2012考研数学二真题及答案解析.pdf

1 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 答案 C 解析 解析 2 2 1 lim 1 x xx x 所以1x 为垂直的 2 2 lim1 1 x xx x 所以1y 为水平的 没有斜渐近线 故两条选C 2 设函数 2 1 2 xxnx f xeeen 其中n为正整数 则 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 答案 答案 C 解析 解析 222 2 1 22 1 2 xxnxxxnxxxnx fxe eeneeeneenen 所以 0 f 1 1 n n 3 设 an 0 n 1 2 Sn a1 a2 an 则数列 sn 有界是数列 an 收敛的 A 充分必要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 即非充分地非必要条件 答案 答案 A 解析 解析 由于0 n a 则 1 n n a 为正项级数 Sn a1 a2 an为正项级数 1 n n a 的前n 项和 正项级数前n项和有界与正向级数 1 n n a 收敛是充要条件 故选A 2 4 设 2k x k e Ie sinxdx k 1 2 3 则有 D A I1 I2 I3 B I2 I2 I3 C I1 I3 I1 D I1 I2 I3 答案 答案 D 解 析 解 析 2 sin k x k e Iexdx 看 为 以k为 自 变 量 的 函 数 则 可 知 2 sin0 0 k k Iekk 即可知 2 sin k x k e Iexdx 关于k在 0 上为单调增 函数 又由于 1 2 30 则 123 III 0 f x y y 0 f x1 y1 x2 y1 x2 y1 y1 C x1 x2 y1 y2 D x1 y2 答案 答案 D 解析 解析 0 f x y x 0 f x y y 表示函数 f x y 关于变量x是单调递增的 关于变 量 y 是单调递减的 因此 当 1212 xxyy必有 1122 f x yf xy 故选 D 6 设区域 D 由曲线 1 2 sin yxxy 围成 则 1 5 dxdyyx 2 2 DCBA 答案 答案 D 解析 解析 由二重积分的区域对称性 dyyxdxdxdyyx x 1 sin 5 2 2 5 11 7 设 1234 1234 0011 0 1 1 1 cccc 其中 1234 c c c c为任意常数 则下列向量组线性相关 3 的是 A 123 B 124 C 134 D 234 答案 答案 C 解析 解析 由于 1341 134 011 11 0110 11 c ccc 可知 134 线性相关 故选 C 8 设A为 3 阶 矩 阵 P为 3 阶 可 逆 矩 阵 且 1 1 1 2 P AP 123 P 1223 Q 则 1 Q AQ A 1 2 1 B 1 1 2 C 2 1 2 D 2 2 1 答案 答案 B 解析 解析 100 110 001 QP 则 11 100 110 001 QP 故 11 10010010011001 11011011011101 00100100120012 Q AQP AP 故选 B 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸分 请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上 9 设 yy x 是由方程 2 1 y xye 所确定的隐函数 则 dy dx 答案 答案 2 1 y x e 解析 解析 方程 2 1 y xye 两端对x求导 有2 y dydy xe dxdx 所以 2 1 y dyx dxe 10 计算 22222 111 lim 12 x n nnnn 4 答案 答案 4 解析 解析 原式 1 1 22 0 1 11 limarctan 14 1 n n i dx x nx i n 0 11 设 1 lnzfx y 其中函数 f u可微 则 2 zz xy xy 答案 答案 0 解析 解析 因为 2 11 zz ff xxyy 所以 2 0 zz xy xy 12 微分方程 2 3 0ydxxydy 满足初始条件 xy 1 1 的解为 答案 答案 2 xy 解析 解析 2 1 3 03 dx ydxxydyyx dyy 1 3 dx xy dyy 为一阶线性微分方程 所以 1 1 2 1 33 dy dy y y xey edyCy dyC y 3 1 yC y 又因为1y 时1x 解得0C 故 2 xy 13 曲线 2 0 yxx x 上曲率为 2 2 的点的坐标是 答案 答案 1 0 解析 将 解析 将21 2yxy 代入曲率计算公式 有 32 3 2 2 2 22 1 2 1 21 y K y x 整理有 2 21 1x 解得01x 或 又0 x 所以1x 这时0y 5 故该点坐标为 1 0 14 设A为 3 阶矩阵 3A A为A的伴随矩阵 若交换A的第一行与第二行得到矩阵B 则 BA 答案 答案 27 解析 解析 由于 12 BE A 故 121212 3BAE A AA EE 所以 3 1212 3 3 27 1 