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179 计算机图形学习题解答 1 显示设备 1 考虑三个不同的光栅系统 分辨率依次为640 480 1280 1024 2560 2048 欲存储每个象 素12位 这些系统各需要多大的帧缓冲器 字节数 如果每个像素存储24位 这些系统各需要 多少存储容量 解 640 480 12 8460800 字节 2 假设RGB光栅系统的设计采用8 10 英寸的屏幕 每个方向的分辨率为每英寸100个象素 如果每个像素6位 存放在帧缓冲器中 则帧缓冲器需要多大存储容量 字节数 解 8 100 10 100 6 8 600000 字节 3 如果每秒能传输 5 10位 每个像素有12位 则装入640 480 的帧缓冲器需要多长的时间 如 果每个像素有24位 则装入1280 1024 的帧缓冲器需要多长的时间 解 5 640 480 12 1036 8640 秒 4 假设计算机字长为32位 传输速率为1 MIP 每秒百万条指令 300 DPI 每英寸点数 的激光打印机 页面大小为8 5 11 英寸 要填满帧缓冲器需要多长时间 解 6 8 5 300 11 300 1 32 100 2630 秒 5 考虑分辨率为640 480 和1280 1024 的两个光栅系统 若显示控制器刷新屏幕的速率为每秒 60帧 各个系统每秒钟应访问为多少像素 各个系统每个像素的访问时间是多少 解 每秒钟访问像素数 640 480 60 18432000 每个像素的访问时间 8 1 18432000 5 4253 10 秒 6 假设视频监视器的显示区域为12 9 6 英寸 如果分辨率是1280 1024 纵横比为1 屏幕每 点的直径是多少 解 12 1280 0 0094 9 6 1024 0 0094 所以屏幕每点的直径是0 0094英寸 7 一光栅系统的分辨率为1280 1024 刷新速率为每秒60帧 在屏幕刷新期间 横向扫描每行 像素 需要开销多长时间 解 1 60 1024 1 6276 10 5秒 8 考虑一个非隔行光栅监视器 分辨率为n m m个扫描行 每个扫描行n个像素 刷新速 率为每秒r帧 水平回扫时间为 horiz t 垂直回扫时间为 vert t 电子束回扫的时间占每帧总刷新时间 的多少 解 horizvert 1 m ttr 9 考虑一个非隔行光栅监视器 分辨率为1280 1024 刷新速率为每秒60帧 水平回扫时间为 5 s 垂直回扫时间为500 s 电子束回扫的时间占每帧总刷新时间的多少 解 1024 5 10 6 500 10 6 1 60 0 3372 180 10 假设某全彩色 每像素24位 RGB光栅系统有512 512 的帧缓冲器 可用多少种不同的彩 色选择 强度级 在任一时刻可显示多少不同的彩色 解 强度等级 224种 每一时刻最多显示 min 224 512 512 512 512 11 分辨率为1024 768的高质量彩色系统至少需要多少MB帧缓冲器 解 1024 768 24 8 1024 1024 2 25 MB 2 基本图元 1 使用DDA画线算法 画这样一条线段 端点为 20 10 和 30 18 解 00665 110776 221887 33299 443 554 10 8 0 8 20 1026 14 8 15 21 10 8 1127 15 6 16 22 11 6 1228 16 4 16 23 12 4 1229 24 13 2 13 25 14 xym xyxyym xyymxyym xyymxyym xyymxyy xyym xyym 8 10109 17 2 17 30 18 m xyym 2 使用Bresenham画线算法或中点画线算法 画这样一条线段 端点为 20 10和 30 18 解 1 中点画线算法 2 Bresenham画线算法 0 1 2 3 4 5 8 10 216 22 4 0 20 10 26 1 21 11 22 2 2 22 12 22 2 3 23 12 214 4 24 13 22 10 5 25 14 22 6 6 26 15 22 2 7 27 16 kkk abaab kx yp a b pab pab pa pab pab pab p 6 7 8 22 2 8 28 16 214 9 29 17 22 10 10 30 18 ab pa pab 0 1 2 3 4 5 0 20 10 1 21 11 2 22 12 3 23 12 10 4 24 13 5 25 14 6 26 15 7 27 1 8216224 26 222 222 214 2210 226 222 6 kkk xyyyx yx pyx py kx x py pyx pyx pyx p yp 6 7 8 8 28 16 9 29 17 222 