2020届三门峡市高三上学期第一次大练习（期末）数学（理）试题（解析版）

2020届河南省三门峡市高三上学期第一次大练习（期末）数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】化简集合A，B，利用交集运算求解即可.【详解】所以 故选：C【点睛】本题主要考查了求集合的交集，属于基础题.2已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】直接由复数的运算化简为a+bi（a，bR）的形式，则答案可求【详解】=复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3已知等差数列的前项和为,若，则=（ ）ABCD【答案】B【解析】设出公差d，由a8+a10=28求出公差d，求利用前n项和公式求解S9得答案【详解】等差数列的首项为a1=2，设公差为d，由a8=a1+7d，a10=a1+9d，a8+a10=28即4+16d=28得d=，那么S9=72故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题4已知，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】利用半角公式、诱导公式得到，再由的范围确定的正负，即可求解.【详解】因为，所以则故选：D【点睛】本题主要考查了半角公式以及诱导公式，属于中档题.5若非零向量满足，且，则与的夹角为ABCD【答案】A【解析】利用得到，再利用得到与的关系，最后利用计算两向量的夹角.【详解】，所以，即，即， ，又，故，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.6已知函数，则它的图象大致是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得，函数为偶函数，图象关于轴对称，根据选项给的函数图象，可排除A,B,对比C,D两个选项发现，函数的在相同的区间上单调性相反，由图象上的点不难发现，比较和的大小即可得出正确答案，因此结合图象选C.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性以及函数的单调性的判断，属于中档题，做这类题的核心思想就是优先利用排除法，如果用直接法的话工作量太大，耗费时间，首先对于本题通过对的解析式发现其为偶函数，从而可排除图象不关于轴对称两项，再对比未被排除的C,D两项，发现它们的不同点，在相同区间的单调性相反，如果从定义出发直接证明，很繁琐，不合适，通过观察发现只需要比较与的大小即可，从而可得出结论.7为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【答案】A【解析】由题意化简可得ysin3（x），再根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【详解】解：函数ysin 3x+cos 3xsin（3x）sin3（x），将函数ysin 3x的图象向左平移个单位，得ysin3（x）的图象故选A【点睛】本题主要考查了函数yAsin（x+）+b的图象变换规律问题，是基础题8如图所示，在一个边长为1的正方形ABCD 内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】由定积分求出阴影部分的面积，按照几何概型的公式求解.【详解】阴影部分的面积为：则所投的点落在叶形图内部的概率是故选：A【点睛】本题主要考查了定积分求面积以及几何概型，属于中档题.9运行下列程序框图，若输出的结果是，则判断框内的条件是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据循环语句的特点以及输出结果，可得判断条件需满足时进行的运算，不能满足时的运算，根据选项，得到答案.【详解】因为输出的结果是根据循环语句的特点，说明判断条件需满足时进行的运算，不能满足时的运算，四个选项中，只有B项满足要求，故选B项.【点睛】本题考查根据框图输出结果，填写判断条件，属于简单题.10某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A20B10C30D60【答案】B【解析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：；底面面积：三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.11 (2017兰州模拟)已知F1，F2为双曲线(a0，b0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|2|QF1|，则该双曲线的离心率为()AB2CD【答案】A【解析】如图，连接.由|，可设 则|；由，得| 由 得 点在以为直径的圆上， 由，得 解得，化简得 双曲线的离心率 故选A.12若关于的不等式的解集为，且内只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】不等式可化为，从而构造函数，求导可判断函数的单调性，进而画出函数的图象，利用数形结合即可求出的取值范围。【详解】不等式，即，令，过点，当时，当时，为增函数，当时，为减函数，则的最小值为，记，记，因为，所以当时，不等式在内只有一个整数解为，满足题意。故选D.【点睛】本题考查了不等式，通过构造函数并判断函数单调性，利用数形结合思想是解决本题的关键，属于难题。二、填空题13定义在上的偶函数满足：当时，则曲线在点处的切线的斜率为_【答案】【解析】依题意，当时，故.14设为等比数列的前项和，若，且，成等差数列，则 .【答案】.【解析】试题分析：，成等差数列，又等比数列，.【考点】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.15市扶贫工作组从4男3女共7名成员中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人工作小组下乡，要求工作组中至少有1名女同志，且队长和副队长不能都是女同志，共有_种安排方法【答案】348【解析】将参加工作小组女生的人数分3种情况讨论，每种情况先计算4人的选取方法，在计算队长、副队、普通队员的分配情况数目，由分类计数加法原理可得出结果.【详解】第一类：当选出1女3男时，有种，这4人作为队长和副队有种，故有种； 第二类：当选出2女2男时，有种，2个女成员当选队长和副队时，有 种，则这4人中队长和副队长不能都是女同志的有种，故有种；第三类：当选出3女1男时，有种，根据题意，这名男成员只能为队长或副队，则这4人中队长和副队长不能都是女同志的有种，故有种由分类计数加法原理得：工作组中至少有1名女同志，且队长和副队长不能都是女同志，共有种安排方法故答案为：【点睛】本题主要考查了分类计数加法原理等，属于中档题.16已知函数，若存在，使得，则实数的值为_【答案】【解析】函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y=ex=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0），则f（x0）=，然后求解a即可【详解】函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y=ex=，解得x=-1，所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，则f（x），根据题意，要使f（x0），则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a= 故答案为【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.