2020届莆田市（第一联盟体）学年上学期高三联考数学（文）试题（解析版）

2020届福建省莆田市（第一联盟体）学年上学期高三联考数学（文）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】首先求集合，再求.【详解】，解得： ，.故选：C【点睛】本题考查集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型.2若，则cos2=（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意先求出，然后再用倍角公式求解即可得到结果【详解】由条件得，故选C【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题3若，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先判断当时，两边平方后能判断成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条件.【详解】当时，且 ， ，若， ，反过来，当时，满足，当此时 ，当，.故选：A【点睛】本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.4已知等比数列满足，则的值为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】由题意列方程组求解.【详解】设等比数列的公比为， ，解得： 故选：B【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型.5某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（ ）A2BC1D【答案】C【解析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出的值.【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥，如下图所示由棱锥的体积公式得：，解得： 故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题.6已知，则满足（ ）ABCD【答案】A【解析】根据对数的运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小.【详解】 ，是单调递增函数， ，.故选：A【点睛】本题考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.7已知直线与抛物线相交于两点，是的中点，则点到抛物线准线的距离为（ ）AB4C7D8【答案】B【解析】根据数形结合分析可知点到抛物线准线的距离，再根据弦长公式求.【详解】由题意可知直线过抛物线的焦点，如图，都和准线垂直，并且垂直分别是，由图象可知，根据抛物线的定义可知， 联立得， ，.故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和弦长公式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.8我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】由判断函数的奇偶性以及利用导数得出区间的单调性即可判断.【详解】则函数在上为奇函数，故排除B、D.，当时，即所以函数在区间上单调递减，故排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.9关于函数有下述四个结论：是周期函数；的最小值为；的图象关于轴对称；在区间单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】B【解析】代入周期公式，判断周期；去绝对值得到分段函数判断最小值；利用定义判断函数的奇偶性；去绝对值，化简函数，再判断函数的单调性.【详解】 ，是周期为的周期函数，故正确；的周期是，所以分析时函数的值域，当时， ，的值域是，当时， ，的值域是，综上可知函数的值域是，最小值是-1，故不正确； 是偶函数，关于轴对称，故正确；由知，当时， ， ，而在上单调递减，故不正确.综上可知，正确编号是.故选：B【点睛】本题考查含绝对值的三角函数性质的判断，意在考查转化与化归的思想，推理能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据函数的周期，正确去掉绝对值，然后再分析函数的性质.10已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ）ABC）D【答案】A【解析】由直角三角形以及中位线的性质得出，由双曲线的定义得，再由余弦定理以及化简得出，即可得出双曲线的渐近线斜率.【详解】取切点为B，连接BO，作，垂足于A因为，且为的中点，所以在直角三角形中，所以由双曲线的定义得： 由余弦定理可知：化简得：，又所以，即所以故双曲线的渐近线斜率为故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题.112019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（ ）ABCD【答案】C【解析】分别得出、对应的自然数，将、代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案.【详解】对应的自然数为21，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除A，D；对应的自然数为23，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除B；故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.12已知对任意实数都有，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】首先根题意构造函数，并且求得函数，再讨论 和三种情况，参变分离后讨论的取值范围.【详解】设，即，不等式 当时，即 ，设， 当时， ，单调递减，当时，单调递增，当时，函数取得最小值，当时，当时，即设， ，当时，单调递增，当时，单调递减，时，取得最大值，时，当时，恒成立，综上可知：.故选：D【点睛】本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数， ，.二、填空题13已知复数满足（为虚数单位），则复数_.【答案】【解析】先化简，再求.【详解】 .故答案为：【点睛】本题考查复数的化简，共轭复数，属于简单题型.14已知满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】首先作出不等式表示的可行域，再令作出初始目标函数，通过平移直线求得函数的最大值，求的取值范围.