214 2210 10 30 18 yx py pyx 3 使用中点圆算法 画这样一个圆在第一象限中的部分 圆心为 0 0 半径10r 解 01 12 23 344 45 566 0 0 10 10 0 19 1 1 10 10 1 216 2 2 10 10 2 211 3 3 10 10 3 21 6 4 4 9 9 4 21 23 5 5 9 9 5 21 8 6 6 8 8 6 21 25 7 7 7 kkkkk k x yxyp r px px px pxy px pxy 181 4 使用中点椭圆算法 画这样一个椭圆在第一象限中的部分 中心为 0 0 长半径8a 短 半径6b 解 区域一 上半部分 区域二 下半部分 22 222 22 01 22 12 22 23 222 344 22 45 22 0 0 8 0 1 4 1 1 8 727682224 16 2 2 8 1447682 3 3 8 2167682 4 4 7 28864022 5 5 7 360 00711 44 208 108 286402 6 6 8 6 43 kkkkk k x yb xa yp ba ba pb xb pb xb pb xb pb xba y pb xb 222 566 244251222 7 7 6 5 88 0438 5 4 pb xba y 22222 2 00 222 011 22 12 8 2 0 7 3 1 2 1 23 122 22 361 8 1 297 3 8 0 kkk k x yp b xa ya b pa yab x pa ya 5 已知多边形ABCDEFG如图1所示 请分别使用奇 偶性规则和非零环绕数规则鉴别点P和Q在多边形内部还 是在多边形外部 请写出鉴别过程 解 1 奇偶性规则 P 从P点出发向右引一条射线 不通过多边形顶点 此时 边AG和DE与该射线相交 交点数为2 所以P 在多边形的外部 Q 从Q点出发向右引一条射线 不通过多边形顶点 此时 边AB和DE与该射线相交 交点数为2 所以Q在多边形的外部 2 非零环绕数规则 按照ABCDEFG的顺序规定多边形各边的方向 P 从P点出发向右引一条射线 不通过多边形顶点 规定环绕数HP 0 当P点沿射线方 向移动时 边GA从右到左穿过该射线 HP HP 1 1 边DE从左到右穿过该射线 HP HP 1 0 所以P在多边形的外部 Q 从Q点出发向右引一条射线 不通过多边形顶点 规定环绕数HQ 0 当Q点沿射线方 向移动时 边AB从左到右穿过该射线 HQ HQ 1 1 边DE从左到右穿过该射线 HQ HQ 1 2 所以Q在多边形的内部 6 已知线段的端点为 10 15 和 16 20 请使用Bresenham画线算法或中点画线算法绘制该线 段 要求有完整的计算过程 解 1 中点画线算法 2 Bresenham画线算法 图1 B A C D E F G P Q 182 0 1 2 3 4 5 6 210 22 2 0 10 15 1 11 15 22 2 12 17 22 3 13 18 22 4 14 18 5 15 19 22 6 16 24 20 0 2 2 28 6 kkk abaab a b p p p pa p kx yp ab ab ab ab 0 1 2 3 4 0 10 15 1 11 15 2 12 17 3 13 18 65210222 24 222 220 222 4 14 18 5 1 2 5 19 6 16 20 8 226 kkk xyyyx yx pyx pyx py k x py pyx x yp 7 已知 0 01 12 01 2ABCD 请分 别使用向量法和旋转法判断多边形ABCD是否是凹多 边形 解 1 使用向量法 多边形的边向量 AB 1 1 0 BC 1 1 0 CD 1 2 0 DA 1 2 0 AB BC 0 0 2 该多 边形是凹多边形 2 使用旋转法 绕多边形逆时针前进 将A点移到原点 顺时针旋转 使B点位于x轴 此时 C点的坐标 为 2 22 2 02cos 45 sin 45 0 22 sin 45 cos 45 0 02 2 2 2 0 02 1001 1001 11 x y 即C点的y值小于0 所以该多边形是凹多边形 8 已知多边形ABCDE如图所示 请分别使用奇偶性规则和非 零环绕数规则鉴别点P和Q在多边形内部还是在多边形外部 请写 出鉴别过程 解 1 奇偶性规则 P 从P点出发向右引一条射线 不通过多边形顶点 此时 边DE和BC与该射线相交 交点数为2 所以P在多边形的外部 Q 从Q点出发向右下引一条射线 不通过多边形顶点 此 时 边BC与该射线相交 交点数为1 所以Q在多边形的内部 2 非零环绕数规则 按照ABCDE的顺序规定多边形各边的方向 P 从P点出发向右引一条射线 不通过多边形顶点 规定环绕数HP 0 当P点沿射线方 向移动时 