由两道高考试题的研究引发的教学思考_祁平.pdf

由两道高考试题的研究引发的教学思考 祁 平 苏州市教育科学研究院 年江苏高考数学卷最后二题 以下简称 试题 试题 立意新 方法活 很好地体现 了数学的思想方法 积极地体现了课改精神 对数 学教学也起到了较好的引领作用 对阅卷中的情况进行调研 发现考生对试题 的思考仅停留在问题的表象 对问题的研究 缺乏方向感 答题卷上留下方法繁多 计算混乱的 局面 考生对试题 的研究更是缺乏信心 绝 大部分考生 包括平时优秀的一些学生 抓不住问 题的本质 熟悉的递推数列在新的 环境 下变得 陌生 许多考生不知所措 思维感到一片空白 不 知渡向何处 同样 与高三数学教师交流发现 大 家普遍感到试题 有新意 有难度 不易 上手 近几年数学教育取得了很多成绩 但我们更 要看到存在的问题与不足 优秀学生的数学能 力 数学素质还不令人满意 思维的灵活性到哪里 去了 高密度的 例题 与高密度的 测试 符合 理想的数学教学吗 社会发展 人类进步所呼唤 的数学教学究竟是什么 等等这些问题我们必须 从灵魂深处来研究数学教学的本质 试题的研究 试题 的研究 试题 如图 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 椭圆 的左 右 焦点 分 别 为 已知点 和 槡 都在椭圆上 其中 为椭圆的离心率 求椭圆的方程 设 是椭圆上位于 轴上方的两点 且直线 与直线 平行 与 交于点 若 槡 求直线 的 斜率 求证 是定值 参考答案 略 优秀试题的 迷人的风光 应体现在对高层次 理性思维的考查上 应给优秀考生留下深刻的印 象 下面是对试题第 问的研究与认识 设 直线 的倾斜角为 斜率为 如图 取 点关于 轴的对称点 显然 烅 烄 烆 且 想到对称 使问题 产生了美感 同时 使 松散的 的问题 转化为有联系的 与 的问题了 由 知 反射情景 突然出现 延长 交椭圆与 易 证 与 关于 轴对称 点坐标为 槡 这是与课本上的 弦问题 相关联的 过焦点的弦 问题也是高三复习教学中多次出现的问题 由 知直线 的倾角 为锐角 所以 槡 槡 由 槡 得 年 第 卷 第 期 数学通报 槡 槡 槡 即 槡 槡 化简得 槡 槡 由 可得 所以 由 得 槡 槡 化简得 有 槡 由此发现 可直接延长 交椭圆与 易 得线段 关于点 中心对称 取对称点 的过程可省略 轴时 易得定值为 槡 由此 我们方向明确 刚才的研究 求 斜 率 提醒我们 在线段众多的问题中 是关键的量 将这些关键的量视作参数 努力发现 这些量的 信息 并大胆运用辅助参数 和 才能使复杂的问题转化为熟悉的弦问题 设 由 及 得 则 同理 由 得 所以 槡 故只需证 槡 由 槡 槡 求得 槡 再由 得 故 是方程的二根 根据韦达定理并化简得 槡 槡 槡 注 联想对称 将问题转化为椭圆的过焦 点的弦问题 其运算目标为由韦达定理将参数 化归为单一参数 的计算问题 思路合理 方向明确 有趣的是 转化后出现的新问题情景在 高二 高三学习时也遇到过 学生感到运算的复杂与艰难 根源在于 解题方向 模糊 沿此思路 还可求出满足条件的 点轨迹 方程为 试题 的研究 试题 已知各项均为正数的两个数 列 和 满足 槡 设 槡 且 是等比数列 求 和 的值 参考答案 略 分析 求 困难时 缩小 或 或 的范围是常规思路 也是不定方程研究的 常规思路 用方程求解 困难时 联系 不等式 来思索问题 也应是常规思路 数形 结合是关键 由于 是等比数列 所以深度观察对称式 槡 容易想到基本不 等式 槡 槡 为正数 由 此不难 得到 槡 或 者 想 到 槡 槡 槡 数学通报 年 第 卷 第 期 于是发现 槡 联想 对称 式 是数学 的基本能力 发现 槡 联想等比数列的图象 会使我们非常惊讶 因为发现 槡 时 应当强烈的联想到课本 必修 注 文中所说课 本均为苏教版 第 页上由例 给出的图象 即 时点 的图象 由此得 时 与 槡 矛盾 同样想到 时 与 矛盾 为此 数形结合 的运用 使问题柳暗花明 将 代入 槡 得 槡 也为等比数列 公比为 槡 槡 则将 代入 槡 得 槡 发 现 可 求 解 得 槡 即 最多只有二个值 即数列 各项 组成的集合最多只有二个元 素 联想等比数列的图象 时 则 不成立 同理 也不成立 由此 得 槡 槡 将 槡 代入 槡 得 槡 注 上面的研究还告诉我们 得到关于 