江苏省高考数学知识整理.pdf

1 江苏省江苏省高考高考数学知识整理数学知识整理 By Valley 平面几何 这部分高考几乎不涉及 所以估计自主招生也不会考太多 就写一点关于圆还有关于三角形五心的常 用知识 不必花太多时间 由于 word 不便作图 这部分就手写了 这里是目录 1 切割弦 相交弦定理 弦切角定理 2 四点共圆的性质及判定 3 三角形五心的性质 4 角平分线定理 5 常见情形的处理方法及一些常用知识 三角函数 1 课本内容 诱导公式 和与差 倍角 万能公式等 2 和差化积与积化和差 推导 已知 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 相加得 sin sin 2 sin cos 相减得 sin sin 2 cos sin 同理得 cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 设 A B 则 A B 2 A B 2 则有 sinA sinB 2sin A B 2 cos A B 2 sinA sinB 2cos A B 2 sin A B 2 cosA cosB 2cos A B 2 cos A B 2 cosA cosB 2sin A B 2 sin A B 2 即为和差化积公式 左右同除以 2 除以 2 再左右对调 即可得积化和差公式 sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin cos cos 1 2 cos cos sin sin 1 2 cos cos 注 易见 和差化积与积化和差中的和差均为同名函数 这一点要注意 当题目中出现同名函数相 加减 且角的和差较特殊的 可考虑用这几个公式进行化简 以上形式较整齐 方便记忆 但要注意 式与 式比其他式子多了个负号 千万不能丢 3 半角公式与三倍角公式 半角公式由倍角公式逆推得到 但有根号 正负号也不好确定 所以并不常用 常用的只有一个 即 tan 2 sin 1 cos 1 cos sin 三倍角公式 sin3 3sin 4sin3 4sin sin 60 sin 60 cos3 4cos3 3cos 4cos cos 60 cos 60 4 常用三角恒等式 ABC 为三角形内角 即 A B C tanA tanB tanC tanAtanBtanC 证明 tanC tan A B tanA tanB 1 tanAtanB 稍作处理 即得 式 还可变形为 cotAcotB cotAcotC cotBcotC 1 注 代数中 碰到 x y z xyz 的条件 可用此式换元 设 x tanA y tanB z tanC 其 中 A B C 有时还可以追加条件 若 xyz 均大于 0 则 ABC 均为锐角 条件不够还可以 不妨设 x y z 或者 A B C 但要注意什么时候才能 不妨设 2 tan A 2 tan B 2 tan A 2 tan C 2 tan B 2 tan C 2 1 证明与 类似 可变形为 cot A 2 cot B 2 cot C 2 cot A 2 cot B 2 cot C 2 此式也可用 于换元 但 cot 不便处理 故不常用 sinA sinB sinC 4cos A 2 cos B 2 cos C 2 证明 左边 2sin A B 2 cos A B 2 2sin C 2 cos C 2 2cos C 2 cos A B 2 cos A B 2 右边 再次和差化积 cosA cosB cosC 4 sin A 2 sin B 2 sin C 2 1 与 类似 sinA sinB sinC 3 3 2 琴生不等式 cosA cosB cosC 3 2 用 再用一次均值 再用一次琴生 注 一般 式常用 式不怎么用 可在平面几何中用 可在不等式中用 相关式子可自己证明一遍 留点印象即可 看到相似结构也好有个处理思路 如果时间太紧 三 角恒等式就不要记了 但和差化积 积化和差还有 tan 半角公式最好记住 解析几何 1 公式 二次曲线的切线 设曲线 C 方程为 F x 0 则以 C 上一点 P a b 为切点的切线方程可在 F x 0 中作如下替换得到 x x a 2 x2 ax xy ay bx 2 y y b 2 y2 by 若点 P 在 C 之外 则得到的是过点 P 作 C的两条切线所得的切点弦方程 斜率为 k 的直线上两点 P x1 y1 Q x2 y2 