边DE从左到右穿过该射线 HP HP 1 1 边BC从左到右穿过该射线 HP HP 1 2 所以P在多边形的内部 Q 从Q点出发向右下引一条射线 不通过多边形顶点 规定环绕数HQ 0 当Q点沿射线 方向移动时 边BC从左到右穿过该射线 HQ HQ 1 1 所以Q在多边形的内部 3 二维几何变换 A B C D D B C A E P Q 183 1 请写出平移变换的变换矩阵 已知平移距离为 x t和 y t 要求使用齐次坐标 解 1 0 0 1 0 0 1 x y t t 2 请写出缩放变换的变换矩阵 已知缩放系数为 x s和 y s 要求使用齐次坐标 解 0 0 00 0 0 1 x y s s 3 通过对 1 R 和 2 R 矩阵表示的合并得到 1212 RRR i 证明两个复合的旋转是相加 的 解 11221212 112212121212 cossin0 cossin0cos sin 0 sincos0 sincos0sin cos 0 001001001 RRR 4 证明对下列每个操作序列来讲矩阵相乘是可以交换的 1 两个连续的旋转 2 两个连续的平移 3 两个连续的缩放 解 1 11221212 1122121212 cossin0 cossin0cos sin 0 sincos0 sincos0sin cos 0 001001001 RR 22112121 2122112121 cossin0 cossin0cos sin 0 sincos0 sincos0sin cos 0 001001001 RR 1221 RRRR 2 方法同 1 3 方法同 1 5 证明一致缩放和旋转形成可交换的操作对 但通常缩放和旋转不是可交换的操作 解 1 一致缩放与旋转的可交换性 0 0 cossin0cossin0 00 sincos0sincos0 0 0 1001001 sss S s s Rsss cossin00 0cossin0 sincos0 00sincos0 001 0 0 1001 sss RS s ssss 所以 一致缩放和旋转是可交换的操作对 2 一般缩放和旋转不是可交换的 举例说明 1 23 2 01 23 2 0 1 0 0 1 2 60 0 2 03 21 20310 0 0 1001001 SR 184 1 23 2 01 23 0 1 0 0 60 1 2 3 21 20 0 2 03 210 001 0 0 1001 RS 所以 一般缩放和旋转不是可交换的操作对 6 已知旋转角为 基准点位置为 rr x y 请构造该旋转变换的变换矩阵 解 1 使基准点与原点重合 T1 T xr yr 2 绕原点旋转 R R 3 使基准点回到原处 T2 T xr yr 完整变换 21 1 0cossin0 1 0cossin 1 cos sin 0 1sincos0 0 1sincos sin 1 cos 0 0 1001 0 01001 rrrr rrrr xxxy MT RTyyxy 7 已知缩放系数为 xy s s 固定点位置为 ff x y 请构造该缩放变换的变换矩阵 解 1 使固定点与原点重合 T1 T xf yf 2 以原点为固定点缩放 S S sx sy 3 使固定点回到原处 T2 T xf yf 完整变换 21 0 01 01 00 1 0 100 0 10 1 0 0 10 0 1 0 010 01 x ffxfx fyfyfy sxxsxs MTSTysys ys 8 证明 2 22 2 22 12 0 11 21 0 11 001 tt tt Rtt tt 完全表示一个二维旋转变换 解 令2arctant 则根据倍角公式 有 2 22 12 cos sin 11 tt tt 从而 cossin0 sincos0 001 R 正好 是一个旋转角度为 的二维旋转 9 请写出相对于yx 反射的变换矩阵 要求使用齐次坐标 解 0 1 0 1 0 0 0 0 1 10 请写出相对于x轴的沿x方向错切的变换矩阵 已知错切参数为 x sh 解 10 0 1 0 0 0 1 x sh 185 11 证明关于yx 的反射变换矩阵等价于相对于x轴的反射加上逆时针旋转90 解 相对于x轴的反射加上逆时针旋转90 的变换矩阵为 cos90sin90 0 1 0 00 1 0 01 01 0 0 sin90cos900 0 0 00 0 1 001 该矩阵正好是关于y x的反射变换矩阵 12 证明关于yx 的反射变换矩阵等价于相对于y轴的反射加上逆时针旋转90 解 相对于y轴的反射加上逆时针旋转90 的变换矩阵为 cos90sin90 0 1 0 001 0 sin90cos9000 1 01 0 0 0010 0 000 1 该矩阵正好是关于y x的反射变换矩阵 13 证明相对于任何一个坐标轴的两次连续反射等价于关于坐标原点的一次旋转 解 关于x轴的反射变换矩阵 1 0 0 