2014年高考数学陕西卷理科第21题解法赏析.doc

2014年高考数学陕西卷理科21题:设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.（）解法1：当时，由递推式可知；当时， 所以是一个以为首项，1为公差的等差数列.则：, 综上所述：(西北工业大学附属中学 姚亚卫 许德刚 王全生;陕西省商洛中学 屈惠鹏;陕西省兴平市西郊高级中学 张海林;陕西师范大学附属中学 张文俊;陕西省咸阳市乾县第二中学 张丽萍 王朋;陕西省三原南郊中学 贺立新;陕西省渭南市合阳中学 韩黎波;陕西省咸阳市教育局教研室 刘聪胜;西安市航天中学 王鹏飞;陕西理工学院子校 任强;陕西蓝田城关中学 靳小平)()解法1：已知恒成立，即恒成立.当时式显然恒成立，此时；当时，式可化为，设，则，,令，则与同号.因为，所以函数在上为增函数，所以,所以，所以函数在上为增函数，所以（洛必达法则），所以此时.因为式对恒成立，所以所求的范围求交集即可, 所以实数的取值范围是.(陕西省咸阳市乾县杨汉中学 汪仁林 姚利娟;(陕西省商洛中学 屈惠鹏;陕西省渭南市合阳中学 韩黎波;陕西省咸阳市教育局教研室 刘聪胜;陕西省武功县5702中学 薛博谋;黑龙江密山市第一中学 朱红岩;陕西省咸阳市乾县杨汉中学;陕西省礼泉一中 张克 张国耀 杜成珍;陕西省西安市高新第三中学 吕二动;西安市航天中学 王鹏飞;河南省开封市尉氏三中 窦国栋;西北工业大学附属中学 许德刚 焦小龙)解法2：在恒成立，即恒成立。设， ，若时，当时，函数在上是增函数，成立。若时，存在，使得=0，即。当时，函数在上是减函数,又，所以在,，故不成立。 综上(朱红岩 黑龙江密山市第一中学；陕西省礼泉一中 张克 张国耀 杜成珍；陕西省靖边中学 徐永强；陕西理工学院子校任强)解法3：当时，恒成立，即，设，则， ，在上是下凸函数，大致图像如图所示，又，即在处的切线的斜率为1，则时，时，恒成立。 （西北工业大学附属中学 盛洪斌 许德刚;西安市曲江第一中学 申平）（）解法1：比较结果为:，此不等式等价于，证明如下：设，因，构造函数，由(仅时等号成立）得在是单调递增的且，令，则有，即，又，故即对成立（西北工业大学 王全生）解法2：由题设知 要比较与的大小实质上只需要比较与的大小设则所以在（）中取则有令，则，所以因此即： 故数列为单调递增数列.所以： 即： 所以：即： (西北工业大学附属中学 姚亚卫；浙江省桐乡第二中学 范广法）解法3：利用逐项比较法证明。 =+=n-(+),=n-ln(n+1)=n-ln(2)=n-( ln2+ ln+ ln+ ln)需要比较与ln 的大小。由（2）知ln(1+x)，令x=得ln，故。(陕西省商洛中学 屈惠鹏)解法4：由题设知，问题转化为比较与的大小我们猜想：，从而先将不等式左边看成数列的前项和，则；再将右边看成数列的前项和，则当，当时，适合上式因此，（）则（）（）而在（）中取，可得（）由数列的前项和公式，得（）（湖北省黄石市第一中学 杨瑞强）解法5:设，则可看着是坐标平面内以区间为底边高为的矩形的面积如图所示，由图知这个矩形的面积之