2010GCT串讲-大学数学讲义-扈志明(带答案).pdf

大学数学 Created by Hu zhiming 第 1 页 共 61 页 1 第四部分 一元函数微积分 第 1 章 函数 极限 连续 内容综述 1 函数 函数概念 函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 有界性 分段函数 隐函数 反函数 复 合函数 基本初等函数 常函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 初等函 数 2 极限 极限的概念 极限的性质 极限的唯一性 函数的局部有界性 极限的保序性 极限的四则运 算与复合函数的极限 两个重要极限 e xx x x xx 1 1 lim1 sin lim 0 无穷小量的概念与性质 与有界变量的乘积仍是无穷小量 无穷大量与无穷小量的关系等 无穷小量的比较 高阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 与等价无穷小代换 3 连续 连续概念 左右连续与连续的关系 间断点及其分类 第一类 左 右极限都存在的间断点 包 括可去型与跳跃型两种 第二类 左 右极限中至少有一个不存在的间断点 连续函数的四则运算 反函数的连续性与复合函数的连续性 初等函数的连续性 初等函数在其定义域区间上连续 闭区 间上连续函数的性质 有界性 最大 最小值定理 零点存在定理 介值定理 常见问题 1 函数 问题 1 求函数定义域的问题 问题 2 讨论函数简单性质的问题 单调性 奇偶性 周期性 问题 3 求函数值或求函数表达式的问题 2 极限 问题 1 讨论极限存在性的问题 问题 2 利用极限性质 保序性 处理的问题 问题 3 利用重要极限求极限的问题 问题 4 利用无穷小的比较 等价无穷小 处理的问题 3 连续 问题 1 讨论函数在一点连续性的问题 大学数学 Created by Hu zhiming 第 2 页 共 61 页 2 问题 2 找出函数间断点并对其分类的问题 问题 3 利用连续函数性质 最值存在性 介值存在定理 零点存在定理 处理的问题 典型例题 例 1 设函数yf x 的定义域为 0 2 a 0 则yf xaf xa 的定义域为 A 2 aa B 2 aa C 2 aa D 与a的取值有关 答 D 分析 本题主要考查了函数定义域的概念与集合的运算 根据题意可知 20 20 ax ax 即 2 2 axa axa 所以当10 a时 定义域为空集 故正确选项为 D 例 2 2005 设函数 f x的定义域是 0 1 则函数 1sin11cosg xxfxxfx 的定义域是 A 1x B 01x C 0 5x D 0 51x 分析 考虑 1cos10 1sin0 01 01 x x x x 得 0cos1 1sin0 11 x x x 解得15 0 x 即正确选项为 D 注 1x 也是 g x定义域中的点 例 3 设f x 为奇函数 g x 为偶函数 则下列函数中为奇函数的是 A f g x B g f x C xff D g g x 答 C 分析 本题主要考查了函数奇偶性的概念与复合函数的求值运算 由于f x 为奇函数 g x 为偶函数 所以 xgxgxfxf 从而 xfgxfgxfgxgfxgf xffxffxff 故 xff是奇函数 即正确选项为 C 大学数学 Created by Hu zhiming 第 3 页 共 61 页 3 注 作为选择题 若取 2 xxgxxf 则 2 xxgf 2 xxfg xxff 4 xxgg 显然只有xxff 是奇函数 这样处理就是特殊值带入法的思想 例 4 2008 16 设 0 0 1 x x x x xf 则有 A 2 xfxff B xfxff C f f xf x D f f xf x 所以 0 1 0 f xf x f f xf x f xf x 1 1 ln 10 1 2 1 1 2 xa x x x x x xf 若极限 lim 1 xf x 存在 则a等于 A 2 3 B 2 1 C 2 1 D 2 3 答 A 分析 本题主要考查了极限与左 右极限的关系和极限的简单运算 由于 2 1 1 1 lim 1 1 lim 1 2 1 1 lim lim 1 2 1 2 11 x x x x x xf xxxx aa x x xf xx 1 1 1 1ln lim lim 11 所以a 1 2 1 故 2 3 a 即正确选项为 A 例 10 当0 x时 1ln cos1 2 xx 是比 sin n xx高阶的无穷小 而 sin n xx是比1 tan xx e 高阶的无穷小 则正整数n为 A 1 B 2 C 3 D 4 答 B 分析 本题主要考查了无穷小比较的概念与常用的等价无穷小 当0 x时 1ln cos1 2 xx 等 价于 422 2 1 2 1 xxx sin n xx等 价于 1 n x 1 tan xx e等价于xxtan 从而等价于 2 x 根据题意可知412 n 即31 n 故2 n 所以正确选项为 B 例 11 0 x是 x xf 1 arctan 的 A 连续点 B 跳跃型间断点 C 可去型间断点 D 第二类间断点 答 B 分析 不题主要考查了函数间断点的概念及其分类 由于 2 arctanlim 1 arctanlim lim 00 t x xf