01 0 0 0 1 x F 关于y轴的反射变换矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1 y F 1 0 0 1 0 01 0 0 01 0 01 00 1 0 0 0 0 1 0 0 10 0 1 1 0 01 0 01 0 0 0 1 00 1 00 1 0 0 0 0 10 0 10 0 1 xx yy F FR F FR 1 0 01 0 01 0 0 01 00 1 001 0 180 0 0 10 0 100 0 1 0 0 1 0 01 0 0 0 1 0 01 001 0 0 0 1 0 0 100 0 xy yx F FR F FR 180 14 确定对于任何线ymx b 的反射变换矩阵的形式 解 1 使反射轴与x轴重合 该变换相当于下列坐标系变换M1 新原点为 0 b 新x轴方向为 1 m 使新原点与旧原点重合 T T 0 b 使新x轴与旧x轴重合 R 2222 1 1 1 1 1 1 uv m mmmmm 186 22 22 1 1 10 11 10 001 mmm R mmm 22222 22222 1 1 1 10 1 0 01 1 1 1 0 1 11 10 11 1 1 0 0 1 001001 mmmmmmmbm bMRT mmmmmmbm 2 相对于x轴反射 1 0 0 01 0 0 0 1 x F 3 使反射轴回到原处 1 22222 1 22222 21 1 1 1 11 1 10 11 1 1 11 1 001001 mmmmbmmmm MM mmmbmmmmb 完整变换 22222 22222 21 2 222 2 222 1 1 101 1 1 11 0 0 01 0 11 1 11 1 1 0 0 1 001001 122 111 212 111 x mmmmmmmbm MMF M mmmbmmmbm mmmb mmm mmb mmm 001 15 证明对于任何通过坐标原点的线的两次连续反射等价于对于原点的单个旋转 解 构造相对于y m1x反射的变换矩阵 方法同14 2 11 22 11 2 1 11 22 11 12 0 11 21 0 11 001 mm mm Mmm mm 构造相对于y m2x反射的变换矩阵 方法同14 2 22 22 22 2 2 21 22 22 12 0 11 21 0 11 001 mm mm Mmm mm 令M M1 M2 证明M的左上角两行共4个元素构成两个正交的单位行向量 并且第三列为0 0 1 第三行也是0 0 1即可 187 22 1122 2222 1122 22 1121 2222 1122 2121112212 22 12 1212 00 1111 2121 00 1111 001001 1 1 2 1 1 mmmm mmmm Mmmmm mmmm mm mmmm mmm m mm 12 22 12 121221211122 2222 1212 1 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 001 mm mm m mmmmm mmmm mm mmmm 22 212111221212 2222 1212 22 121221211122 2222 1212 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 mm mmmm mmm mmm mmmm m mmmmm mmmm mm mmmm mm 12111221212 2222 1212 121221211122 2222 1212 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 mmmm mmm mmm mmmm m mmmmm mmmm mm mmmm 16 确定等价于沿x方向错切矩阵的基本变换序列 解 暂未找到合适方法 17 确定等价于沿y方向错切矩阵的基本变换序列 解 暂未找到合适方法 18 已知 01 3 3 6 7PP 新坐标系统的原点位置定义在旧坐标系统的 0 P处 新的y轴为 0 1 PP 请构造完整的从旧坐标系统到新坐标系统的坐标变换矩阵 解 1 使新原点与旧原点重合 T T 3 3 2 使新y轴与旧y轴重合 R 0 10 1 3 5 4 5 4 5 3 5 4 53 5 0 3 5 4 5 0 001 vPP PPu R 完整变换 4 53 5 0 1 030 8 0 6 0 6 3 5 4 5 0 0 13 0 6 0 8 4 2 001 0 0 10 01 MRT 19 已知 01 3 3 6 7PP 新坐标系统的原点位置定义在旧坐标系统的 0 P处 新的x轴为 0 1 PP 请构造完整的从旧坐标系统到新坐标系统的坐标变换矩阵 解 1 使新原点与旧原点重合 T T 