的 方程 槡 时 易知方程根最多二个 此 时 方程思想 獉獉獉獉 和集合的语言 獉獉獉獉獉 为我们展开了联想的 翅膀 正如 布特勒所说 现代数学 这个最令 人惊叹的智力创造 已经使人类心灵的目光穿过 无限的时间 使人类心灵的手延伸到无边无际的 空间 数学是一种心灵的语言 忽视对数学概念 内涵与外延的准确解读和有机运用 学生就不可 能掌握这 心灵的语言 就必然缺乏思维的穿透 力 另外 高密度的例题教学仅仅是一种机械的思 维训练 并不能增强问题研究的能力 杂乱的思维 训练反而会影响数学学习兴趣 并增强了学生对 数学思考的 恐惧感 关于数学教学的思考 新授课要紧扣课本 复习课要回归课本 新授课的教学要紧扣课本 紧扣课本就是要求教学要特别重视基本概念 和课本上的基本问题的研究 对数学的每一个概 念 不仅要讲清它的意义 并且要理解课本上相应 的例题 习题和复习题的学习价值 通过这些问题 的教与学的活动 有机地让学生进一步理解新的 概念 以及新概念与其它相近的数学概念的联系 让学生深刻认识每一个概念存在的价值 以及基 于课本的对概念的发展而精心设计一个单元 一 个章节的课堂教学 这是一种教学智慧 这是我们 数学教学要追求的一种思想 一种艺术 比如 试 题 中求 的斜率问题 所用到的知识方法 均在课本上 如课本 选修 第 页上的复 习题 第 第 若在新课教学中能加以很好 的研究 并进行必要的联系与发展 而不是 一批 了之 简要批改 讲评 那么 学生不仅能加深对 椭圆的基本概念的理解 同时也深刻地掌握了弦 长 的计算方法 并由此探索有关 弦长 的相 关问题的研究方法 学生在考场上对试题 的 研究就不会 无从下手 就不会 无计可施 重视 课本上问题所体现的数学方法和数学思维的研 究 才能更好地发挥教材的功能 才能更好地引导 学生科学学习 才能引导学生在平凡的问题中发 现更深刻更一般的数学内涵 反之 远离课本 忽 视基础的能力的培养是脆弱的 发展知识 发展能 力 就必须紧扣课本 高三复习教学必须回归课本 离开 基础 的教学设计 离开 基础 的教学 活动 思维能力的培养必然是脆弱的 比如刚才提 到的 弦问题 教学中功利性地关注问题的 解 决 没能将问题的研究回归到课本 回归课本 就 是回忆 唤醒以前学习的重点概念及基本问题 由 此才能发现问题的本质 才能找到问题的源头 根 帮助学生展开有质量的联想 回归课本 就 是要促进学生对数学概念的理解和发展 因为由 概念引出的对产生新方法起到起始作用的联想 对发展学生的能力非常有效 否则 一连串的问题 的教学 必定影响学生对数学本质深刻认识 缺乏 对数学本质认识的教学难以提高学生的认识能力 年 第 卷 第 期 数学通报 和创新能力 留下的是乏味的重复训练的机械式 思维 这样的教学是一种无根的缺乏灵气的教学 萍水相逢尽是他乡之客 就是最好的形容 比如 试题 的研究 高三不等式复习教学中若 注重回归课本 对必修 题等问题作简 要的回顾和必要联系与发展 学生就会增强对 槡 槡 的本质的认识 对试 题 中 槡 的感知会在记忆 的搜索与心理的刺激过程中联系到 槡 槡 从而发现 槡 进而联 系到课本必修 在例 中 等比数列的通 项公式 是一个常数与指数式的乘积 从图象上 图 表示这个数列的各点 均在函数 的图象上 强烈的图象 信息 迅速获得 有趣的是 试题 在 发现 公比 后 进而发现 是公比 为 的等比数列 再次联想到等比数列 的图象 必修 例 的图 由 槡 知 组成的集合 最 多只有二个元素 由此知 的公比只能等于 即各点 只能在直线 上 解题教学要还思维空间给学生 问题是数学的心脏 解题教学是数学教学 的核心内容 培养学生的思维能力是解题教学的 灵魂 解题教学要还思维空间给学生 首先要重视 教学目标的确定 由此进行的教学设计还必须研 究要选哪几个例题 例题的量和例题的质的研 究 为什么要选这几个例题 学生会有什么反 应 而学生的 反应 其落脚点在于学生的思维能 力是否得到有效发展 主动发展 近二个月调研 了十多所高中学校 发现 小时现象 教师认真 教学 学生学会了某问题的解题过程 三天之内 学生认识该问题的思路 但三天之后 小时 学 生在练习该问题 或类似问题 时 又处于茫然状 态 解题思路混乱 如问题 中 垂 直平分 分别交 于 为 上任一点 求 的值 教师的教学片断 调研发现一 些学生三天后 对该问题的解答茫然 出现思维混 乱 