t xx 大学数学 Created by Hu zhiming 第 6 页 共 61 页 6 2 arctanlim 1 arctanlim lim 00 t x xf t xx 所以0 x是 x xf 1 arctan 的跳跃型间断点 故正确选项为 B 例 12 已知函数 bx ea x xf 在 上连续 且0 lim xf x 那么ba 满足 A 0 0 ba C 0 0 ba 答 A 分析 本题主要考查了函数连续的概念和初等函数的连续性结论 由于 bx ea x xf 在 上连续 所以其分母 bx ea 在 上没有等于零的点 又 因 为 bx e0 所 以0 a 由0 lim xf x 可 知 bx x ealim 即 bx x lim 故0 D 在1x 某邻域 1 x 4 xf 分析 考查极限概念及其基本性质 根据极限定义 1 lim 4 x f x 存在不要求函数 f x在点 0 1x 有定义 因此 A B 都不一定成立 根据极限定义可知 若有 1 lim 4 x f x 则对任意的正数 在 1x 某邻域 1x 内 恒有4 4f x 在0 x处连续但不可导 则 的取值范围是 A 0 B 10 D A B C 均不正确 答 B 分析 本题主要考查了函数在一点连续 可导的概念 函数 xf在0 x处连续 说明0 1 coslim lim 00 x xxf xx 故必有0lim 0 x x 所以0 函数 xf在0 x处不可导 说明 x x x fxf xx 1 coslim 0 lim 1 00 不存在 故 01 即1 大学数学 Created by Hu zhiming 第 9 页 共 61 页 9 综上可知10 xf 且导数存在 则 1 ln lim af n af n n A 0 B C lna f D af a f 答 D 分析 本题是 2006 年的一道考题 主要考查了导数定义和复合函数的链导法则 因为 ln 1 ln 1 ln 1 ln limlim af af xf n af n af af n af n ax nn 所以正确选 项为 D 注 由于本题中的 xf是满足一定性质的一类函数 所以利用特殊值带入法应该有效 考虑到指数 函数与对数函数互为反函数 取 x exf 则 1 1 lnln 1 ln limlimlimlim 1 1 n nen e e n af n af n n n n a n a nn 这样就排除了选项 A B C 故正确选项为 D 大学数学 Created by Hu zhiming 第 10 页 共 61 页 10 例 4 2008 17 若函数 xf可导 且2 0 0 ff 则 h hf h 2 lim 2 0 A 0 B 1 C 22 D 4 分析 本题是微分学题 考查了连续概念和导数定义 2 00 0 2 2 limlim 2 0 lim 2 0 0 2 2 22 4 hh h fhf h f h hh f hf f h h ff 故正确选项为 注 特殊值代入法 取 2 1 f xx 则 0 0 2f f 且 222 000 2 2 1 22 limlim2lim4 hhh fhhhh hhh 故正确选项为 例 5 设函数 xgxf均在x 0处连续 且 0 2 0 g x x f xx x 则 A 0 lim 0 xg x 且 0 0 g B 0 lim 0 xg x 且 g 01 C 1 lim 0 xg x 且 g 00 D 0 lim 0 xg x 且 g 02 答 D 分析 本题主要考查了连续和导数的概念 无穷小的比较 注 本题可以取xxg2 得到正确选项 因为 xf在x 0处连续 所以2 lim lim 00 x xg xf xx 故0 lim 0 xg x 又因为 xg在x 0处连续 所以0 lim 0 0 xgg x 从而 2 lim 0 lim 0 00 x xg x gxg g xx 综上可知正确选项为 D 例 6 2003 如果 xf在 0 x处可导 000 xfxxfxf 则极限 大学数学 Created by Hu zhiming 第 11 页 共 61 页 11 x xdfxf x lim 00 0 A 等于 0 x f B 等于1 C 等于0 D 不存在 答 C 分析 本题是 2003 年的一个考题 考查了微分的函数可微的概念和微分的定义及可导与可微的关系 因为 xf在 0 x处可导 所以可微 即 0000 xoxdfxfxxfxf 所以0 lim lim 0 00 0 x xo x xdfxf xx 故正确选项为 C 注 如果当年的考生掌握了特殊值带入法 本题就变得十分简单了 取xxf 则xxf 0 xxxfxdf 00 所以0 lim 00 0 x xdfxf x 例 7 若 xf为可导的偶函数 则曲线 xfy 在其上任意一点 yx和点 yx 处的切线斜率 A 彼此相等 B 互为相反数 C 互为倒数 D A B C 均不对 答 B 分析 本题主要考查了导函数的奇偶性与原来函数奇偶性的关系及导数的几何意义 因为若 xf为偶函数 所以 x f 是奇函数 从而 xfxf 即曲线 xfy 在其上 任意一点 yx和点 yx 处的切线斜率绝对值相等 符号相反 故正确选项为 B 注 取 2 xxf 则 xf为可导的偶函数 且xxf2 所以xxf2 xxf2 故 正确选项为 B 例 8 若抛物线yax 2 与yx ln相切 则a等于 A 1 B e2 