2009年全国高考文科数学试题及答案-福建卷.pdf

2009 福建数学试题 文史类 第 I 卷 选择题 共 60 分 2009 福建数学试题 文史类 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 若集合 0 3Ax xBx x 则AB 等于 A 0 x x B 03 xx C 4 x x D R 解析 本题考查的是集合的基本运算 属于容易题 解法 1 利用数轴可得容易得答案 B 解法 2 验证法 去 X 1 验证 由交集的定义 可知元素 1 在 A 中 也在集合 B 中 故选 B 2 下列函数中 与函数 1 y x 有相同定义域的是 A lnf xx B 1 f x x C f xx D x f xe 解析 由 1 y x 可得定义域是0 lnxf xx 的定义域0 x 1 f x x 的定义域是x 0 f xx 的定义域是 x xR f xe 定义域是xR 故选 A 3 一个容量 100 的样本 其数据的分组与各组的频数如下表 组别 0 10 20 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在 10 40 上的频率为 A 0 13 B 0 39 C 0 52 D 0 64 解析解析 由题意可知频数在 10 40的有 13 24 15 52 由频率 频数 总数可得 0 52 故选 C 4 若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2 则a等于 A 2 B 3 C 3 2 D 1 解析解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b 3 而离心率e a 解得 a 1 或 a 3 参 照选项知而应选 D 5 如右图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体积为 1 2 则该集合体的俯视图可以 是 解析解析 解法 1 由题意可知当俯视图是 A 时 即每个视图是变边长为 1 的正方形 那么此几何 体是立方体 显然体积是 1 注意到题目体积是 1 2 知其是立方体的一半 可知选 C 解法 2 当俯视图是 A 时 正方体的体积是 1 当俯视图是 B 时 该几何体是圆柱 底面积 是 2 1 424 S 高为 1 则体积是 4 当俯视是 C 时 该几何是直三棱柱 故体 积是 11 1 1 1 22 V 当俯视图是 D 时 该几何是圆柱切割而成 其体积是 2 1 11 44 V 故选 C 6 阅读图 6 所示的程序框图 运行相应的程序 输出的结果是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析解析当1 2nS 代入程序中运行第一次是1S 然后赋值此时 2n 返回运行第二次可得 11 1 1 2 S 然后赋值3n 再 返回运行第三次可得 1 2 1 1 2 S 然后赋值4n 判断可知此时 2S 故输出4n 故选 D 7 已知锐角ABC 的面积为3 3 4 3BCCA 则角C的大小为 A 75 B 60 B 45 D 30 解析解析 由正弦定理得 113 sinC3 34 3 sinCsinC 222 SBC CA 注意到 其是锐角三角形 故 C 60 选 B 8 定义在 R 上的偶函数 f x的部分图像如右图所示 则在 2 0 上 下列函数中与 f x 的单调性不同的是 A 2 1yx B 1yx C 3 21 0 1 0 xx y xx D 0 x x exo y ex 解析解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 故可知求在 2 0 上单调递减 注意到要与 f x的单调性不同 故所求的函数在 2 0 上应单调递增 而函数 2 1yx 在 1 上递减 函数1yx 在 0 时单调递减 函数 0 1 0 12 3 xx xx y在 0 上单调递减 理由如下 y 3x 2 0 x 0 故函数单调递增 显然符合题意 而函数 0 0 xe xe y x x 有 y x e 0 x 0 故其在 0 上单调递减 不符合题意 综上选 C 9 在平面直角坐标系中 若不等式组 10 10 10 xy x axy 为常数 所表示的平面区域内的 面积等于 2 则a的值为 A 5 B 1 C 2 D 3 解析解析 如图可得黄色即为满足010101 yaxyxx的可行域 而与的 直线恒过 0 1 故看作直线绕点 0 1 旋转 当 a 5 时 则可 行域不是一个封闭区域 当 a 1 时 面积是 1 a 2 时 面积是 2 3 当 a 3 时 面积恰好为 2 故选 D 10 设 m n是平面 内的两条不同直线 1 2 l l是平面 内的两条相交 直线 则 的一个充分而不必要条件是 A 1 ml 且 B 12 mll且n C mn 且 D 2 mnl 且 解析解析 要得到 必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行 若两个 平面平行 则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面 对于选项 A 不是同一平面的两 直线 显既不充分也不必要 对于选项B 由于 1 l与 2 l时相交直线 而且由于 1 l m可得 2 l 故可得 充分性成立 而 不一定能得到 1 l m 它们也可以异面 故必要性不 成立 故选 B 对于选项 C 由于 m n 不一定的相交直线 故是必要非充分条件 对于选项 D 由 2 ln可转化为 C 故不符合题意 综上选 B 11 若函数 f x的零点与 422 x g xx 的零点之差的绝对值不超过 0 25 则 