2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第2课时直线与椭圆教案文新人教A版.docx

第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系(师生共研) 已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有且只有一个公共点；(2)没有公共点【解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(2)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程(3)当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离不论k为何值，直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A(0，1) B(0，7) C1，7) D(1，7解析：选C.直线ykx1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆1上或其内部，所以有1，得m1.又椭圆1的焦点在x轴上，所以m7.综上，1m7.弦长问题(师生共研) 已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且，求出直线l的方程【解】设直线l的方程为yxm，由题意知F1，F2的坐标分别为(1，0)，(1，0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2y21，由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d1，得|m|0，解得m27，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|x1x2| |AB|，解得m2b0)上，则椭圆C的方程为 ；若直线yx交椭圆C于M，N两点，则|MN| 解析：由题意可知，椭圆C：1(ab0)的焦点在x轴上，由点A(2，0)，B(0，1)在椭圆上，则a2，b1，所以椭圆的标准方程为y21.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y，整理得2x24，则x1，x2，y1，y2，则|MN|.答案：y21中点弦问题(师生共研) (一题多解)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得得0，所以0.因为x1x22，y1y22，kAB，所以0，即a22b2.又c3，所以a218，b29.所以椭圆E的方程为1.优解：由题意可得解得a218，b29，所以椭圆E的方程为1.【答案】D中点弦的重要结论AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)(1)斜率：k；(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.已知椭圆：x21，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆x21上，所以两式相减得xx0，即(x1x2)(x1x2)0，又弦AB被点P平分，所以x1x21，y1y21，将其代入上式得x1x20，即9，即直线AB的斜率为9，所以直线AB的方程为y9，即9xy50.椭圆与向量的综合问题(师生共研) (1)已知点F1，F2是椭圆C：y21的焦点，点M在椭圆C上且满足|2，O为坐标原点，则MF1F2的面积为()A. B. C2 D1(2)(2020石家庄质量检测(二)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D【解析】(1)|2|2，所以|c，所以MF1MF2，解得|MF1|MF2|2，所以三角形的面积S|MF1|MF2|1.(2)由题可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立得，所以(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又2，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2，可得，所以，所以e，故选B.【答案】(1)D(2)B解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系(2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题已知F1，F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，2，则椭圆的离心率的取值范围为()A. B. C. D解析：选C.根据题意不妨设B(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，因为2，所以b22c2，又因为b2a2c2，所以a23c2，所以0.核心素养系列18数学运算“设而不求”求解直线与椭圆的问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学 已知椭圆y21，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为 【解析】设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，则有y1， y1.两式作差，得(y2y1)(y2y1)0.因为x1x22x0，y1y22y0，kAB，代入后求得kAB.即2，所以x04y00.故所求的轨迹方程为x4y0，将x4y0代入y21得1，解得x，又中点在椭圆内，所以x0，x1x2，所以，即k2，所以k.答案：基础题组练1直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，) B(1，3)(3，)C(3，) D(0，3)(3，)解析：选B.由得(m3)x24mxm0.由0且m3及m0得m1且m3.2设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于()A B C D2解析：选A.由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c1，当k0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1，y2，解得k；同理可得当kb0)与直线yx3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D1解析：选B.将直线方程yx3代入C的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化简得a2b29.又由椭圆的离心率为，所以，则，解得a25，b24，所以椭圆的方程为1.5直线l过椭圆y21的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为()A. B C D解析：选B.由y21，得a22，b21，所以c2a2b2211，则c1，则左焦点F(1，0)由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为ykxk.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k21)x24k2x2k220.则PQ的中点M的横坐标为.因为FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以，解得k.6已知椭圆1(ab0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为 解析：因为椭圆1的右顶点为A(1，0)，所以b1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以1，a2，所以椭圆方程为x21.答案：x217已知椭圆y21与直线yxm交于A，B两点，且|AB|，则实数m的值为 解析：由消去y并整理，得3x24mx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由题意，得，解得m1.答案：18已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1，1)为中点的弦所在的直线方程是 解析：由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为ykxb，则有kb1，即b1k，即ykx(1k)，联立方程组则有(12k2)x2(4k4k2)x(2k24k2)0，所以1，解得k(满足0)，故b，所以yx，即x2y30.答案：x2y309已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，焦距为2，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的方程；(2)若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率解：(1)由题意可得2c2，即c，又e，解得a，b1，所以椭圆的方程为y21.(2)由直线l过点D(1，0)且垂直于x轴，设A(1，y1)，B(1，y1)，则AE的方程为y1(1y1)(x2)令x3，可得M(3，2y1)，所以直线BM的斜率kBM1.10设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b的值解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是 解析：设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，所以2c2a23c2，所以e.答案：3(2019高考天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立得整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率，在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以直线PB的斜率为或.4已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左，右两个焦点，|F1F2|4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足2.(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形ABF2F1的面积解：(1)由题意知2a6，2c4，所以a3，c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又F1(2，0)，F2(2，0)，所以(2x1，y1)，(