【详解】首先画出不等式组表示的可行域，如图，令，画出初始目标函数，然后平移到点取得最大值 ，解得：，.当目标函数过点时，取得最小值，的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查线性规划，意在考查画图，数形结合分析问题的能力，属于基础题型.15在三棱锥中，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为_.【答案】【解析】平面,垂足为点，连接，由条件可知是四边形外接圆的直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出，根据同弦所对的圆周角相等，可知，求出的长.【详解】平面,垂足为点，连接，平面，平面，同理，是四边形外接圆的直径，取的中点，即是四边形外接圆的圆心，作平面，则 过的中点作的垂线，交于点，则 ，是三棱锥外接球的球心，,，即底面外接圆的直径是2，.故答案为：【点睛】本题考查几何体的外接球问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.16在锐角中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，且，则的最大值为_.【答案】【解析】首先变形，得到，两边平方后，得到，最后利用基本不等式求的最大值【详解】是锐角三角形，在的内部， ，两边平方后 ,，且， ，设，解得：（舍）或 ，即，的最大值是.故答案为：【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的关键的关键转化是，整理后得到，然后再两边平方求的最大值.三、解答题17在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）设，.若在边上，且，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理变换互化为，再化简求得，求角；（2）根据面积求，中，根据余弦定理求的长.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，化简得：，所以，即.又因为，所以.则.因为，所以，所以.因为，所以.（2）因为，因为，所以，即，因为，即，所以.在中，由余弦定理得：，则，所以.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.18设数列的前项和为，且，为正项等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）首先已知求，再设数列的首项 ，设公比为，求数列的通项公式；（2）由（1）可知，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）由，得当时，当时，所以当时，也满足此式.所以.又，因为为正项等比数列，设的公比为.所以，即，所以.（2）因为.所以.所以.所以.【点睛】本题考查已知数列的前项和，求通项公式，以及数列求和，已知考查基本方法和计算计算能力，属于基础题型， ，一般求和的方法包括：1.公式法求和，2.分组转化法求和，3.裂项相消法求和，4.错位相减法求和，5.倒序相加法求和，6.规律求和法.19如图，正方形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）若是的中点，设，且三棱锥的体积为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取中点，连结，由条件证明；（2）利用等体积转化，解得，由面积公式解得的值.【详解】解：（1）取中点，连结.因为，所以.在中，则，所以，又，且面，所以面，又面，所以面面.（2）因为面面，又面面，且，所以面，所以.又因为，所以.因为，所以.又，所以，得.【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.20已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，离心率为，且过点.（1）求的方程；（2）设过点的直线交于，（异于）两点，直线的斜率分别为.若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据，求得，再代入点的坐标，求得椭圆方程；（2）设直线的斜率为，直线的方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示和的值，再求.【详解】（1）依题意得椭圆的离心率为，则.将点代入椭圆方程得，则，故椭圆的方程为.（2）设直线的斜率为.由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线.由消去，得，所以，.所以.又因为点在椭圆上，所以，则，所以.【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆的位置关系的综合应用问题，意在考查利用根与系数的关系求解定值，属于中档题型，本题第二问的关键是设直线的斜率为，并且表示和的值.21已知函数.（1）函数在处的切线过点，求的方程；（2）若且函数有两个零点，求的最小值.【答案】（1）即；（2）8.【解析】（1）首先求出在处的切线方程，然后代入点，求参数的值；（2）首先利用导数判断函数的单调性和最小值，因为有两个零点，所以即得，再根据零点存在性定理证明在上有一个零点，在上有一个零点，得到的最小值.【详解】（1）因为，所以，所以又，所以在处切线方程为，即.又因为直线过点，所以得即.所以直线方程为即.（2）因为.令得即，因为所以，所以当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增，所以.因为有两个零点，所以即得，又因为，.设则，因为在上单调递增，所以，所以在单调递增，所以.又，所以，故在上有一个零点，在上有一个零点，即在上有两个零点，则又且，所以得最小值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，和已知零点个数求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题第二问的难点是函数的最小值后，如何说明左右各有一个零点，即根据零点存在性定理说明，当时，证明.22已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）的极坐标方程为：（2）【解析】(1) 由曲线的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出的方程，再转化为极坐标方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.【详解】解：（1）曲线的普通方程为：，将曲线上的点按坐标变换得到，代入得的方程为：.化为极坐标方程为：.（2）点在直角坐标的坐标为，因为直线过点且倾斜角为，设直线的参数方程为（为参数），