3 3 2 使新x轴与旧x轴重合 R 188 0 10 1 3 5 4 5 4 5 3 5 3 5 4 5 0 4 5 3 5 0 00 1 uPP PPv R 完整变换 3 5 4 5 0 1 030 6 0 8 4 2 4 5 3 5 0 0 13 0 8 0 6 0 6 00 1 0 0 10 01 MRT 20 已知 01 3 3 6 7PP 请构造一个变换 使 0 1 PP与x轴重合 解 该变换相当于下列坐标变换 新原点为P0 新x轴为P0P1 同 3 19 21 已知 01 3 3 6 7PP 请构造一个变换 使 0 1 PP与y轴重合 解 该变换相当于下列坐标变换 新原点为P0 新y轴为P0P1 同 3 18 22 已知旋转角为60 基准点位置为 1 2 请构造该旋转变换的变换矩阵M 结果至少保留 3位小数 解 1 使基准点与原点重合 T1 T 1 2 2 绕原点旋转 R R 60 3 使基准点回到原处 T2 T 1 2 完整变换 21 1 0 1 cos60sin60 0 1 010 50 866 2 2321 0 1 20 120 8660 50 1340 sin60cos600 0 0 10 0 1001 001 MT RT 4 二维观察 1 已知窗口为 minminmaxmax xwywxwyw 视区为 minminmaxmax xvyvxvyv 现将窗口中位于 xw yw的点映像到视区中坐标为 xv yv的点 请构造变换公式和变换矩阵 解 为了使视区与窗口中的对象有同样的相对位置 必须满足 minminminmin maxminmaxminmaxminmaxmin xv xvxw xwyv yvyw yw xvxvxwxwyvyvywyw 从而 xwmin ywmin xwmax ywmax xvmax yvmax xvmin yvmin xw yw xv yv 189 maxminmaxmin minminminmin maxminmaxmin xvxvyvyv xvxvxw xwyvyvyw yw xwxwywyw 令 maxmin maxmin maxmin maxmin x y xvxv s xwxw yvyv s ywyw minmin minmin xx yy Kxvxws Kyvyws 得到如下变换矩阵和变换公式 0 0 0 0 1 xx yy sk s k xx yy xvxw sK yvyw sK 2 已知线段 1 2 PP的两个端点坐标为 1 5 10P 和 2 10 5P 裁剪窗口为 0 010 10 请使用 Cohen Sutherland线段裁剪算法计算出裁剪以后剩余的线段 解 左边界 x 0 右边界 x 10 下边界 y 0 上边界 y 10 P1P2的参数方程 5 15 01 10 15 xu u yu P1区域码 0001 P2区域码 0100 两端点区域码的与为0000 P1是一外端点 位于窗口左边 P1P2与左边界求交 得 5 15 10 15 0 xu yu x 解得u 1 3 交点P1 0 5 舍弃P1P1 保留P1 P2 P1 区域码 0000 P2区域码 0100 两端点区域码的与为0000 P2是一外端点 位于窗口的下边 P1 P2与下边界求交 得 5 15 10 15 0 xu yu y 解得u 2 3 交点P2 5 0 舍弃P2 P2 保留P1 P2 P1 区域码 0000 P2 区域码 0000 所以裁剪后剩余线段为P1 P2 端点坐标分别为 P1 0 5 P2 5 0 3 已知线段 1 2 PP的两个端点坐标为 1 5 10P 和 2 10 5P 裁剪窗口为 0 010 10 请使用 梁友栋 Barskey线段裁剪算法计算出裁剪以后剩余的线段 解 11 1515510 xyxy 线段 1 2 PP的参数方程 5 15 01 10 15 xu u yu minminmaxmax 111min 22max1 331min 44max1 001010 155 1515 1510 150 xwywxwyw pxqxxw pxqxwx pyqyyw pyqywy 190 对小于0的pk 有 1114441 1 3 0max 0 1 3 01 3rqprqpu 对大于0的pk 有 2223332 1 2 3min 1 1 2 32 3rqprqpu 因为u10 阶参数连续性是指代表两个相邻曲线段的方程在交点处有相同的1 2 n阶导数 n n 0 阶几何连续性是指代表两个相邻曲线段的方程在交点处的1 2 n阶导数成比例 192 6 假设在控制点 1 kk p p 之间的曲线段是参数三次函数 p u Hermite曲线段的边界条件是什 么 请解释所使用符号的含义 解 p 0 pk p 1 pk 1 p 0 Dpk p 1 Dpk 1 其中 Dpk和Dpk 1是在控制点pk和pk 1处相应的导数值 7 请写出B