) Theil系数(Theil Coefficent) Theil = , t = 1, 2, , T以上6个式子中，表示预测值，yt表示实际值。Theil的取值范围是 0,1。显然在预测区间内，当与yt完全相等时，Theil = 0；当预测结果最差时，Theil = 1。公式中的累加范围是用1至T表示的，当然也可以用于样本外预测评价。11建模过程中应注意的问题（1）研究经济变量之间的关系要剔除物价变动因素。以上图为例，按当年价格计算，我国1992年的GDP是1980年的5.9倍，而按固定价格计算，我国1992年的GDP是1980年的2.8倍。另外从图中还可看出，1980-1992期间按名义价格计算的GDP曲线一直是上升的，而按不变价格（1980年价格）计算的GDP曲线在1989年出现一次下降。可见研究经济变量应该剔除物价变动因素。 (2) 依照经济理论以及对具体经济问题的深入分析初步确定解释变量。例：我国粮食产量 = f（耕地面积、农机总动力、施用化肥量、农业人口等）。但根据我国目前情况，“耕地面积”不是“粮食产量”的重要解释变量。粮食产量的提高主要来自科技含量的提高。例：关于某市的食用油消费量，文革前常驻人口肯定是重要解释变量。现在则不同，消费水平是重要解释变量，因为食用油供应方式已改变。(3) 当引用现成数据时，要注意数据的定义是否与所选定的变量定义相符。 例：“农业人口”要区别是“从事农业劳动的人口”还是相对于城市人口的“农业人口”。 例：2002年起我国将执行新的规定划分三次产业。即将农、林、牧、副、渔服务业从原第三产业划归第一产业。(4) 通过散点图，相关系数，确定解释变量与被解释变量的具体函数关系。（线性、非线性、无关系）（nonli8）（5）谨慎对待异常值。不能把建立模型简单化为一个纯数学过程，目的是寻找经济规律。年INV（投资）IMPORT（进口）19912.56200023.4700019922.42970032.2900019936.71240063.99000199415.3760078.75000199521.31000149.1300199627.37000113.8100199741.71000106.1500199839.78000112.2000 (6) 过原点回归模型与非过原点回归模型相比有如下不同点。以一元线性过原点模型，yt = b1 xt + ut ，为例， = 0不一定成立。原因是正规方程只有一个（不是两个），= 2 (yt -xt) (- xt) = 0，即 xt = 0，而没有 = 0。所以残差和等于零不一定成立。可决系数R 2有时会得负值！原因是有时会有SSESST。为维持SSE+SSR=SST，迫使SSR ta) = a, P( t ta) = a -ta(T-k) 0 ta(T-k) Fa(k-1,T-k)(10) 对于多元回归模型，当解释变量的量纲不相同时，不能在估计的回归系数之间比较大小。若要在多元回归模型中比较解释变量的相对重要性，应该对回归系数作如下变换* =, j = 1, 2, k-1 (1.41)其中s(xt) 和s(yt) 分别表示xt 和yt的样本标准差。*可用来直接比较大小。以二元模型为例，标准化的回归模型表示如下（标准化后不存在截距项），= b1*+ b2*+ + ut*两侧同乘s(yt)，得(yt -) = b1*(xt1 -) + b2*(xt2 -) + + ut* s(yt)所以有bj*=