2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形能力测试 新人教A版必修5.doc

第一章 解三角形能力检测满分150分考试时间120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在abc中，a，a120，b1，则角b的大小为()a30b45c60d90【答案】a【解析】ab，则b为锐角，由正弦定理可得，可得sin b，b30.故选a2在abc中，a45，ac4，ab，那么cos b()abcd【答案】d【解析】bc2ac2ab22acabcos a1628cos 4510，bc，cos b.3设abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，若a60，b75，c8，则a()a4b4c4d4【答案】b【解析】由题意得c180ab45，又c8，故由正弦定理可得，即，a4.故选b4已知关于x的方程x2xcos acos b2sin20的两根之和等于两根之积的一半，则abc一定是()a直角三角形b钝角三角形c等腰三角形d等边三角形【答案】c【解析】由题意知cos acos bsin2，cos acos bcos 180(ab)cos(ab)(cos acos bsin asin b)，cos(ab)1.ab0，ab，abc为等腰三角形故选c5(2019年山西运城模拟)abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin a)，则a()abcd【答案】c【解析】由余弦定理得a2b2c22bccos a2b22b2cos a，所以2b2(1sin a)2b2(1cos a)，所以sin acos a，即tan a1.又0a，所以a.6已知abc中，b2c2a2且角a为三个内角中的最大角，则角a的取值范围是()abcd【答案】c【解析】在abc中，abc，b2c2a2且角a为三个内角中的最大角，cos a0，可得a，3a，则a.a.故选c7钝角三角形abc的面积是，ab1，bc，则ac()a5bc2d1【答案】b【解析】由题意可得abbcsin b，又ab1，bc，sin b，解得b45或b135.当b45时，由余弦定理可得ac1，此时acab1，bc，易得a90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去b135.由余弦定理可得ac.8在锐角abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，若b2asin b，则角a等于()a30b45c60d75【答案】a【解析】把b2asin b利用正弦定理化简得sin b2sin asin b，sin b0，sin a.又a为锐角，则a30.故选a9(2019年广西梧州校级月考)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：1.732)()a5.1 kmb5.6 kmc6.1 kmd6.6 km【答案】d【解析】因为ab1 000km，所以bcsin 30(km)所以航线离山顶的高度hsin 75sin(4530)11.4 km.所以山顶的海拔高度为1811.46.6(km)10在abc中，若b2，a120，三角形的面积s，则三角形外接圆的半径为()ab2c2d4【答案】b【解析】在abc中，b2，a120，三角形的面积sbcsin ac，c2b.故b(180a)30.再由正弦定理可得2r4，三角形外接圆的半径r2.故选b11如图，在abc中，已知点d在bc边上，adac，sin bac，ab3，ad3，则bd的长为()ab2cd2【答案】c【解析】adac，dac90，sin bacsin(bad90)cos bad.又ab3，ad3，bd2ab2ad22abadcos bad1892333，bd.故选c12(2019年广东广州综合测试)已知在abc中，b2a，acb的平分线cd把三角形分成面积比为43的两部分，则cos a()abcd【答案】d【解析】在adc中，由正弦定理得.同理，在bcd中，有.又sinadcsinbdc，sinacdsinbcd，所以acbc由正弦定理得sin bsin a又b2a，所以sin b2sin acos a，所以cos a.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中横线上)13在abc中，已知角a，b，c所对的边分别为a，b，c且c(acos bbcos a)b2，则_.【答案】【解析】在abc中，由c(acos bbcos a)b2，得acbcb2，化简可得2，.再利用正弦定理可得.14已知abc的周长为1且sin asin bsin c若abc的面积为sin c，则c_.【答案】60【解析】sin asin bsin c，abc.又abc1，c1，ab.又sabcabsin csin c，ab.cos c，c60.15在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c且b2c2bca20，则的值为_【答案】【解析】在abc中，b2c2bca20，即b2c2a2bc，cos a，即a120.利用正弦定理化简得.16(2019年湖北武汉模拟)如图，a，b是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于a点北偏东45，b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，则该救援船到达d点需要_小时【答案】1【解析】由题意知ab5(3)(海里)，dba906030，dab904545，adb180(4530)105.在dab中，由正弦定理得，db10(海里)又dbcdbaabc30(9060)60，bc20(海里)，在dbc中，由余弦定理得cd2bd2bc22bdbccosdbc3001 20021020900，cd30(海里)，则需要的时间t1(小时)，即该救援船到达d点需要1小时三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2017年新课标)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知sin(ac)8sin2 .(1)求cos b；(2)若ac6，abc的面积为2，求b.【解析】(1)abc，sin(ac)sin b又8sin284(1cos b)，sin b4(1cos b)，两边平方，整理，得17cos2b32cos b150，解得cos b或cos b1(舍去)(2)由cos b得sin b，sabcacsin bac2，则ac.由余弦定理得b2a2c22accos b(ac)22ac(1cos b)3624，b2.18(本小题满分12分)(2019年陕西宝鸡模拟)如图，在abc中，abc90，ab，bc1，p为abc内一点，bpc90.(1)若pb，求pa；(2)若apb150，求tanpba【解析】(1)由已知得pbc60，所以pba30.在pba中，由余弦定理得pa232cos 30.故pa.(2)设pba，由已知得pbsin .在pba中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanpba.19(本小题满分12分)如图，一船由西向东航行，在a处测得某岛m的方位角为，前进5 km后到达b处，测得岛m的方位角为.已知该岛周围3 km内有暗礁，现该船继续东行(1)若260，问该船有无触礁危险？(2)当与满足什么条件时，该船没有触礁的危险？【解析】(1)在abm中可知，abbm5，从而mc5sin 603，没有触礁危险(2)设cmx，则bm，amb，在abm中，由正弦定理得，即，解得x，所以当3时没有触礁危险20(本小题满分12分)在锐角abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对的边且a2csin a(1)确定角c的大小；(2)若c且abc的面积为，求ab的值【解析】(1)a2csin a，由正弦定理可得sin a2sin csin a又sin a0，sin c.c为锐角，c.(2)c，c且abc的面积为，absin ，化为ab6.由余弦定理可得()2a2b22abcos (ab)23ab，ab5.21(本小题满分12分)如图，在abc中，d为ab边上一点，dadc，已知b，bc1.(1)若abc是锐角三角形，dc，求角a的大小；(2)若bcd的面积为，求边ab的长【解析】(1)在bcd中，b，bc1，dc，由正弦定理得，解得sin bdc，则bdc或.若bdc，则bcd，由dadc可得aacd，此时acb，与abc是锐角三角形矛盾，不合题意；若bdc，则bcd，由dadc可得aacd，此时acb，满足题意综上所述，a.(2)由于b，bc1，bcd的面积为，得bcbdsin ，解得bd.由余弦定理得cd2bc2bd22bcbdcos 12，解得cd，则abadbdcdbd，边ab的长为.22(本小题满分12分)已知海岛b在海岛a的北偏东45方向上，a，b相距10海里，小船甲从海岛b以2海里/时的速度沿直线向海岛a移动，同时小船乙从海岛a出发沿北偏西15的方向也以2海里/时的速度移动(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由. 【解析】(1)设