zier样条曲线混合函数 又称基函数 调和函数 的定义 解 B zier混合函数Bk n u 是Bernstein多项式 1 01 kkn k k nn BuC uuu 其中 k n C是二项式系数 k n n C kn k 8 给定四个控制点 0123 0 0 0 1 1 1 2 1 1 3 0 0PPPP 请构造一条三次B zier曲线 并 计算参数为0 1 3 2 3 1时的值 解 32323232 1 33 1 0 000 66 36 3 0 1 11099 113693693 3 30 0 2113 33 100 0 3 000 00 p uu u uu u uuuuuuuu 所以 p 0 0 0 0 p 1 3 1 2 9 2 9 p 2 3 2 2 9 2 9 p 1 3 0 0 9 请写出B 样条曲线混合函数 又称基函数 调和函数 的定义 解 已知2 d n 1 给定参数u umin u umax 的一个分割T ui i 0n d 其中ui ui 1 由下 列Cox deBoor递归公式定义的Nk d u 称为分割T的d 阶B样条混合函数 1 1 11 1 11 1 0 kk k k dk k dk dkd k dkk dk uu u Nu uuu u NuNuNu uuuu 其他 在计算中如果遇到分母为0的情况 定义0 0 0 其中 0 n d i i Tu 称为节点向量 ui称为节 点 10 给定三个控制点 012 0 0 0 50 60 0 100 10 0PPP 请构造一条均匀二次B样条曲线 解 取参数值n 2 d 3 节点向量含有n d 1 6个节点值 0 1 2 3 4 5 首先计算第一个基函数 N03 u 0 u 3 1 当0 u 1时 N12 u 0 N11 u 0 N01 u 1 0 0201 10 2 0 0302 20 1 2 u u NuNuu uu u u NuNuu uu 2 当1 u 2时 由周期性 有N12 u u 1 N11 u 1 N01 u 0 193 2 0211 21 03 030212 2031 2 11 2 1 3 22 uu NuNuu uu u uuu NuNuNuuuuu uuuu 3 当2 u 3时 由周期性 有N12 u 3 u N02 u 0 2 3 0312 31 1 3 2 uu NuNuu uu 然后由周期性计算其余两个基函数 2 13 2 1 1 12 2 11 1 3 2 4 23 22 1 4 34 2 uu Nuuuuuu uu 2 23 2 1 2 23 2 11 2 4 3 5 34 22 1 5 45 2 uu Nuuuuuu uu 多项式曲线p u 的参数范围 ud 1 u un 1 即2 u 3 考虑到多项式曲线p u 具有一阶参 数连续性 我们可以如下定义p u 当2 u 3时 22 012 222 2 1111 3 1 3 2 4 2 2222 111 69 0 0 0 21011 50 60 0 44 100 10 0 222 1 100 150 11560620 0 2 p uPuPuuuuPu uuuuuu uuu 11 已知某物体的第一个样条表达式的样条矩阵为 spline1 M 第二个样条表达式的样条矩阵为 spline2 M 请推导出从第一个样条表达式到第二个样条表达式的变换矩阵的计算方法 解 假设该物体的第一个样条表达式为 p u U Mspline1 Mgeom1 其中 U是参数行矩阵 Mgeom1是几何约束的列矩阵 第二个样条表达式为 p u U Mspline2 Mgeom2 其中 Mgeom2是几何约束的列矩阵 从而U Mspline1 Mgeom1 U Mspline2 Mgeom2 从该方程解出Mgeom2 得 Mgeom2 Mspline2 1 Mspline1 Mgeom1 Ms1 s2 Mgeom1 所以从第一个样条表达式到第二个样条表达式的变换矩阵 Ms1 s2 Mspline2 1 Mspline1 12 利用秦九韶方法计算下列多项式 532 45821p xxxxx 其中2x 请写出计算步骤 解 4 0 4 2 08 58 2 5 21 8 21 2 834 2 34 2 2 70 1 70 2 1 139 p ppx ppx ppx ppx ppx 194 13 使用向前差分计算下列多项式 2 8721p xxx 其中0 3x 请写出计算步骤 假设将 x的取值范围0 1 分成大小为0 1的子区间 解 22 1 222 11 00 2 100100 2112 0 1 8721 8 7 21 1687 160 16 21 0 78 0 21 0 78 21 78 0 78 0 16 0 94 0 1 21 78 0 94 22 72 kkkkkk kkkkkkk pxxpxx pppxppp ppx ppppppx pppp 2 11 322 