1 C 2 1 e D 2e 答 B 分析 本题主要考查了曲线相切的概念及导数的几何意义 大学数学 Created by Hu zhiming 第 12 页 共 61 页 12 两条曲线相切 则切点是两条曲线的公共点 且两条曲线在切点处的切线斜率相等 设 0 x是切 点的横坐标 则 1 2 ln 0 0 0 2 0 x ax xax 故 2 1 ln 0 x 即ex 0 从而 e x a 2 1 2 1 2 0 所以正确选项为 B 例 9 2004 如图 xgxf是两个逐段线性的连续函数 设 xgfxu 则 1 u 的值为 A 4 3 B 4 3 C 12 1 D 12 1 答 A 分析 主要考查了函数的几何标识 导数的几何意义 及符合函数的链导法则 根据复合函数的链导法则 1 1 1 ggfu 由图可以看出 3 20 06 1 3 1 gg 4 1 26 43 3 1 fgf 所以 4 3 1 1 1 ggfu 故正确选项为 A 例10 2007 设 1 lntanln 22 x y 则 2 y B A 1 B 1 C 2 D 2 8 16 分析 考查导数计算 复合函数求导公式 2 11 sec 2 2 tan 2 x y x 2 11 sec1 24 2 tan 4 y y 1 2 3 4 5678 x 6 f x g x 大学数学 Created by Hu zhiming 第 13 页 共 61 页 13 例 11 2009 20 若可导函数 f x满足 2 fxfx 且 0 1f 则在点0 x 的三阶导数 0 f A 6 B 4 C 4 D 6 分析 本题是微积分中导数运算部分的问题 考查了简单复合函数的求导方法 因为 2 fxfx 所以 2 fxf x fx 2 2 2 fxfxf x fx 由 0 1f 得 0 1 f 0 2 f 0 6 f 正确选项为D 例 12 设函数 1 1 x x fy满足xxfarctan 则 2 x dx dy 等于 A 2arctan B 3 2 C 3 2 D 3 答 B 分析 本题主要考查了复合函数的链导法则及特殊角的三角函数值 因为xxfarctan 所以 3 2 3arctan2 1 2 3 1 1 1 1 22 2 2 xx x f x x x x f dx dy x 即正确选项为 B 例 13 曲线xxyxy ln sin在点 1 0 处的切线方程为 A 1 xy B 1 xy C 1 xy D 1 xy 答 A 分析 本题考查了隐函数的求导法 导数的几何意义及直线方程 是一道简单综合题 在方程xxyxy ln sin两端关于x求导 将y看成x的函数 得 1 1 cos xy y xyyxy 将1 0 yx代入 得 1 0 y 故所求的切线是过点 1 0 斜率为1的直线 方程为 xy 1 即1 xy 故正确选项为 A 例 14 设 xu ey xu具有二阶导数 则 2 2 dx yd 大学数学 Created by Hu zhiming 第 14 页 共 61 页 14 A xu e B xu e u x C xu e xuxu D xu e 2 xuxu 答 D 分析 本题主要考查了简单复合函数二阶导数的求法 根据复合函数的链导法则得 xue dx dy xu 2 2 2 xuexue dx yd xuxu 故正确选项为 D 第 3 章 导数应用 内容综述 1 极值与极值点的概念 费马定理 可导极值点导数为零 2 罗尔定理 若 xf在 ba上连续 在 ba内可导 且 bfaf 则存在 ba 使得 0 f 也就是说 当曲线的两个端点在一条水平线上时 曲线至少有一条水平的切线 3 拉格朗日中值定理 若 xf在 ba上连续 在 ba内可导 则存在 ba 使得 abfafbf 4 洛必达法则 当函数 xgxf在同一个极限过程中同是无穷小量或同是无穷大量时 一般地 有 lim lim 00 xg xf xg xf xxxx 5 单调性与一阶导数的关系 若 x f 在 ba上大于零 则 xf在 ba上单增 若 x f 在 ba 上小于零 则 xf在 ba上单减 6 凹凸性与二阶导数的关系 若 x f 在 ba上大于零 则 xf在 ba上下凸 若 x f 在 ba 上小于零 则 xf在 ba上上凸 7 渐近线的求法 若Axf x lim或Axf x lim 则直线Ay 是曲线 xfy 在 x 或 x时的水平渐近线 若 lim 0 xf xx 或 lim 0 xf xx 则直线 0 xx 是曲线 xfy 的铅直渐近线 常见问题 问题 1 直接利用费马定理 罗尔定理或拉格朗日中值定理处理的问题 问题 2 判断函数单调性和求函数极值的问题 问题 3 证明函数不等式的问题 大学数学 Created by Hu zhiming 第 15 页 共 61 页 15 问题 4 讨论方程实根个数的问题 问题 5 求函数最大 最小值的问题 问题 6 判断函数的凹凸性和求拐点的问题 问题 7 利用洛必达法则求不定式极限的问题 问题 8 求曲线的水平或铅直渐近线的问题 典型例题 例 1 2005 若 xf的二阶导数连续 且1 lim xf x 则对任意常数a必有 limxfaxf x A a B 1 C 0 D a f a 答 A 分析 本题是 2005 年的一道考题 主要考查了微分中值定理 根据微分中值定理可知 存在介于x 和ax 之间的 使得 afxfaxf 由于1 lim xf x 