2020届成都市石室中学高考一诊试卷数学（理科）（解析版）

2020年四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=xN|x1，B=x|x5，则AB=（）A. x|1x5B. x|x1C. 2，3，4D. 1，2，3，4，52. 已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC. D. -1-i3. 若等边ABC的边长为4，则=（）A. 8B. -8C. D. -84. 在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205. 若等比数列an满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. 2D. 6. 若实数a，b满足|a|b|，则（）A. eaebB. sinasinbC. D. 7. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1EAF，且直线D1E，AF异面B. D1EAF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8. 设函数，若f（x）在点（3，f（3）的切线与x轴平行，且在区间m-1，m+1上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m2B. m4C. 1m2D. 0m39. 国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D. 10. 函数f（x）=的图象大致为（）A. B. C. D. 11. 设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2C. 4D. 12. 设函数f（x）=cos|2x|+|sinx|，下述四个结论：f（x）是偶函数；f（x）的最小正周期为；f（x）的最小值为0；f（x）在0，2上有3个零点其中所有正确结论的编号是（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若等差数列an满足：a1=1，a2+a3=5，则an=_14. 今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为_15. 已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若=0，=，则=_16. 若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表： 消费次第第1次第2次第3次第4次5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表： 消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）18. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（）求sinB；（）若ABC的周长为8，求ABC的面积的取值范围19. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ADC=60，（）证明：平面CDD1平面ABCD；（）求二面角D1-AD-C的余弦值20. 设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）（）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由21. 设函数，（）证明：f（x）0；（）当时，不等式恒成立，求m的取值范围22. 在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B（）当=时，求直线l与曲线C的普通方程；（）若|MA|MB|=2|MA|-|MB|，其中M（，0），求直线l的倾斜角23. 已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|（）当a=1时，求不等式f（x）4的解集；（）当x1时，不等式f（x）3x+b成立，证明：a+b0答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A=xN|x1，B=x|x5，AB=xN|1x5=2，3，4故选：C利用交集定义直接求解本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】A【解析】解：由iz=1+i，得，故选：A把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.【答案】A【解析】解：如图，根据题意，=故选：A根据题意进行数量积的计算即可本题考查了向量数量积的计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题4.【答案】B【解析】解：（x-y）6的通项为，故（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为故选：B先求得（x-y）6的通项，进而求出展开式中x3y3的系数本题考查利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题5.【答案】B【解析】解：设等比数列an的公比为q，a1=1，a5=4a3，q2=4，解得q=2当q=2时，成立；当q=-2时，a1+a2+a3=1-2+（-2）2=37，不成立，舍去q=2故选：B利用等比数列的通项公式即可得出本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.【答案】C【解析】解：对于A，e-2e1，A错误；对于B：，B错误；对于C：为偶函数，且当x（0，+）时，单调递增，故C正确；对于D，反例a=2，b=-1，可得=0，=0，所以D不正确，故选：C利用反例判断A、B、D不正确，函数的单调性以及函数的极限判断C的正误即可本题考查没听到真假的判断与应用，考查指数函数三角函数，以及函数奇偶性、单调性的应用，是基本知识的考查7.【答案】A【解析】解：，如图，取点M为BC的中点，则AD1MF，故AEFD1共面，点E在面AEFD1面外，故直线D1E，AF异面故选：A作图，通过计算可知D1EAF，取点M为BC的中点，则AEFD1共面，显然点E不在面AEFD1内，由此直线D1E，AF异面本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题8.【答案】C【解析】解：，a=1，因为x0，所以当0x3时，f（x）0，即f（x）在（0，3上递减，所以，1m2故选：C求出导函数，利用切线的斜率，求出a，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题9.