其原因在于教学中教师没有还思维空间给学 生 没有引导学生思考 为什么 用 代替 而不用其它向量代替 教师在预设时 认真研究 学生会有什么反应 在讲评中教师才 能有针对性的给学生留下一定的空间 促使学生 在反思中学习 举一反三 触类旁通 积极创新 这 样的教学能引起学生的深度思考 能促进学生的 学习兴趣 能提升学生有效学习的质量 没有很好 研究 学生会有什么反应 的教学 其教学必然会 侵占 学生的 空间 调研中发现 一些课堂例题 偏多 尤其是高三教学中 大题量 快节奏的教学 学生的思维空间越来越小 缺乏思维空间的数学 教学 必然导致 学生的发现能力受到阻碍 学生 的辨别能力逐步退化 其次 解题教学还思维空间给学生 要增强问 题研究的方向和方法的讨论 比如 试题 的研究中是如何想到转化为 弦问题 的 方法的 合理性在哪里 努力克服方法的盲目性 还思 维空间给学生 就是要增强问题研究的方法选择 的讨论 比如命题组提供的方法合理性在哪里 解题方向的确定和解题方法的确认是需要时间 的 让学生训练解题方向的确定是需要设计的 这 是教学智慧的高度体现 让学生训练解题方法的 确认过程 也是需要预设的 同样这也是教师智慧 的高度体现 这样的教育学生会一辈子受益 还思维空间给学生 其教学价值取向还包括 心理品质的培养 还思维空间给学生 才能更有效 地培养学生 明智的克制和理智的诚实 心理品 质 才能更有效地培养学生在逆境中冷静地分析 问题的心理品质 才能更有效地培养学生把握全 局 抓主要矛盾的主要方面 善于绕过障碍的心理 品质 缺乏思维空间的问题研究 必然导致学生思 维水平降低 依赖 模仿 型学生增加 优秀学生 的创新能力受到抑制 考卷上留下的 杂乱的过 程 也就不足为怪了 教育应该是一种慢艺术 缺 乏思维空间的学习 正如缺乏空气 缺乏水份的植 数学通报 年 第 卷 第 期 物 哪会有郁郁葱葱的景色 我们必须从灵魂深 处来研究数学教学的本质 数学思想 不能停留在教学的表层上 近二十多年来 在徐利治先生等一些数学家 的倡导下 中学数学教学越来越重视数学思想方 法的渗透 数学通报 等刊物也作了广泛的宣传 数学课程标准也起到了很好的引领作用 但调研 中发现 数学思想方法的渗透仍停留在教学的表 层上 其原因也是多方面的 数学思想方法的渗透 必须克服 贴标签 的现象 取得最佳教育效果的方法就是掩盖教育意 图 所谓 贴标签 现象是指教师有 渗透数学思 想方法 的观念 但缺乏深层次的理解 在教学中 对 数学思想方法 只是 空洞的说教 或 形式化 的一提了之 其教学行为不是教师发自内心深处 的教学理解 克服 贴标签 现象 教师必须深入学 习和研究 课标 和 教材 深入领会数学思想方 法的内涵和意义 研究更贴近学生的更具有数学 素质教育的教学方法 即数学思想方法的渗透能 否拨动学生心灵深处的那一根弦 能否引领学生 触类旁通 能否引领学生积极创造 克服 贴标签 现象 必须重视 解题方向和方 法 的反思 直觉思维当然很重要 但是在数学活 动中 更重要 更高级的是反省思维 斯普根 著 名数学教育家 注重反思的教学能使学生真正抓 住数学思维的内在本质 从而提升学生对数学思 想方法的理解 并内化到数学学习中 数学思想方 法的渗透必须强化对数学本质的研究 强化对数 学本质的研究 包含对数学概念 问题的本质研 究 有益于增进教师对数学思想方法的深入理 解 由此影响教师的教学行为 比如 对集合概念 本质的研究 会使我们深刻理解 集合是一种语 言 的思想 上面提到的试题 的研究 正 是由于我们运用集合的这一思想 才增强了对方 程 槡 的认识 即增强了对 的认识从而引发新的联想 即 等比数列的图 象 的联想 使问题 峰回路转 克服 贴标签 现象 必须重视试题本质的研 究 比如 年江苏高考压轴题研究 笔者将试 题本质的研究 与数学思想方法的运用相结合 使 研究过程从 由浅入深 到 深入浅出 给出的解 题思路不仅能与学生共鸣 而且能引领学生将数 学思想方法贯穿于问题的整个研究过程 提升了 学生研究问题 解决问题的能力 数学思想方法的渗透必须重视数学美的研究 试题 的研究中充分体现了化难为 易 追求简单的思维方法 简单就是美 陈省身 先生说过 数学的本质在于化繁为简 理性思维也 是体现化繁为简的一个主要方面 由此呈现的理 性思维必然深刻 自然地体现了数学的思想方法 同时也必定受到了数学美的启示 试题的研究中 我们受到了 对称美 图象的抽象美 等