所以aafxfaxf xx lim lim 故正确选项为 A 注 本题也可利用特殊值带入法求解 取 x xf 2 1 1 则1 lim xf x 又xxxf 所以 a xax a a xxaxaxxfaxf x xx lim lim lim 例 2 2008 18 函数 xf在 1 上具有连续导数 且0 lim xf x 则 A xf在 1 上有界 B limxf x 存在 C 2 limxfxf x 存在 D 0 1 lim xfxf x 分析 本题是微分学题 考查了微分中值定理 根据拉格朗日中值定理得 lim 1 lim 0 xx f xf xf 故正确选项为 大学数学 Created by Hu zhiming 第 16 页 共 61 页 16 注 特殊值代入法与排除法 取 1 2 fx x 则lim 0 x fx 且 f xx 易知选项 不成立 又lim 2 lim 2 lim 2 xxx x fxf xxx xx 即选项 也不成 立 故正确选项为 例 3 2003 设 x dtttxf 0 2 1 则 xf的极值点的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答 B 分析 主要考查了变限定积分函数的导数公式和判断函数极值的一般方法 因 为 1 2 xxxf 所 以0 1 2 xxxf的 点 只 有 两 个1 0 xx 由 于 1 2 xxxf在0 x两侧同号 在1 x两侧异号 所以0 x不是极值点 1 x是极值点 故 正确选项为 B 例 4 2004 如下不等式成立的是 A 在 0 3 区间上 3ln 3lnxx C 在 0 区间上 3ln 3lnxx D 在 0 区间上 3ln 3lnxx x x x x xf 又0 0 f 所 以在 0 3 区间上 有0 0 故正确选项为 B 例 5 2003 方程xxxxcossin 2 的实根个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答 B 分析 本题是 2003 年的一道考题 主要考查了讨论方程实根个数的一般方法 记xxxxxfcossin 2 则 cos2 sincossin2 xxxxxxxxf 所以当 大学数学 Created by Hu zhiming 第 17 页 共 61 页 17 0 x时 0 x f 故01 0 a 则在 0 a上方程0 4 1 4 220 22 dt ta dtta x a x 根的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答 B 分析 本题是一元微积分题 主要考查变限定积分的性质和连续函数的零点存在定理 记dt ta dttaxf x a x 220 22 4 1 4 因为 0 4 1 4 22 22 xa xaxf 且 04 0 4 1 0 0 22 0 22 当0 x 时总有20 xf成立 则参数k的取值 是 A 32 B 64 C 72 D 96 分析 本题是微分学题 考查了求函数最大 最小值的一般方法 大学数学 Created by Hu zhiming 第 18 页 共 61 页 18 由 23 3f xxkx 得 5 3 2 k fxx x 令 5 3 2 0 k fxx x 得唯一极小值点满足 2 0 3 0 2 k x x 所以最小值 232 0000 3520f xxkxx 解得 0 2x 所以 55 0 22 264kx 故 正确选项为 例 9 已知点 3 1 是曲线 23 bxaxy 的拐点 则 A 2 9 2 3 ba B 2 9 2 3 ba C 2 9 2 3 ba D 2 9 2 3 ba 答 A 分析 本题主要考查了拐点的必要条件和充分条件 由点 3 1 在曲线上和拐点处的二阶导数为零 得 026 3 ba ba 解得 2 9 2 3 ba 由于 1 9xy 所以当 1 x时 0 y 1 x时 0 xfxf 则 xf A 在点 0 x处取得极大值 B 在点 0 x处取得极小值 C 在点 0 x的某邻域内单调增加 D 在点 0 x的某邻域内单调减少 答 A 分析 本题考查了驻点是极值点的充分条件 根据题意 在点 0 x处有0 0 x f 0 4 00 则 A x0是 fx 的极大值点 B x0是f x 的极大值点 C x0是f x 的极小值点 D x0是f x 的拐点 答 D 分析 取 3 xxf 则 xf满足条件0 0 0 0 0 fff 易知0 x是 3 xxf 的 拐点 例 15 下图是函数 xf的导函数 xfy 的图像 那么函数 xf有 11234 x 0 5 0 5 1 1 5 2 y A 两个极值点 三个拐点 B 两个极值点 两个拐点 C 三个极值点 三个拐点 D 三个极值点 两个拐点 答 A 分析 本题考查了判断函数极值点和拐点的充分条件 注意到只有当一点两侧的一阶导数异号时 此点才是函数的极值点 只有当一点两侧的一阶导 数的单调性不同时 此点才是函数的拐点 由此从图上可以看出 2 1 xx分别是函数的极大值 点和极小值点 函数的三个拐点一个是3 x 另外两个分别介于1 2之间和3 2之间 综上可知正确选项为 A 例 16 设 xf具有二阶连续导数 且1 1 lim 0 1 1 x xf f x 则 A 1 f是 xf的一个极大值 B 1 f是 xf的一个极小值 C 1 x是函数 xf的一个拐点 