f x 可以是 A 41f xx B 2 1 f xx C 1 x f xe D 1 2 f xIn x 解析 解析 41f xx 的零点为 x 4 1 2 1 f xx 的零点为 x 1 1 x f xe 的 零点为 x 0 1 2 f xIn x 的零点为 x 2 3 现在我们来估算 422 x g xx 的零 点 因为 g 0 1 g 2 1 1 所以 g x 的零点 x 0 2 1 又函数 f x的零点与 422 x g xx 的零点之差的绝对值不超过 0 25 只有 41f xx 的零点适合 故 选 A 12 设 a b c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满足 a与 b不共线 a c a c 则 b c 的值一定等于 A 以 a b为邻边的平行四边形的面积 B 以 b c为两边的三角形面积 C a b为两边的三角形面积 D 以 b c为邻边的平行四边形的面积 解析解析 假设 a与 b的夹角为 b c b c cos b a cos 90 0 b a sin 即为以 a b为邻边的平行四边形 的面积 故选 A 第 卷 非选择题 共 90 分 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在答题卡的相应位置 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在答题卡的相应位置 13 复数 2 i1 i的实部是 1 解析解析 2 i1 i 1 I 所以实部是 1 14 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点 B 则劣弧AB 的长度小于 1 的概率为 解析 解析 如图可设1AB 则1AB 根据几何概率可知其整体事件是 其周长3 则其概率是 2 3 15 若曲线 2 f xaxInx 存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 解析 解析 由题意该函数的定义域0 x 由 1 2fxax x 因为存在垂直于y轴的切 线 故此时斜率为0 问题转化为0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存在零点 解法 1 图像法 再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点 当0a 不符合 题意 当0a 时 如图 1 数形结合可得显然没有交点 当0a 如图 2 此时正好有一个 交点 故有0a 应填 0 或是 0a a 解法 2 分离变量法 上述也可等价于方程 1 20ax x 在 0 内有解 显然可得 2 1 0 2 a x 16 五位同学围成一圈依序循环报数 规定 第一位同学首次报出的数为 1 第二位同学首次报出的数也为 1 之后每位同学所报出 的数都是前两位同学所报出的数之和 若报出的是为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 当第 30 个数被报出时 五位 同学拍手的总次数为 解析 解析 这样得到的数列这是历史上著名的数列 叫斐波那契数列 寻找规律是解决问题的 根本 否则 费时费力 首先求出这个数列的每一项除以 3 所得余数的变化规律 再求所求 就比较简单了 这个数列的变化规律是 从第三个数开始递增 且是前两项之和 那么有 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 分别除以 3 得余数分别是 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 由此可见余数的变化规律是按 1 1 2 0 2 2 1 0 循环 周期是 8 在这一个周期内第四个数和第八个数都是 3 的倍数 所以在 三个周期内共有 6 个报出的数是三的倍数 后面 6 个报出的数中余数是 1 1 2 0 2 2 只有一个是 3 的倍数 故 3 的倍数总共有 7 个 也就是说拍手的总次数为 7 次 17 本小题满分 12 分 等比数列 n a中 已知 14 2 16aa 求数列 n a的通项公式 若 35 a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项 试求数列 n b的通项公式及前n 项和 n S 解 设 n a的公比为q 由已知得 3 162q 解得2q 由 I 得 2 8a 5 32a 则 3 8b 5 32b 设 n b的公差为d 则有 1 1 28 432 bd bd 解得 1 16 12 b d 从而16 12 1 1228 n bnn 所以数列 n b的前n项和 2 16 1228 622 2 n nn Snn 18 本小题满分 12 分 袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个 现一次有放回地随机摸取 3 次 每次摸取 一个球 试问 一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果 若摸到红球时得 2 分 摸到黑球时得 1 分 求 3 次摸球所得总分为 5 的概率 解 一共有 8 种不同的结果 列举如下 红 红 红 红 红 黑 红 黑 红 红 黑 黑 黑 红 红 黑 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 记 3 次摸球所得总分为 5 为事件 A 事件 A 包含的基本事件为 红 红 黑 红 黑 红 黑 红 红 事件 A 包含的基本事件数为 3 由 I 可知 基本事件总数为 8 所以事件 A 的概率为 