0 94 0 16 1 10 0 2 22 72 1 10 23 82 0 3 ppx pppx 14 请解释下列名词 曲线的几何不变性 曲线的保凸性 曲线的变差缩减性 曲线的凸包性 解 曲线的几何不变性 曲线的某些几何特性不随坐标变换而变化 曲线的保凸性 平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为凸曲线 曲线的变差缩减性 已知某曲线的控制多边形是一个平面图形 如果该平面内任何一条直线 与该曲线的交点数不超过该直线与控制多边形的交点数 则称该曲线具有变差缩减性 曲线的凸包性 曲线位于相应控制点的凸包之内 15 已知 A 0 0 0 B 0 1 0 C 1 1 1 请求出平面ABC的方程 解 AB B A 0 1 0 AC C A 1 1 1 N AB AC 1 0 1 设平面ABC的方程为 x z d 0 由0 0 d 0 得d 0 所以平面ABC的方程为x z 0 7 三维几何变换 1 请写出下列旋转变换的变换矩阵和变换方程 已知旋转轴为z轴 旋转角为 要求使用齐 次坐标 解 cossin0 0 sincos0 0 001 0 000 1 cossin sincos xxy yxy zz 2 已知 01 3 3 5 6 7 5PP 请写出下列旋转变换的变换矩阵 旋转轴为 0 1 PP 旋转角为 要求使用齐次坐标 解 1 使P0P1与z轴重合 该变换相当于下列坐标变换M1 新原点为P0 新z轴方向为P0P1 使新原点与旧原点重合 T T 3 3 5 使新坐标轴与旧坐标轴重合 R1 新z轴方向 N P0P1 3 4 0 新y轴方向 V N 1 0 0 0 0 4 新x轴方向 U V N 16 12 0 将U V N单位化 195 u U U 0 8 0 6 0 v V V 0 0 1 n N N 0 6 0 8 0 1 11 0 80 6 0 0 001 0 0 6 0 80 0 000 1 0 80 6 0 0 1 0 030 80 6 00 6 001 0 0 1 030015 0 6 0 80 0 0 0 150 6 0 804 2 000 1 0 0 0 10001 R MRT 2 绕z轴旋转 R R 3 使P0P1回到原处 1 1 21 0 80 6 00 60 80 0 6 3 00150 6 0 0 8 3 0 6 0 804 201 0 5 0001000 1 MM 完整变换 21 0 80 0 6 3 cossin0 0 0 80 6 00 6 0 6 0 0 8 3 sincos0 00015 01 0 5001 0 0 6 0 804 2 000 1000 10001 MMR M 3 已知缩放系数为 xyz s s s 固定点位置为 fff x y z 请构造该缩放变换的变换矩阵 解 1 使固定点与原点重合 T1 T xf yf zf 2 相对于原点缩放 S S sx sy sz 3 使固定点回到原处 T2 T xf yf zf 完整变换 21 0 0 00 0 1 1 0 01 0 0 00 1 0 1 000 0 0 1 0 0 0 1 0 0 10 00 0 0 1 0 0 0 10 0 010 0 010 0 0 1 xxxf ff yyffyf zzzfzf sss xxx ss yysy MTST ss xzsz 4 请写出产生相对于z轴错切的变换矩阵和变换方程 解 1 00 0 10 0 0 1 0 0 0 0 0 a b xx az yy bz zz 5 证明对下列每个三维操作序列来讲矩阵相乘是可以交换的 1 两个连续关于任一坐标轴的旋转 2 两个连续的平移 3 两个连续的缩放 解 请参考 3 4题 6 已知新坐标系统的原点位置定义在旧坐标系统的 000 x y z处 且单位轴向量分别为 u v n 分别对应新的 x y z轴 请构造完整的从旧坐标系统到新坐标系统的坐标变换矩阵 其中 123123123 uu u uvv v vnn n n 解 196 使新原点与旧原点重合 T T x0 y0 z0 使新坐标轴与旧坐标轴重合 123 123 123 0 0 0 0 0 0 1 u u u v vv R n n n 完整变换 12301231 02 03 0 12301231 02 03 0 12301231 02 03 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 01 u u uxu u uu xu yu z v vvyv vvv xv yv z MRT n n nzn n nn xn yn z 7 已知在OXYZ坐标系中某个平面的方程为34100 xy 试求变换矩阵M 使该平面在 11 1 1 O XYZ坐标系下变成 1 0z 的平面 解 平面法向量在旧坐标系中的坐标为 3 4 0 且点 2 1 0 在该平面上 