D 无法判断 答 A 分析 本题主要考查了极限的保序性质和判断一个点是否是函数极值点或拐点的充分条件 大学数学 Created by Hu zhiming 第 21 页 共 61 页 21 由01 1 lim 1 x xf x 可知在1 x两侧0 x f 所以当1 fxf 函 数 xf单增 当1 x时 0 1 a 则定积分dx x x I a 0 1 1 与dxxI a 0 2 1ln 的大小关系是 A 21 II D 与a的取值有关 答 A 分析 本题主要考查了定积分的比较定理和证明函数不等式的一般方法 令 1ln 1 x x x xf 则 0 0 1 2 xfx x x xf 从而 21 II 所以 sin g tgt 从而 22 sin xx g t dtgt dt 0 2 x 正确选项为A 例 4 如果函数 xf在区间 1 0 上连续 且adxxf 1 0 则 1 0 1 dxxf x A a 2 1 B a C a2 B 2 a 答 C 分析 本题考查了定积分的换元积分法 因为aduufxdxfdxxf x xu 2 2 2 1 1 0 1 0 1 0 所以正确选项为 C 注 特殊值代入法 例 5 2003 设 0 sin cosdxxI 则 A 1 I B 0 I C 10 I D 0 I 答 D 分析 主要考查了定积分的换元积分法和定积分的性质 令xtcos 则dt t dx 2 1 1 从而 1 1 2 0 1 sin sin cosdt t t dxxI 由于 2 1 sin t t 是奇函数 所以0 1 sin 1 1 2 dt t t 故正确选项为 D 注 本题也可作如下变换 令 2 xt 则 2 2 2 2 2 2 sin sin sinsin 2 sin cos sin cos 0 dttdttdttdxxI 大学数学 Created by Hu zhiming 第 27 页 共 61 页 27 由于 sin sint是奇函数 所以0 sin sin 2 2 dtt 例 6 2004 设 xf为连续函数 且1sin sin 0 xdxxxf 则 0 cos sin xdxxxxf A 0 B 1 C 1 D 答 C 分析 主要考查了定积分的换元积分法和定积分的性质 因为 0 sin sin xdxxxf 0 cos sin xdxxxxf 0 sin sin 0 00 duufxxdxxf 且1sin sin 0 xdxxxf 所以1cos sin 0 xdxxxxf 故正确选项为 C 注 特殊值代入法 例7 2007 设函数 f x可导 且 01f lnfxx 则 1f A A 1 2e B 1 1 e C 1 1 e D 1 e 分析 考查微积分基本公式及简单定积分的计算 由 lnfxx 利用变量置换lntx 得 t fte 所以 111 1 000 1 0 1 tt fff t dte dtee 再由 01f 求出 11 1 0 12ffee 例 8 2008 21 若e x 是 xf的一个原函数 则 2 2 1 1 ln fx dx x A 4 1 B 1 C 4 1 D 1 分析 本题是积分学题 考查了原函数概念和牛顿 莱布尼兹公式 由于 1 xx x f xee e 所以 ln 11 ln x fx ex 从而 2 1 22 232 11 111 1111 ln 2424 fx dxdx xxx 故正确选项为 大学数学 Created by Hu zhiming 第 28 页 共 61 页 28 例 9 2008 19 当0 x时 函数 xf可导 有非负的反函数 xg 且恒等式 2 1 1 f x g t dtx 成立 则函数 xf A 12 x B 12 x C 1 2 x D 2 x 分析 本题是积分学题 考查了变限定积分求导 反函数概念和定积分性质 由 2 1 1 f x g t dtx 得 2fx g f xx 又 g f xx 所 以 2fx 即 2f xxC 又 由 2 1 1 f x g t dtx 知 1 2 1 110 f g t dt 即 1 1f 所 以1C 故 21f xx 所以正确选项为 注 本题也可以利用选项验证法求得正确选项 若 21f xx 则 1 1 2 g xx 所以 21 1 21 222 11 11 1 1 1 24 xf xx g t dttdttxx 若 21f xx 则 1 1 2 g xx 所以 21 1 21 22 11 11 1 1 1 24 xf xx g t dttdttx 故正确选项为 例10 2009 21 若连续函数 f x满足 0 ln2 x uf xu dux 则 1 0 f x dx A 1 2 B 0 C 1 2 D 1 分析 本题是微积分中定积分部分的问题 考查了定积分的换元积分法与变限定积分函数的求导法 0 000 x u t xxx x F xuf xu duxt f tdtxf t dttf t dt 00 xx F xf t dtxf xxf xf t dt 所以 0 1 2 x f t dt x 从而 1 0 1 2 f t dt 正确选项为A 例 11 2004 过点 sin pp作曲线xysin 的切线 设该曲线与切线及y轴所围成的面积为 1 S 曲线与直线px 及x轴所围成的面积为 2 S 则 大学数学 Created by Hu zhiming 第 29 页 共 61 页 29 