则 PQ x1 x2 k2 1 y1 y2 1 k2 1 到 夹 角 l1到 l2的角 tan k2 k1 1 k1k2 要注意顺序 l1到 l2的角是指 l2 不动 将 l1绕交点逆时针转至与 l2重合所经过的最小角度 夹角是指相交所成的较小的角 故夹角正切值只 要在到角公式上加个绝对值号就行了 焦三角形面积 P 为曲线 C x2 a2 y2 b2 1 上一点 F1F2为 C 的焦点 F1PF2 2 则 S F1PF2 b2tan 椭圆 b2 tan 双曲线 2 圆锥曲线的光学性质 椭圆 从一个焦点出发的光线经反射会到达另一个焦点 用数学语言来说 椭圆 C 焦点为 F1F2 P 为 C 上一点 连接 PF1 PF2 则 P 处椭圆切线平分直线 PF1 PF2所成的一对角 抛物线类似 3 常见方法 联立方程 使用韦达定理 涉及中点 斜率的问题常常考虑点差法 圆锥曲线涉及焦点的问题常常考虑统一定义 涉及两个焦点的常考虑第一定义 涉及相同斜率线段的比例问题 常常考虑将线段投影到坐标轴上 化归为一维问题 注意平面几何 光学性质 参数方程在解析几何中的应用 函数 1 注意函数性质的运用 例如奇偶性常用来求值 单调性常用来解不等式 有些函数一一对应的性 质常用来产生方程 还有就是单调性的判定 一是作差 商 还可一部分一部分地分析 最后 就是求导了 2 有时会考到函数方程 即给出一个关于 f x 的式子 然后要求 f x 的表达式或一个函数值 这种 题型就是函数方程 一般只能通过赋值求解 3 数列 1 等差数列常用公式 通项公式与前 n 项和公式 mnpq 为正整数 且 m n p q 则am an ap aq 由 Sn n 2 a1 an n 2 a2 an 1 特别地 n 2k 1 k N 时 Sn S2k 1 2k 1 ak n S n 1 2 k N 则Sk S2k Sk S3k S2k 成等差 公差为 k2d 2 等比数列常用公式 通项公式与前 n 项和公式 mnpq 为正整数 且 m n p q 则am an ap aq k N 则Sk S2k Sk S3k S2k 成等比 公比为 qk 这些公式可自己简单证明一下 看看有没有弄错 3 求数列通项的常用方法 等差等比利用定义 特殊递推关系 和差积商 即an an 1 F n 一个关于 n 的多项式 不含数列 中的项ai 这些情况中差与商较易处理 累和 乘 即可 和的递推可在左右同乘 1 n 即可转化为差的递推 例 an an 1 2n可转化为 1 nan 1 nan 1 1 n2n 即 1 nan 1 n 1an 1 2 n 积的递推只好再写一式相除 然后分奇偶讨论了 据递推关系 设出新数列 换元化简往上面两点上靠 常用换元 代数换元 即正常使用的换 元方法 三角换元 例 出现 x2 1 可设 x tan 这样 只要符号确定 就能去掉根号 化简 主要就利用三角函数的一些性质 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 往往能很 方便地去掉根号 迭代法 不动点 数学归纳法 特征根法 主要分整式和分式两种 i 整式 以二阶为例 举个简单例子 an 1 6an 8an 1 要处理这个递推关系 很容易看出 可将其写成an 1 2 an 4 an 2 an 1 这样就构造出一个易于处理的等比数列 根据前几 项 可先求出an 2 an 1 然后就简单了 一般地 递推关系形式为an 1 pan qan 1 p q 为非 0 常数 的数列称为二阶线性齐次递推数列 若想用一般方法进行处理 应该会想到构造新数列 观察递推关系的形式 结合上述例子 应 想到构造等比数列 至于相关系数可考虑待定系数法 即 将原式配成an 1 an an an 1 的形式 展开后对照原式可得 p q 易见 是方程 x2 px q 0 的两根 该方程 x2 px q 称为相应数列的特征方程 而 即称为该数列的特征根 在数 学竞赛中 推导过程往往省略 看到递推关系可直接写出特征方程 然后求根 后续处理 一种是先求出an an 1 然后再求an 另一种则跳过了前一种方法的部分运算 相当于定理了 求出 后 若 则an A n B n 系数 A B可由数列前两项求出 在求 AB 时 有个小技巧 题目中往往给出a1 a2 但用a2带入时 指数为 2 可能会难算 这时可先用递推关系 求出a0 再将a0 a1带入求解会简单些 若 则an A Bn n AB由前两项求出 注 可自己类比三阶 