【高中数学课件】导数的单调性.ppt

函数的单调性 课时1 天马行空官方博客 教学目标 1 知识目标 掌握用导数的符号判别函数增减性的方法 提高对导数与微分的学习意义的认识 2 能力目标 训练解题方法 培养解题能力 3 德育目标 能用普遍联系的观点看待事物 抓住引起事物变化的主要因素 4 美育目标 数学方法的广泛应用之美 数学内容的统一性 重点 利用导数的符号确定函数的单调区间 难点 利用导数的符号确定函数的单调区间 天马行空官方博客 单调性的概念 1 如果对于这个区间上的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 或单调递增函数 2 如果对于这个区间上的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 或单调递减函数 对于函数y f x 在某个区间上单调递增或单调递减的性质 叫做f x 在这个区间上的单调性 这个区间叫做f x 的单调区间 情境设置 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的前提下 比较f x1 与f x2 的大小 或者通过作图 借助图形的直观得到函数的单调区间 对于给定区间上的函数f x 在 0 和 0 上分别是减函数 但在定义域上不是减函数 在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 在 上是增函数 画出下列函数的图像 并根据图像指出每个函数的单调区间 1 在x 1的左边函数图像的单调性如何 知识探究 2 在x 1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 锐角 钝角 其斜率有什么特征 3 由导数的几何意义 你可以得到什么结论 4 在x 1的右边时 同时回答上述问题 我们已经知道 曲线y f x 的切线的斜率就是函数y f x 的导数 从函数y x2 2x 1的图象可以看到 在区间 1 内 切线的斜率为正 函数y f x 的值随着x的增大而增大 即y 0时 函数在区间 1 内为增函数 反之 在区间 1 上 y 0 函数递减 定理 一般地 函数y f x 在某个区间内可导 如果恒有 则是增函数 如果恒有 则是减函数 如果恒有 则是常数 注意 函数y f x 在某个区间内为常数 当且仅当f x 0在该区间内恒成立时 否则可能使f x 0的点只是 驻点 曲线在该点处的切线与x轴平行 实际上 若在某区间上有有限个点使f x 0 在其余的点恒有f x 0 则f x 仍为增函数 减函数的情况完全类似 例如 函数f x x3在 内 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 3x2 0 y f x 在 内为增函数 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小和作图并不很容易 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 知识提炼 例1 确定函数在哪个区间是减函数 在哪个区间上是增函数 解 1 求函数的定义域 函数f x 的定义域是 令2x 4 0 解得x 2 x 2 时 是增函数令2x 4 0 解得x 2 x 2 时 是减函数 练习 利用导数求函数单调区间的一般步骤 1 求函数f x 的定义域 2 求函数的导数f x 3 令f x 0以及f x 0 在其定义域内解不等式求自变量x的取值范围 即函数的单调区间 练一练 确定函数 在哪个区间是增函数 哪个区间是减函数 解 函数f x 的定义域是 令6x2 12x 0 解得x 2或x 0 当x 2 时 f x 是增函数 当x 0 时 f x 也是增函数令6x2 12x 0 解得 0 x 2 当x 0 2 时 f x 是减函数 首页 补充例题 知识点提炼 如果恒有 则f x 是常数 如果恒有 则f x 在是增函数 如果恒有 则f x 是减函数 定理 一般地 函数y f x 在某个区间内可导 f x 0 f x 0 f x 0 求函数单调区间的步骤 1 求函数的定义域 2 求函数的导数 3 令f x 0以及f x 0 在其定义域内解不等