A 3 1 lim 21 2 0 SS S p B 2 1 lim 21 2 0 SS S p C 3 2 lim 21 2 0 SS S p D 1lim 21 2 0 SS S p 答 D 分析 本题是 2004 年的一道考题 主要考查了切线方程 利用定积 分表示图形面积 洛必达法则等 曲线xysin 过点 sin pp的切线方程为 ppxpycos sin 根据题意可知 1coscos 2 1 sin sincos sin 2 0 1 pppppdxxppxpS p pxdxS p cos1sin 0 2 所以1 sin 2 1 sin sin lim cos 2 1 sin cos1 limlim 2020 21 2 0 ppp p pppp p SS S ppp 故正确选项为 D 例 12 设平面区域D由0 1 1 y x yAxx围成 AF表示区域的面积 AG表示D绕 x旋转一周所成旋转体的体积 则 A lim limAGAF AA B 1 lim lim AGAF AA C lim limAGAF AA D 2 lim lim AGAF AA 答 C 分析 本题考查了定积分的几何应用 根据题意 Adx x AF A ln 1 1 A dx x AG A 1 2 1 所以 limAF A limAG A 故正确选项为 C 例 13 2005 设连续函数 yf x 在 0 a内严格单调递增 且 00f f aa 若 大学数学 Created by Hu zhiming 第 30 页 共 61 页 30 g x是 f x的反函数 则 0 a f xg xdx A 22 faga B 2 fa C 0 2 a f x dx D 0 2 a g x dx 答 B 分析 主要考查了反函数的概念 定积分的几何意义和定积分的换元积分法与分部积分法 解法 1 如图 根据定积分的几何意义 a dxxf 0 表示的是图中区域 1 D的面积 aaf dxxgdyyg 0 0 表示的图中区域 2 D的面积 二者之和正好是边长为aaf 的正方形面积 2 af 故正确选项为 B 解法 2 令 tfx 则 0 2 00 00 0 0 0 aaa aaaf f a dxxfafdttfaafdttfttf dttf tdttftfgdxxgdxxg a 即 2 0 afdxxgxf a 解法 3 由于本题中的 xf也只是满足一定条件的一类函数 我们利用特殊值带入法肯定能得 到正确选项 取 2 1 x a xf 则 yf x 在 0 a内严格单调递增 且 00f f aa 这时axxg 所以 3 2 3 11 222 0 22 0 afaaadxaxx a dxxgxf aa 例14 2007 下图中的三条曲线分别是 1 f x 2 1x x f t dt 3 3 1 3 x x f t dt 的图形 按此顺序 它们与图中所标示 123 y xyxy x的对应关系是 D A 123 yxyxyx a 1 D 2 D af 大学数学 Created by Hu zhiming 第 31 页 共 61 页 31 B 132 yxyxyx C 312 yxyxyx D 321 yxyxyx 分 析 考 查 定 积 分 的 概 念 及 性 质 因 为 定 积 分 1 b a f x dx ba 表示函数在区间上的平均值 而一个函数通过移动平均之后 其相应曲线的起伏变 化会变小 也就是曲线被抹平滑 而且平均的区间越长 抹平滑的效果越好 而该题中三个函数中的两个用积分表示的函数 正是在二个长度不同区间上的滑动平均值 11 1 1 xx xx f t dtf t dt xx 33 11 3 3 xx xx f t dtf t dt xx 因为起伏变化最大 的是 3 y x 其次是 2 yx 起伏最小的是 1 y x 所以解答的次序是 321 yxyxyx 附录 一元微积分内容总结 一 两类概念 1 反映函数局部性质的概念 极限 连续 可导 导数 可微 微分 极值 点 等 2 反映函数整体性质的概念 有界性 单调性 奇偶性 周期性 凹凸性 最值 原函数 定积 分等 二 三种运算 1 极限运算 四则运算 重要极限 等价无穷小代换 无穷大与无穷小的关系 导数定义 洛必达 法则等 2 求导运算 定义 基本导数公式 导数的四则运算 复合函数的链导法则 变限定积分函数的导 数公式 3 积分运算 1 不定积分运算 基本积分公式 换元积分法 分部积分法 2 定积分运算 定义与性质 几何意义 牛 莱公式 换元积分法 分部积分法 三 几个应用 1 单调性 极值 最值问题 不等式 方程的根 2 凹凸性 拐点问题 3 平面图形的面积问题 大学数学 Created by Hu zhiming 第 32 页 共 61 页 32 第五部分 线性代数 第 1 章 行列式 内容综述 1 行列式的概念 1 二阶行列式的定义 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 2 三阶行列式的定义 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 333231 232221 131211 aa aa a aa aa a aa aa a aaa aaa aaa 3 余子式与代数余子式 在n阶行列式中 划去元素 ij a所在的第i行第j列 剩余元素按原有位 置构成的1 