《多元函数微分学》练习题参考答案.pdf

1 多元微分学 P85 练习 1 设 cos 2 zyew x 而 3 xy 1 xz 求 dx dw 解 dwww dyw dz dxxy dxz dx 222 1 2cos sin 3 21 xx eyzeyzx x 2323 1 2cos 1 3 sin 1 21 x exxxxx x P86 练习 2 设函数 2 0 sin 1 xy t F x ydt t 则 2 2 0 2 x y F x 2011 解 2222 222222 sincos 1 2sin 1 1 FyxyFyxyx yxyxy y xx yxx y 故 2 2 0 2 4 x y F x P86 练习 3 设 22 yxfz 其中f有二阶导数 求 2 2 x z 2 2 y z 2006 解 22 zx f x xy 222 3222 22 2 zxy ff xxy xy 同理可求 222 22222 2 zyx ff yxyxy P87 练习 4 设 x y g y x xyfz 其中f有二阶连续偏导数 g有二阶导数 求 yx z 2 2000 解 根据复合函数求偏导公式 12 2 1 zy fyfg xyx 2 12 2 1111222122 22 2 111222 233 232 2 1 111 11 zy fyfg yxyyx xxy fy fxfff z x y xy fxyfffgg yyx xfgg yyyyxx x P87 练习 5 设函数 zf xy yg x 其中函数f具有二阶连续偏导数 函数 g x可 导且在1x 处取得极值 1 1g 求 2 1 1 x y z x y 2011 解 由题意 1 0 g 因为 12 z yfyg x f x 2 1111222122 z fy xfg x fg x fyg xxfg x f x y 所以 2 11121 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z fff x y P88 练习 6 设 xyyxyxfz 其中f具有二阶连续偏导数 求dz yx z 2 2009 解 123123 zz ffyfffxf xy 123123 zz dzdxdyffyfdxffxfdy xy 123 1112132122233313233 2 11132223333 1 1 1 ffyf y z x y fxy ffxy fxyf fffxfffxff f y ffx 3 P89 练习 7 设函数 zz x y 由方程0 x z x y F确定 其中F为可微函数 且 0 2 F 则 y z y x z x 2010 解 12 12 22 2 0 z xz yFzFyz x FF xxx xF 1 12 2 11 0 Fzz FF xxyy F 则 zz xyz xy P92 练习 8 设函数 f x具有二阶连续导数 且 0f x 0 0 f 则函数 ln zf xf y 在点 0 0 处取得极小值的一个充分条件是 A 0 1f 0 0 f B 0 1f 0 0 f C 0 1f 0 0 f D 0 1f 0 0 f 2011 解 ln zzfy fxf yf x xyf y 22 2 ln zzfy fxf yfx xx yf y 2 2 22 fy f yfyz f x yfy 在点 0 0 处 2222 2 2 222 0 ln 0 0 ln 0 zzzz ffff xx yxy 当 0 ln 0 0ff 且 2 0 ln 0 0ff 时 即 0 1f 0 0 f 时 ln zfxfy 在点 0 0 处取得极小值 故选 A 4 P93 练 习9 已 知 平 面 曲 线0 yxfL 其 中 yxf可 微 分 且 0 y fx y 00 yxA是曲线L外一个固定点 试证 如果点 B在曲线L上且是 L到A的最近或最远的点 则 0 0 y x f f y x 解 在L上任取一点 P x ydAP 则 22 00 dxxyy 约束条件 0f x y 考虑 222 00 dxxyy 在条件 0f x y 下的极值问题 作 22 00 Fxxyyf x y 则 0 0 2 0 2 0 xx yy Fxxfx y Fyyfx y AB取极值 B 为驻点 故有 0 0 0 0 2 0 2 0 x x y y xf xf yfyf P94 练习 10 某工厂要利用钢板做一个容积为定值V的无盖长方体水箱 问该水长 宽 高分别为多少时 所用材料最省 解 设该水箱的长 宽 高分别为 x y z 长方体水箱的表面积为S 由条件知 2 Sxyxzyz 而Vxyz 考虑 2 Sxyxzyz 在Vxyz 条件下的条件极值 作2 xyxzyzxyzFV 令 20 20 2 0 yzyz xzxz xyxy xyzV 得驻点为 333 1 2 2 2 2 VVV 故当水箱的长 宽 高分别为 333 1 2 2 2 2 VVV时 所用材料最省 5 P97 练习 11 设向量 2 xyyx 是某函数 yxfz 的梯度 其中 x 有连续 导数且 0 0 求 x 及 yxf 解 取 2 PxyQyx 若向量 2 xyyx 是某函数 yxfz 的梯度 则 有 QP xy 即 2 2 2 yxxyxxxxC 由 0 0 得 2 0 Cxx 且 2 zz xyyx xy 22 1 2 zx yC y 而 22 xxC z yy y y 知 C yC 所以 22 1 2 f x yx yC P98 练习 12 求曲线 3 2 tz ty tx 与平面42 zyx平行的切线方程 解 设切点为 0000 P xy z 0 P对应于 0 t 则切线向量 00 2 1 2 3stt 平面的法向量 1 2 1n 由题意知 0nsn s 即 2 00 1 430tt 解得 0 1t 或 0 1 3 t 0 1t 对应的切点为 0 1 1 1 P 1 2 3s 切线方程为 111 123 xyz 0 1 3 t 对应的切点为 0 111 39 27 P 2 1 1 3 3 s 切线方程为 111 3927 21 1 33 xyz 6 P101 练习 13 试证 抛物面1 22 1 yxz上任意点处的切平面与抛物面 22 2 yxz 所围成的立体体积与切点坐标无关 证明 设 0000 P xy z是 1 上的任意一点 1 在 0000 P xy z处的切平面 的方程为 000 222zx xy yz 由 22 000 222 zxy zx xy yz 消去z 得 22 00 1xxyy 注意 22 000 1zxy 2 与 所围成的立体在x