四阶 n 阶的情况 有时可以逆用 例如已知数列an 1 2 n 1 2 n 可逆推出其递推特征根为 1 2 特征方程为 x2 2x 1 递推关系为an 1 2an an 1 ii 分式 递推形式为an 1 pan s qan 1 t 的数列 ps 不全为 0 q 0 其特征方 4 程为 x px s qx t 其根 即为该数列的特征根 这个方程好像也是待定系数 搞出来的 具体我也记不清了 若 则数列 an an 为等比数列 解题时要简单证明一下 若 则数列 1 an 为等差数列 这个也要证明 4 求和 方法跟高考差不多 就不说了 这里就写几个裂项方法 arctan 1 1 n n2 arctan 1 n arctan 1 n 1 n n n 1 1 n n 1 n n n 1 n n n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 1 k 2 k k 2 k k 1 2 k k 1 1 k2 1 k 1 k 1 1 2 1 k 1 1 k 1 1 k 1 k k k 1 1 k 1 k 1 三角函数积化和差有时也可用于裂项求和 5 数列在其他问题中的应用 最典型的就是斐波那契数列 可以自己用特征根法求一下通项 其 步骤一般为 设数列 找递推 求前几项 求通项 一般用于计数 有时也可用于求概率等 6 其他 数列常常会与不等式联考 要注意适当放缩 还有 数列归根结底还是函数的一部分 实 在没办法还可以借助于函数 再有就是数学归纳法了 虽然烦 但有时还是蛮好用的 立体几何 先介绍几个简单定理 1 射影定理 这个定理用于求二面角 内容较简单 设面 与 夹角为 对于 设其在 上的 投影为 则 cos S S 2 三余弦定理 已知三个平面 两两相交 三条交线交于点 O OC OA OB 若 则 cos AOB cos AOC cos BOC 3 欧拉公式 对任意多面体有 面数 顶点数 棱数 2 记不得就以正方体为例 4 三垂线定理及其逆定理 下面再介绍几个常见方法与结论 1 求异面直线之间的距离 较常用 不过 中向量法求点面距我从没用过 直接法 作出公垂线段再求值 转化为线面距再进一步转化为点面距 具体方法 直线 a b 过 b 上一点 M作 a 的平行线 a a 与 b 确定一个面 则 ab 间的距离等于 a 到 距离 就等于 a 上任意一点到 的距离 求点面距又有三种方法 一是直接法 二是体积法 三是向量法 例 点P 与面 先在 上 任取一点 Q 作向量 PQ 再找出法向量 n 则点面距 d PQ n n 函数法 在两条直线上各取一点 P Q 然后设未知量表示 PQ 再求出 PQ 的最小值 2 求三棱锥体积的转化法 主要就是利用平行换顶点 还有一个 对于三棱锥 S ABC 记起体积为 V A1B1C1依 次 为 直 线 SA SB SC 上 任 意 一 点 记 其 体 积 为V1 则 有 V1 V SA1 SB1 SC1 SA SB SC 3 关于三棱锥的一些结论 S ABC 为三棱锥 O 为 S 在面 ABC 上的投影 若 SA SB SC 则 O 为 C 的外心 若 S 到 ABC 三边距离相等 则 O 为 ABC 内心 若 A BC SB AC 则 SC AB 且三棱锥四个顶点中任一顶点在其对面的投影均为对应三 角形的垂心 4 补形 碰到不规则几何体常使用该方法 还有 碰到对棱相等或一个顶点处三条棱两两垂直的三 棱锥 常常将其补成长方体 不等式 5 这部分全是字母 也写到纸上了 目录 均值不等式 柯西不等式 琴生不等式 绝对值不等式 常见不等关系 排列组合与概率 这部分没太多知识 应该就课本上那些了 要补充的就是数列在这部分的应用 例题会涉及 向量 补充两个定理 1 ab 为任意两个向量 则 a b a b a b 类似绝对值不等式 a b a b 用 n 维坐标表示该式 即为柯西不等式 2 P 是直线 AB上一点 且 AP PB O 为任意一点 则 OP OA OB 1 以 O 为原点建系 用坐标表示该式 即为解析几何中的定比分点公式 再结合重心性质 就可推出重 心坐标公式 解题方法一般就以下几个 1 直接用向量加减进行转化 2 建系用坐标求解 3 画图求解 4 数量积与向量的模之间进行互化 再补充几个三角形中的向量关系 1 G 为 ABC 重心 则 GA GB GC 0 2 H 为 ABC 垂心 则 HA HB HA HC HB HC 3 O H 分别为 ABC 的外心与垂心 则 O