n阶行列式 称为 ij a的余子式 记为 ij M 令 ij ji ij MA 1 称 ij A为 ij a的代数余 子式 5 n阶行列式的定义 nn nnnn n n AaAaAa aaa aaa aaa 1112121111 21 22221 11211 2 行列式的性质 1 转置 转置以后行列式的值不变 此性质说明 凡是对行成立的性质 对列也成立 2 行行互换 任意两行互换 行列式的值变号 如果某两行相同 则行列式的值为零 3 行因子 行列式中如果某行元素有公因子 可以将公因子提到行列式外 如果某行全为零 则行列式的值为零 如果某两行对应元素成比例 则行列式的值为零 4 按行拆开 333231 232221 131211 333231 232221 131211 333231 232322222121 131211 aaa bbb aaa aaa aaa aaa aaa bababa aaa 5 一行的倍数加到另一行 行列式的值不变 3 行列式展开性质 行列式的任意一行 列 元素与各自的代数余子式乘积之和等于行列式的值 行列式的任意一行 列 元素与另一行 列 元素的代数余子式乘积之和等于零 大学数学 Created by Hu zhiming 第 33 页 共 61 页 33 常见问题 问题 1 利用行列式的定义求行列式的值 问题 2 利用行列式的性质求行列式的值或将行列式变形 问题 3 利用行列式按行 列 展开求行列式的值 注 利用矩阵运算与行列式的关系及特征值与行列式的关系求行列式的值也是常见的一类考题 典型例题 例 1 计算 4111 1411 1141 1114 D A 0 B 27 C 189 D 256 答 C 分析 本题主要考查了特殊行列式的求值问题 因为18937 3000 0300 0030 1111 7 4111 1411 1141 7777 4111 1411 1141 1114 3 D 所以正确选项为 C 例 2 已知 2 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 则 13231333 12221232 11211131 23 23 23 aaaa aaaa aaaa 的值等于 A 6 B 12 C 6 D 12 答 D 分析 本题主要考查了行列式的常用性质 12266320 23 23 23 3 3 3 23 23 23 333231 232221 131211 332313 322212 312111 132333 122232 112131 131333 121232 111131 13231333 12221232 11211131 aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaaa aaaa aaaa 故正确选项为 D 大学数学 Created by Hu zhiming 第 34 页 共 61 页 34 例 3 2004 设 0 333231 232221 131211 M aaa aaa aaa 则行列式 232221 333231 131211 222 222 222 aaa aaa aaa A M8 B M2 C M2 D M8 答 A 分析 本题是 2004 年的一道考题 主要考查了行列式的常用性质 M aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa 8 1 2 2 222 222 222 333231 232221 131211 3 232221 333231 131211 3 232221 333231 131211 即正确选项为 A 例4 2009 不恒为零的函数 111 222 333 axbxcx f xaxbxcx axbxcx A 没有零点 B 至多有1个零点 C 恰有2个零点 D 恰有3个零点 分析 本题是线性代数中行列式部分的问题 考查了行列式的性质 11111111 22222222 33333333 axbxcxaxbaca f xaxbxcxaxbaca axbxcxaxbaca 111111111 222222222 333333333 1 1 1 abacabaca abacaxbaca abacabaca 所以 f x至多有一个零点 正确选项为B 例 5 已知行列式 3111 1202 2210 0121 D 24232221 AAAA是其第 2 行各元素对应的代数余子式 那么 24232221 AAAA 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 答 B 分析 本题主要考查了代数余子式的性质及行列式按行展开定理 大学数学 Created by Hu zhiming 第 35 页 共 61 页 35 由于第 2 行各元素对应的代数余子式与第 2 行的元素无关 所以 3111 1202 1111 0121 与 3111 1202 2210 0121 第 2 行各元素对应的代数余子式相同 从而 0 4000 3 1 000 1030 1111 3111 1202 1111 0121 24232221 AAAA 故正确选项为 B 例 6 2003 行列式 xx x x xx 10 020 111 212 展开式中 4 x的系数是 A 2 B 2 C 1 D 1 答 A 分析 本题是 2003 