27BAEE 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 本题满分 10 分 已知函数 11 sin x f x xx 记 0 lim x af x 1 求a的值 2 若当0 x 时 f xa 是 k x的同阶无穷小 求k 解析 解析 1 2 000 11sin lim lim 1 lim11 sin xxx xx f x xxx 即1a 2 当0 x 时 由 11sin 1 sinsin xx f xaf x xxxx 又因为 当0 x 时 sinxx 与 3 1 6 x等价 故 1 6 f xax 即1k 16 本题满分 10 分 求 22 2 xy f x yxe 的极值 解析 解析 22 2 xy f x yxe 先求函数的驻点 0 0 xy fx yexfx yy 解得函数为驻点为 0e 又 01 00 01 xxxyyy AfeBfeCfe 所以 2 0 0BACA 和0 x时 22 2 0 20 2 120 x xt xxeedt 可知 0y 当0 x 时 22 2 0 20 2 120 x xt xxeedt 可知 0y 可知0 x 是 0y 唯一的解 同时 由上述讨论可知曲线dttfxfy x 0 22 在0 x 左右两边的凹凸性相反 可知 0 0点是曲线 dttfxfy x 0 22 唯一的拐点 20 本题满分 10 分 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 解析 解析 令 2 1 lncos1 12 xx f xxx x 可得 8 2 2 2 2 112 lnsin 11 1 12 lnsin 11 11 lnsin 11 xx fxxxx xx x xx xx xx xx xx xx i i 当01x 所以 2 2 1 sin0 1 x xx x i 故 0fx 而 00f 即得 2 1 lncos10 12 xx xx x 所以 2 1 lncos1 12 xx xx x 当10 x 所以 2 2 1 sin0 1 x xx x i 故 0fx 即得 2 1 lncos10 12 xx xx x 可知 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x nxxx nn 在区间 1 2 1 内有且仅有一个实根 2 记 1 中的实根为 n x 证明 n n x lim存在 并求此极限 解 析 解 析 1 由 题 意 得 令 1 1 nn f xxxx 则 1 0f 再 由 11 1 11 22 1 0 1 22 1 2 n n f 由零点定理得在 1 1 2 肯定有解 0 x 假设在此区间还有另外一根 1 x 所以 11 000 11 nnnn nnn xxxxxx 由归纳法得到 10 xx 即唯一性得证 2 假设根为 n x 即 1 10 nn nnnn f xxxx 所以 1 1 10 1 12 n nn nn n xx f xx x 9 由于 1 111 10 nn nnn xxx 可知 1 111 10 nn nnn xxx 由于 1 10 nn nnn xxx 可知 1nn xx 又由于 1 1 2 n x 也即 n x是单调的 则由单调有界收敛 定理可知 n x收敛 假设lim n n xa 可知 21 1axx 当n 时 1 1 lim lim110 lim 112 n nn nn nnn nn xxa f xx xa 得 22 本题满分 11 分 设 100 010 001 001 a a A a a 1 1 0 0 b 求A 已知线性方程组Axb 有无穷多解 求a 并求Axb 的通解 解析 解析 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a aaaa a a a 232 42 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 1001 0101 0010 0001 aaa aaa aaa aaaaaa a a a aaa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解 则有 4 10a 及 2 0aa 可知1a 此时 原线性方程组增广矩阵为 11001 01101 00110 00000 进一步化为行最简形得 10010 01011 00110 00000 10 可知导出组的基础解系为 1 1 1 1 非齐次方程的特解为 0 1 0 0 故其通解为 10 11 10 10 k 线性方程组Axb 存在 2 个不同的解 有 0A 即 2 11 010 1 1 0 11 A 得1 或 1 当1 时 1 2 3 111 0000 1111 xx x x 显然不符 故1 23 本题满分 11 分 三阶矩阵 101 011 10 A a T A为矩阵A的转置 已知 2 T r A A 且二次型 TT fx A Ax 1 求a 2 求二次型对应的二次型矩阵 并将二次型化为标准型 写出正交变换过程 解析 解析 1 由 2 T r A Ar A 可得 101 011101 10 aa a 2 1 1232 3 222 1231223 202 022 224 22444 TT