（2）由Sbcsin Abcbc5，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.【考点】1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.18如图，已知中，平面，是的中点.（）若是的中点，求证：平面平面；（）若，求平面与平面所成的锐二面角的大小.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）由平面得，由得，所以平面，又E、F分别是AC、AD的中点，所以平面，所以平面平面；（）解法1：（坐标法）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，解得平面的发向量，而平面的法向量是=，通过空间向量的数量积运算求出法向量的夹角的余弦为，所以锐二面角的大小为；法2：（先作出二面角的平面角，再在三角形中求出角的大小）.延长,交的延长线于，连结， 过作于过作于，连结,则，易证为所求二面角的平面角，在中可求得，在中，可以解得，所以在中，即平面与平面所成的锐二面角为.试题解析：（）证明：平面，。又平面.E、F分别是AC、AD的中点，。 平面， 平面，平面平面。（）解法1：如图建立空间直角坐标系 则, 设平面， 则，取 平面的法向量是=， 所以，平面与平面所成的锐二面角为。法2：延长,交的延长线于，连结， 过作于则平面， 过作于，连结,则，即为所求二面角的平面角。 , 在中，可以解得，在中，即平面与平面所成的锐二面角为。【考点】1.面面垂直的判定，2.二面角的大小19我市为改善空气环境质量，控制大气污染，政府相应出台了多项改善环境的措施.其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染.从2018年起大力推广使用新能源汽车，鼓励市民如果需要购车，可优先考虑选用新能源汽车.政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴，同时为了地方经济发展，对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高.所以市民对购买使用本市企业生产的新能源汽车的满意度也相应有所提高.有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的户，其中有户购买使用本市企业生产的新能源汽车，对购买使用新能源汽车的满意度进行调研，满意度以打分的形式进行.满分分，将分数按照分成5组，得如下频率分布直方图. （1）若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有户满意度得分不少于分，把得分不少于分为满意.根据提供的条件数据，完成下面的列联表.满意不满意总计购本市企业生产的新能源汽车户数购外地企业生产的新能源汽车户数总计并判断是否有的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关？（2）以频率作为概率，政府对购买使用新能源汽车的补贴标准是：购买本市企业生产的每台补贴万元，购买外地企业生产的每台补贴万元.但本市本年度所有购买新能源汽车的补贴每台的期望值不超过万元.则购买外地产的新能源汽车每台最多补贴多少万元？附：，其中.【答案】（1）见解析；(2)购买外地产的新能源汽车每台最多补贴万元【解析】（1）利用频率分布直方图可求出列联表中数据，代入公式即可求出，然后与表中数据比较即可判断；(2)设购买新能源汽车的补贴每台为万元，则或，分别求出对应概率，即可得到对应的分布列，进而表示出期望的表达式，令，解不等式即可。【详解】（1）根据样本频率分布直方图可知：满意度得分不少于分的用户数：，又因为本市企业生产用户有户满意，所以外地企业生产的用户有户满意，得如下列联表：满意不满意总计购买本市企业生产的新能源汽车户数购买外地企业生产的新能源汽车户数总计则，故没有的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关。（2）设政府对购买新能源汽车的补贴每台为万元，则或，随机变量的分布列为：则，由，即，即，解得，又因为，故，所以，购买外地产的新能源汽车每台最多补贴万元。【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了独立性检验，考查了概率的计算、分布列及期望，考查了学生的数学应用意识、计算能力，属于中档题。20实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点，在轴上，抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点， 且，的面积为3.（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于，若，求直线的斜率.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）根据实轴长为且，的面积为3列方程求出c,即可求椭圆方程，再根据点A的坐标求抛物线方程；（2）设直线的方程为，分别联立椭圆和抛物线方程，根据根与系数的关系得和，再根据，联立条件即可求出. 试题解析：（1）设椭圆方程为，由题意知，解得，.椭圆的方程为.，代入椭圆的方程得，将点坐标代入得抛物线方程为.（2）设直线的方程为，由，得，化简得.联立直线与抛物线的方程得，.联立直线与椭圆的方程，得，. ，整理得：，所以直线的斜率为.点睛：求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用21已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，设，若对任意，恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)分类讨论参数的范围，利用导数求函数单调性即可；(2)利用导数证明函数与在区间的单调性，利用单调性化简题设条件，构造函数，由函数单调性的定义判断函数为减函数，得出在上恒成立，再次构造函数，分类讨论参数利用导数的范围，利用导数求函数单调性，结合在上恒成立，求出的范围.【详解】（1），令，当时，所以在上单调递增；当时，令，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增（2）因为，当时，在单调递减；，当时，在单调递减因为对任意，不妨设，则由两函数的单调性可得：，对任意恒成立令则对任意恒成立即在上单调递减即在上恒