2014年高考数学安徽卷理科第14题亮点赏析.pdf

n n n 注意 n C n n 综上所述 我们得如下对原试题结论加强的另 一式子 ln n an n n n n n N 倡 行文至此 我们聚焦答案中的思维断层而引 发上述精彩的演绎 从非常理性的角度剖析了原 试题 并加强了原试题的结论 倘若对 n 进行适 当的限制 我们可得如下对 an进行近似拟合的完 整的不等式链ln n n n a n n n n n n 相信通过上述的探究 我们应该能更好地理 解原试题及其表象掩盖下的试题本源 也为日后 从容应对类似问题提供了宝贵经验 而这正是我 们进行教学研究的旨意所在 收稿日期 年高考数学安徽卷理科第 题亮点赏析 湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 李红春 邮编 好的试题不一定总能吸引读者的关注 尤其 是那些看似平淡的试题 它们没有华丽的外衣 不张扬 很多时候容易被我们忽略 可当我们静 心思考 细细品味 有时会有不少意想不到的发 现与感悟 题目 设 F F 分别是椭圆 E x y b b 的左 右焦点 过点 F 的直线交椭圆 E于 A B 两点 若 A F BF A F x 轴 则椭圆 E的方程为 这是 年高考数学安徽卷理科第 题 笔者觉得此题看似平淡 其实意蕴不凡 值得研 究 现将笔者的思考草拟成文 和大家一起交流 亮点 1 平和亲切 注重传承 初看这道试题 学生倍感亲切 背景很熟悉 细细品味 一道道曾经熟悉的试题浮现在眼前 题 1 年全国卷 理 已知双曲线 C x a y b a b 的右焦点为 F 过点 F且斜率为 的直线交 C于 A B 两点 若 AF FB 则 C的离心率为 A B C D 题 2 年全国卷 已知 F是椭圆 C 的一个焦点 B 是短轴一个端点 线段 BF 延长 线交 C 于点 D BF FD 则 C 的离心率 e 为 题 3 年辽宁卷简编 设椭圆 C x a y b a b 的焦点为 F 过点 F的直 线 l与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 倾斜角 为 AF FB 求此椭圆的离心率 题 4 年全国卷 已知椭圆 C x a y b a b 的离心率为 过右焦点 F且斜率为 k k 的直线与 C 相交于 A B 年第 期中学数学教学 两点 若 AF FB 则 k A B C D 题 5 年全国卷 已知 F是抛物线 C y x 的焦点 过 F且斜率为 的直线交 C 于 A B 两点 设FA FB 则FA与 FB比值为 题 6 年江西卷 过抛物线 x py p 的焦点作倾斜角为 的直线与抛 物线分别交于 A B 两点 A 在 y 轴左侧 则 AF BF 我们知道 高考命题有时取材于往年高考试 题 这种命题方式使考生对题目有亲切感 充分 体现命题者对考生的人文关怀 往届高考试题是 新高考试题的重要来源之一 我们的高考命题专 家一直重视传承和相互借鉴 他们坚持 命题是 一种自然的发展 不会有突变 不能隔断历史 的 观点 本题充分说明了这一点 亮点 2 小巧活宽 解法多样 我们的命题专家一直倡导 高考命题应该遵 循 活 与 宽 的原则 即解题运用的不是死知 识 而是将熟悉的 基本的东西 拿 来解决陌生 的问题 好的试题能体现小中见大 知识覆盖面 广 解题入口宽 解法思路广等特点 本题在解法 上具有较强的灵活性与多样性 内涵丰富 解法 多样 精彩纷呈 给考生提供了充分展现自己才 华和能力的空间 下面枚举 种优美解法与大家 共享 解法1 坐标法 由 AF x轴 知 F 的横 坐标为 xF c 代入椭圆方程易得 yF b 即 A c b AF BF 知 AF F B 设 B x y 又 F c 则 c b x c y 即 x c y b 所以 B c b 代入椭圆方程 整理得 c b 又 b c 解之得 b c 故椭圆的方程为 x y 解法 2 几何法 如图 过 A B 分别作左 