【答案】B【解析】解：根据题意，两人后4局的比赛输赢情况只能为：输赢赢赢，赢输赢赢，故P=+=，故选：B根据题意，后4局输赢情况只能为：输赢赢赢赢输赢赢，根据相互独立事件的概率乘法计算即可本题考查了相互独立事件的概率乘法，考查了分步乘法原理，主要考查分析解决问题的能力，属于中档题10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=，有ex-1-x0，则有x1，即函数的定义域为x|x1，设t=ex-1-x，其导数t=ex-1-1，易得在区间（-，1）上，t0，t=ex-1-x为减函数，在区间（1，+）上，t0，t=ex-1-x为增函数，则t=ex-1-x有最小值tx=1=e0-1=0，则有t0，对于f（x）=，必有f（x）0，则函数f（x）的定义域为x|x1且f（x）0，分析选项可得意D符合；故选：D根据题意，先分析函数的定义域，进而设t=ex-1-x，求出其导数，分析t的最小值，分析可得f（x）0，据此分析选项即可得答案本题考查函数的图象分析，注意分析函数值的符号，属于基础题11.【答案】C【解析】解：化圆C：x2+y2-2x-3=0为（x-1）2+y2=4，连接AC，BC，设CAB=（0），连接PC与AB交于点D，AC=BC，PAB是等边三角形，D是AB的中点，得PCAB，在圆C：（x-1）2+y2=4中，圆C的半径为2，|AB|=4cos，|CD|=2sin，在等边PAB中，|PD|=|AB|=，|PC|=|CD|+|PD|=4故选：C化圆的一般方程为标准方程，画出图形，设CAB=（0），连接PC与AB交于点D，把|PD|、|CD|用含有的代数式表示，再由三角函数求最值本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题12.【答案】B【解析】解：因为函数f（x）定义域为R，而且f（-x）=cos|2x|+|sinx|=f（x），所以f（x）是偶函数，正确；因为函数y=cos|2x|的最小正周期为，y=|sinx|的最小正周期为，所以f（x）的最小正周期为，正确；f（x）=cos|2x|+|sinx|=cos2x+|sinx|=1-2sin2x+|sinx|=-2（|sinx|-）2+，而|sinx|0，1，所以当|sinx|=1时，f（x）的最小值为0，正确；由上可知f（x）=0可得1-2sin2x+|sinx|=0，解得|sinx|=1或|sinx|=-（舍去）因此在0，2上只有x=或x=，所以不正确故选：B根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题13.【答案】n【解析】解：设等差数列an的公差为d，a1=1，a2+a3=5，2+3d=5，解得d=1则an=1+n-1=n故答案为：n利用等差数列的通项公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.【答案】0.4【解析】解：不买猪肉的30人，不买肉的10人，故买了猪肉的70人，猪肉和其它肉都买的30人，故只有买猪肉的40人，所以答案为0.4故答案为：0.4根据题意，利用集合思想，得到只有买猪肉的40人，即可算出答案本题主要考查集合元素关系的求解，根据条件建立方程是解决本题的关键15.【答案】1【解析】解：双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，BO=c=OF2，双曲线C：x2-=1的渐近线y=x，BOF2=60，BF2O为等边三角形，故BF2O=60，所以F2BOA，A为F1B的中点，即=1故答案为：1通过双曲线的渐近线的斜率，判断三角形的形状，然后转化求解的值即可本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题16.【答案】，1）2e，+）【解析】解：当a0时，不满足题意，当0a2时，要使函数函数f（x）恰有2个零点，即，当a=2时，满足题意，当a2时，a22a4，要使函数函数f（x）恰有2个零点，即e-a0所以ae，综上所述：实数a的取值范围是，1）2e，+）故答案为：，1）2e，+）分四种情况讨论当a0时，当0a2时，当a=2时，当a2时，图象使得符合函数f（x）有两个零点本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，估计一位会员至少消费两次的概率为（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为2000.95-150=40（元），公司这两次服务的平均利润为（元）（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为： X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=500.6+450.2+400.1+350.05+300.05=46.25（元）【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为2000.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】解：（1）且sin（A+C）=sinB，又，（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c），或（舍），即（当a=c时等号成立）综上，ABC的面积的取值范围为【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，D1ODC且又底面ABCD为边长为2的菱形，且ADC=60，AO=，又，D1OOA，又OA，DC平面ABCD，OADC=O，又D1O平面CDD1，平面CDD1平面ABCD（2）过O作直线OHAD于H，连接D1H，D1O平面ABCD，D1OAD，AD平面OHD1，ADHD1，D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又OD=1，ODA=60，【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1ODC，D1OOA，然后证明平面CDD1平面ABCD（2）过O作直线OHAD于H，连接D1H，说明D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20.【答案】解：（）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，0，可得：，=；（）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|GN|为定值，该定值为1【解析】（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题21.【答案】解：（）f（x）=-cosx在x0，上单调递增，f（x）-1，所以存在唯一x0（0，），f（x0）=0当x（0，x0），f（x）0，f（x）递减；当x（x0，），f（x）0，f（x）递增所以f（x）max=max=0，f（x）0，0x；（）g（x）=-sinx+m（x-），g（x）=-cosx+m，当m0时，g（x）0，则g（x）在0，上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意当-m0时，g（x）在x上单调递增g（0）=+m0，所以存在唯一x1（0，），g（x1）=0当x（0，x1），g（x）0，则g（x）递减；当x（x1，），g（x）0，则g（x）递增而g（0）=-m0，g（）=0，所以存在唯一x2，g（x2）=0，当x（0，x2），g（x）0，则g（x）递增；x，g（x）0，则g（x）递减要使g（x）恒成立，即，解得m，所以m0，当m-时，g（x）0，当x0，g（x）递减，又，g（x）0，所以g（x）在递增则g（x）g（）=与题意矛盾综上：m的取值范围