年的一道考题 主要考查了行列式的概念 根据题意 按第一列展开得 43 2 2 02 11 21 10 020 111 212 xxx x x xx x xx x x xx 所以 4 x的系数是2 故正确选项为 A 例 7 2005 设cba 是方程042 3 xx的三个根 则行列式 bac acb cba 的值等于 A 1 B 0 C 1 D 2 答 B 分析 本题主要考查了 3 次方程根的概念 及特殊行列式的求值问题 根据题意可知 大学数学 Created by Hu zhiming 第 36 页 共 61 页 36 abcxcabcabxcbaxcxbxaxxx 42 233 所以0 cba 从而 0 bac acb cbacbacba bac acb cba 故正确选项为 B 例 8 2007 行列式 101 011 110 101 x x x x 展开式中的常数项为 D A 4 B 2 C 1 D 0 分析 x x x x 101 011 110 101 的常数项是它在0 x时值 即 0101 0101 1010 1010 由于此行列式的第一行与第二 行相同 故其值为0 解法 2 将题中的行列式按第一列展开 去掉系数是x的项 得 01 11 101 10 11 101 101 011 110 101 x x x x x x x x 而 x x 10 11 101 的常数项为011 01 11 101 x x的常数项也为0 所以 x x x x 101 011 110 101 的常数项是0 例9 2008 若线性方程组 0 0 0 11 211 11 z y x a a 有无穷多解 则 a A 1 或 4 B 1 或 4 C 1 或 4 D 1 或 4 分析 本题是线性代数题 考查了齐次方程组有非零解的条件和简单行列式求值 方程组 110 1120 110 ax y az 有无穷多解 即 大学数学 Created by Hu zhiming 第 37 页 共 61 页 37 2 11 11234 1 4 0 11 a aaaa a 所以1a 或4a 故正确选项为 C 注 选项验证法 若1a 则 11111111 112112021 11111022 a a 满秩 与条件矛盾 若4a 则 11114111 112112022 11141055 a a 秩为2 满足条件 故正确选项为 C 第 2 章 矩阵 内容综述 1 矩阵的概念 nm 矩阵 零矩阵 负矩阵 同型阵 矩阵相等 对角阵 数量阵 单位阵 三 角阵 对称阵等 2 矩阵的运算 1 加法 mnmm n n mnmm n n bbb bbb bbb aaa aaa aaa 21 22221 11211 21 22221 11211 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 矩阵加法满足交换律 结合律 2 数乘 mnmm n n mnmm n n kakaka kakaka kakaka aaa aaa aaa k 21 22221 11211 21 22221 11211 矩阵的数乘运算满足 AA AAA BABA 3 乘法 mnmm n n knkk n n mkmm k k ccc ccc ccc bbb bbb bbb aaa aaa aaa 21 22221 11211 21 22221 11211 21 22221 11211 大学数学 Created by Hu zhiming 第 38 页 共 61 页 38 其中 kjikjijijiij babababac 332211 矩阵的乘法运算满足结合律 左 右 乘分配 律 及 BABAAB AAE nmm AEA nnm 等 应特别注意矩阵乘法不满足交 换律和消去律 4 转置 mnnn m m T mnmm n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 22212 12111 21 22221 11211 转置运算满足AA TT TTT BABA TT AA TTT ABAB 等 5 方阵的行列式 如AAT AA n BAAB 等 3 逆矩阵 1 定义 EAAAA 11 2 可逆的充要条件 0 A 3 可 逆 矩 阵 的 性 质 AA 11 0 1 11 AA 111 ABAB TT AA 11 等 4 伴随矩阵 nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 满足EAAAAA 4 矩阵的初等变换 1 矩阵的初等行 列 变换 交换两行 列 用一个非零常数乘某一行 列 将某行 列 的 k倍加到另一行 列 上去 2 利用初等行变换求逆矩阵 1 AEEA 5 矩阵的秩 1 定义 在nm 矩阵A中 任取k行k列 位于这k行k列交叉处的 2 k个元素按原有次序组成 一个k阶行列式 称为矩阵A的一个k阶子式 若矩阵A中有某个r阶子式不为零 而所有1 r阶 子式全为零 则称矩阵A的秩为r 对于n阶方阵A 如果nAr 则称A是满秩方阵 矩阵 2 性质 大学数学 Created by Hu zhiming 第 39 页 共 61 页 39 A A满秩0 A 00 AAr min nmAr nm B 对矩阵施行初等变换 不改变矩阵的秩 C T ArAr 0 kArkAr D ArABr BrABr E BrArBAr F