准线的垂线 垂足分别为 M N 过 B 作 BH AM 于 H 不妨设AF m BF n 则 m n 设椭圆离心率为 e 由椭圆的定义知 AM m e BN n e 设 AF x 则 BA H 在 Rt BA H 中 cos AH AB m e n e m n e m n m n e c 易知 A c b 在 Rt AF F 中 tan b c 又 为锐角 则 cos c b c 所以 c b c c 又 b c 解之得 b c 故椭圆的方 程为 x y 解法 3 用极坐标 以 F 为极点 F x 为极 轴建立极坐标系 则极点在椭圆左焦点的椭圆的 极坐标方程为 ep ecos 设 A AF B BF 其中 为直线的倾斜角 代入 极坐标方程得 AF ep ecos BF ep ecos 由AF BF 知 ep ecos ep ecos 即 cos e 即 cos c 后同解法 略 解法 4 用余弦定理 设AF m BF n 则 m n AF m BF n 在 AF F 和 BF F 中分别 中学数学教学 年第 期 由余弦定理 c m mc cos m c n nc cos n 两式相减 化简得 c cos 即 cos c 后略 解法 将向量条件坐标化 凸显了坐标法的 思想 解法 突出图形直观 体现了椭圆第二定 义以及平面几何知识在解析几何中的重要作用 解法 运用极坐标的方法 极坐标是新课标的选 修内容 符合新课改的大趋势 解法 关注椭圆 第一定义 借助余弦定理在焦点三角形中解决问 题 引导学生学习要重视课本基本概念和基本方 法 真可谓不同的角度展示了不同的方法 不同 的方法演绎着同样的精彩 亮点 3 稳中求变 凸显创新 比较思考 我们不难发现 本文所举的题 题 和题 说明 已知圆锥曲线焦点弦上焦半径 长度之比和焦点弦所在直线的倾斜角 则离心率 可求 题 题 说明 已知圆锥曲线离心率和 焦点弦所在直线的倾斜角 则焦点弦上焦半径长 度之比可求 题 说明 已知圆锥曲线离心率 和焦点弦上焦半径长度之比 焦点弦所在直线的 倾斜角可求 这些高考试题不断的变换着设问 角度 传承中有创新 从中我们可以总结出这样 一个结论 圆锥曲线焦点弦上的焦半径长度之 比 圆锥曲线离心率 焦点弦所在直线的倾斜角 三者知二可求一 至此 似乎这类试题已经 山穷 水尽 可命题人并没有止步于此 本题虽然只给 出三个要素中的一个 求不出另外两个量 但可 以得到它们之间的一个关系 进而建立一个方 程 要彻底解决问题于是再增设一个条件 这看 似细小的创意 却为这类试题的命制注入了新的 活力 我们佩服命题专家对高考试题研究的力度 之深 感叹他们的智慧与良苦用心 亮点 4 导向鲜明 启示深刻 首先 高考一直彰显着支持并服务于新课标 的意向 课程改革的不断推进 对高考命题也提 出了更高的要求 要求试题在创新的同时更能全 面考查学生的数学素养 这样的试题仅靠模式训 练的题海战术难以做到 这就要求一线教师要摆 脱死教书的习惯 少做点机械的训练 多做点深 入的研究 对于直线和圆锥曲线试题 不少人还 沉迷于机械的重复训练 将直线的方程和圆锥曲 线联立 利用判别式 韦达定理 弦长公式等程式 训练 这样的方法只能事倍功半 作为一道填空 题 本题也能按此法求解 如先设出直线方程 代 入椭圆 进而用韦达定理得到坐标间的关系 然 后解方程组 消元 整个过程下来 耗时耗力 作 为填空题 极不划算 本文的 种解法就显得小 巧 灵活 由此我们不难感悟到 高中数学课堂教 学中 我们要抛弃 记题型 背套路 重解题方 法 轻数学本质 的应试教育的旧观念 只有让学 生掌握数学的本质 提高学生分析问题和解决问 题的能力才是唯一出路 其次 高考复习中我们用的大部分是陈题和 高考题 如何从研究题目中获得启发 这就需要 我们挖掘试题的内涵 拓展其价值 以此题为例 我们在教学中还可以作一些变式 如将 焦点弦 上的焦半径长度之比 换为 椭圆离心率 或 焦 点弦所在直线的倾斜角 求椭圆方程 将这些问 题和变式放在一起 不断能让