北京海淀区2014高三一模数学试题参考答案(文科).pdf

海淀区高三年级第二学期期中练习海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案参考答案 数数 学学 文科 2014 4 阅卷须知阅卷须知 1 评分参考中所注分数 表示考生正确做到此步应得的累加分数 2 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 40 分分 1 B 2 B 3 C 4 C 5 A 6 D 7 C 8 B 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 6 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 30 分分 9 1 10 方案三 11 3 5 7 12 2 817f xxx 13 152 14 3 0 2 说明 两空的第一空 3 分 第二空 2 分 14 题的第二空若写成 0 2 不扣分 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 共共 80 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 演算步骤或证明过演算步骤或证明过 程程 15 解 sinsin 6663 f 1 分 sinsin 66 2 分 sinsin 66 3 分 2sin1 6 4 分 13 sinsincos 22 f xxxx 6 分 13 sincos 22 xx sin 3 x 8 分 因为 22 x 所以 5 636 x 10 分 所以 1 sin 1 23 x 12 分 所以 f x的取值范围是 1 1 2 13 分 16 解 答对题目数小于 9 道的人数为 55 人 记 答对题目数大于等于 9 道 为事件 A 55 10 45 100 P A 5 分 设答对题目数少于 8 道的司机为 A B C D E 其中 A B 为女司机 选出两人包 含 AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 共 10 种情况 至少有 1 名女驾驶员的 事件为 AB AC AD AE BC BD BE 共 7 种 记 随机选出的两人中至少有 1 名女驾驶员 为事件 M 则 7 0 7 10 P M 13 分 17 解 因为D M分别为 AC BD中点 所以DM EF 2 分 又 1 EFAEF 平面 1 DMAEF 平面 所以 1 DMAEF平面 4 分 因为 1 AEBD EF BD 且 1 AEEFE 所以 1 BDAEF 平面 7 分 又 11 AFAEF 平面 所以 1 BDAF 9 分 直线 1 AB与直线CD不能垂直 10 分 因为 1 ABDBCD 平面平面 1 ABDBCDBD 平面平面 EF BD EFCBD 平面 所以 1 EFABD 平面 12 分 因为 11 ABABD 平面 所以 1 ABEF 又因为 EFDM 所以 1 ABDM 假设 1 ABCD E D A1 CBFM 因为 1 ABDM CDDMD 所以 1 ABBCD 平面 13 分 所以 1 ABBD 这与 1 ABD 为锐角矛盾 所以直线 1 AB与直线CD不能垂直 14 分 18 解 定义域为 0 1 分 ln1fxx 2 分 令 0fx 得 1 e x 3 分 fx与 f x的情况如下 x 1 0 e 1 e 1 e fx 0 f x 极小值 5 分 所以 f x的单调减区间为 1 0 e 单调增区间为 1 e 6 分 证明 1 设 1 lng xx x 0 x 7 分 22 111 x g x xxx 8 分 g x与 g x的情况如下 x 0 1 1 1 fx 0 f x 极小值 所以 1 1g xg 即 1 ln1x x 在0 x 时恒成立 10 分 所以 当1k 时 1 ln xk x 所以ln1xxkx 即ln1xxkx 所以 当1k 时 有 1f xkx 13 分 证明 2 令 1 ln1g xf xkxxxkx 7 分 ln1g xxk 8 分 令 0g x 得 1 ekx 9 分 g x与 g x的情况如下 x 1 0 e k 1 ek 1 e k fx 0 f x 极小值 10 分 g x的最小值为 11 e 1 e kk g 11 分 当1k 时 1 e1 k 所以 1 1 e0 k 故 0g x 12 分 即当1k 时 1f xkx 13 分 19 解 证明 因为 A B在椭圆上 所以 22 11 22 22 24 24 xy xy 1 分 因为 A B关于点 1 0 M 对称 所以 1212 2 0 xxyy 2 分 将 2121 2 xx yy 代入 得 22 11 2 24xy 由 和 消 1 y解得 1 1x 4 分 所以 12 1xx 5 分 当直线AB不存在斜率时 0 2 0 2 AB 可得2 2 3ABMA ABM不是等边三角形 6 分 当直线AB存在斜率时 显然斜率不为 0 设直线AB 3ykx AB中点为 00 N xy 联立 22 24 3 xy ykx 消去y得 22 1 2 12140kxkx 7 分 222 1444 1 2 143256kkk 由0 得到 2 7 4 k 8 分 又 12 2 12 12 k xx k 12 2 14 1 2 x x k 所以 000 22 63 3 1212 k xykx kk 所以 22 63 1212 k N kk 10 分 假设 ABM为等边三角形 则有 MNAB 又因为 1 0 M 所以1 MN kk 即 2 2 3 12 1 6 1 12 k k k k 11 分 化简 2 2310kk 解得1 k或 1 2 k 12 分 这与 式矛盾 所以假设不成立 因此对于任意k不能使得 MNAB 故 ABM不能为等边三角形 14 分 20 解 有序整点列 123 0 2 3 0 5 2 AAA与 123 0 2 2 5 5 2 BBB互为正交点列 1 分 理由如下 由题设可知 1223 3 2 2 2 AAA A 1223 2 3 33 BBB B 因为 1212 0 A A B B 2323 0 A A B B 所以 12122323 AABBA AB B 所以整点列 123 0 2 3 0 5 2 AAA与 123 0 2 2 5 5 2 BBB互为正交点列 3 分 证明 由题意可得 122334 3 1 3 1 3 1 AAA AA A 设点列 1234 B B B B是点列 1234 A A A A的正交点列 则可设 121232343 1 3 1 3 1 3 B BB BB B 123 Z 因为 1144 与与AB AB相同 所以有 123 123 9 3 3 3 1 因为 123 Z 方程 不成立 所以有序整点列 1234 0 0 3 1 6 0 9 1 AAAA不存在正交点列 8 分 存在无正交点列的整点列 5 A 9 分 当5n 时 设 1 iiiiii AAa ba b Z其中 ii a b是一对互质整数 1 2 3 4i 若有序整点列 12345 B B B B B 是点列12345 A A A A A的正交点列 则 1 1 2 3 4 iiiii BBb ai 由 44 1i 1 11 iii ii AABB 得 44 11 44 1