3 8 P A 19 本小题满分 12 分 已知函数 sin f xx 其中0 2 若coscos sinsin0 44 求 的值 在 I 的条件下 若函数 f x的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 3 求函数 f x的解析式 并求最小正实数m 使得函数 f x的图像象左平移m个单位所对 应的函数是偶函数 解法一 I 由 3 coscossinsin0 44 得coscossinsin0 44 即cos 0 4 又 24 由 I 得 sin 4 f xx 依题意 23 T 又 2 T 故3 sin 3 4 f xx 函数 f x的图像向左平移m个单位后所对应的函数为 sin 3 4 g xxm g x是偶函数当且仅当3 42 mkkZ 即 312 k mkZ 从而 最小正实数 12 m 解法二 同解法一 由 I 得 sin 4 f xx 依题意 23 T 又 2 T 故3 sin 3 4 f xx 函数 f x的图像向左平移m个单位后所对应的函数为 sin 3 4 g xxm g x是偶函数当且仅当 gxg x 对xR 恒成立 亦即sin 33 sin 33 44 xmxm 对xR 恒成立 sin 3 cos 3 cos 3 sin 3 44 xmxm sin3 cos 3 cos3 sin 3 44 xmxm 即2sin3 cos 3 0 4 xm 对xR 恒成立 cos 3 0 4 m 故3 42 mkkZ 312 k mkZ 从而 最小正实数 12 m 20 本小题满分 12 分 如图 平行四边形ABCD中 60DAB 2 4ABAD 将CBD 沿BD折起 到EBD 的位置 使平面EDB 平面ABD 求证 ABDE 求三棱锥EABD 的侧面积 证明 在ABD 中 2 4 60ABADDAB 22 222 22cos2 3 BDABADABADDAB ABBDADABDE 又 平面EBD 平面ABD 平面EBD 平面 ABDBD AB 平面ABD AB 平面EBD DF 平面 EBDABDE 解 由 I 知 ABBD CDABCDBD 从而DED 在Rt DBE 中 2 3 2DBDEDCAB 1 2 3 2 ABE SDB DE 又AB 平面 EBD BE 平面 EBDABBE 1 4 4 2 ABE BEBCADSAB BE DEBD 平面EBD 平面ABDED 平面ABD 而AD 平面 1 4 2 ADE ABDEDADSAD DE 综上 三棱锥EABD 的侧面积 82 3S 21 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 3 f xxaxbx 且 1 0f 试用含a的代数式表示b 求 f x的单调区间 w w w k s 5 u c o m 令1a 设 函 数 f x在 1212 x x xx 处 取 得 极 值 记 点 1122 M xf xN xf x 证明 线段MN与曲线 f x存在异于M N的公共点 解法一 依题意 得 2 2fxxaxb 由 1 1 20fab 得21ba 由 得 32 1 21 3 f xxaxax 故 2 221 1 21 fxxaxaxxa 令 0fx 则1x 或1 2xa 当1a 时 121a 当x变化时 fx与 f x的变化情况如下表 x 1 2 a 2 1 a 1 fx f x 单调递增 单调递减 单调递增 由此得 函数 f x的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 由1a 时 121a 此时 0fx 恒成立 且仅在1x 处 0fx 故函数 f x的单调区间为 R 当1a 时 121a 同理可得函数 f x的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间为 1 1 2 a 综上 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 R 当1a 时 函数 f x的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间为 1 1 2 a 当1a 时 得 32 1 3 3 f xxxx 由 3 230fxxx 得 12 1 3xx 由 得 f x的单调增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数 f x在 12 1 3xx 处取得极值 故 5 1 3 9 3 MN 所以直线MN的方程为 8 1 3 yx 由 22 1 3 3 8 1 3 yxxx yx 得 32 330 xxx 令 32 33F xxxx 易得 0 30 2 30FF 而 F x的图像在 0 2 内是一条连续不断的曲线 故 F x在 0 2 内存在零点 0 x 这表明线段MN与曲线 f x有异于 M N的公共点 解法二 同解法一 同解法一 当1a 时 得 32 1 3 3 f xxxx x 由 2 230fxxx 得 12 1 3xx 由 得 f x的单调增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数 f x 在 12 1 3xx 处取得极值 故 5 1 3 9 3 MN 所以直线MN的方程为 8 1 3 yx 由 32 1 3 3 8 1 3 yxxx yx 得 32 330 xxx 解得 123 1 1 3xxx 12 3 312 11 3 511 9 33 xx x yyy 所以线段MN与曲线 f x有异于 M N的公共点 11 1 3 22 本小题满分 14 分 已 知 直 线220 xy 经 过 椭 圆 22 22 1 0 xy