而平面法向量在新坐标系中 的坐标为 0 0 1 我们可将点 2 1 0 作为新原点 3 4 0 作为新z轴方向 1 使新原点与旧原点重合 T T 2 1 0 2 使新坐标轴与旧坐标轴重合 R 新z轴方向 N 3 4 0 新y轴方向 V N 1 0 0 0 0 4 新x轴方向 U V N 16 12 0 将U V N单位化 u U U 0 8 0 6 0 v V V 0 0 1 n N N 0 6 0 8 0 0 80 6 0 0 001 0 0 6 0 80 0 000 1 R 完整变换 0 80 6 0 0 1 0 020 80 6 01 001 0 0 1 01001 0 0 6 0 80 0 0 0 1 00 6 0 802 000 1 0 0 0 10001 MRT 8 请写出下列二次曲线的迪卡尔坐标方程和参数方程 1 圆 圆心在原点 2 椭圆 中心在原点 3 抛物线 中心在原点 4 双曲线 中心在原点 解 1 222 xyr cos 02 sin xr yr 2 22 22 1 yx ab 197 cos 02 sin xa y b 3 2 2ypx 2 2ypx 2 2xpy 2 2xpy 2 2 2 xpt ypt 2 2 2 xpt ypt 2 2 2 ypt xpt 2 2 2 ypt xpt 4 22 22 1 yx ab 22 22 1 yx ab sec 02 xa y btg sec 02 ya xbtg 9 已知旋转轴为AB 其中A 0 0 0 B 3 4 0 请构造绕AB旋转90度的旋转变换 解 1 旋转物体使旋转轴与某一坐标轴 通常取z轴 重合 R 将AB 3 4 0 单位化 得n AB AB 0 6 0 8 0 令ux 1 0 0 v n ux n ux 0 6 0 8 0 1 0 0 0 6 0 8 0 1 0 0 0 0 1 u v n 0 0 1 0 6 0 8 0 0 8 0 6 0 则 0 80 6 0 0 001 0 0 6 0 80 0 000 1 R 2 绕坐标轴 z轴 完成指定的旋转 Rz 3 使旋转轴回到原来的方向 R 1 完整变换 1 0 8 0 6 0 0 01 0 0 0 80 6 0 00 36 0 48 0 8 0 001 0 1 0 0 0001 00 48 0 641 0 90 0 6 0 8 0 0 0 0 1 0 0 6 0 80 00 8 0 60 0 000 1 0 0 0 1000 1000 1 z MRRR ii 10 给定四个控制点P0 0 0 P1 1 1 P2 2 1 P3 3 0 请构造一条三次B zier曲线 并计 算参数为0 1 3 2 3 1时的值 解 323232 1 33 1 0 00 6 36 3 0 1 109 113693 3 30 0 213 3 100 0 3 00 0 p uu u uu u uuuuu 所以 p 0 0 0 p 1 3 1 2 9 p 2 3 2 2 9 p 1 3 0 11 给定三个控制点P0 0 0 P1 5 6 P2 10 1 请构造一条均匀二次B样条曲线 解 使用自然的均匀节点向量 此时参数值n 2 d 3 节点值个数为n d 1 6 因此设置节点 向量为 0 1 2 3 4 5 首先计算第一个基函数 N03 u 0 u 3 1 当0 u 1时 N12 u 0 N11 u 0 N01 u 1 198 0 0201 10 u u NuNuu uu 2 0 0302 20 1 2 u u NuNuu uu 2 当1 u 2时 N11 u 1 N01 u 0 由周期性 有N12 u u 1 2 0211 21 2 uu NuNuu uu 03 030212 2031 11 2 1 3 22 u uuu NuNuNuuuuu uuuu 3 当2 u 3时 由周期性 有N12 u 3 u N02 u 0 2 3 0312 31 1 3 2 uu NuNuu uu 总结上述结果得 2 03 2 1 01 2 11 2 1 3 12 22 1 3 23 2 uu Nuuuuuu uu 然后由周期性计算其余两个基函数 2 13 2 1 1 12 2 11 1 3 2 4 23 22 1 4 34 2 uu Nuuuuuu uu 2 23 2 1 2 23 2 11 2 4 3 5 34 22 1 5 45 2 uu Nuuuuuu uu 多项式曲线p u 的参数范围是 ud 1 u un 1 即2 u 3 考虑到多项式曲线p u 具有一阶 参数连续性 Cd 2 我们可以如下定义p u 当2 u 3时 22 012 222 2 1111 3 1 3 2 4 2 2222 111 69 0 0 21011 5 6 44 10 1 222 1 10 15 115662 2 p uPuPuuuuPu uuuuuu uuu 12 已知旋转角为60 旋转轴为 1 2 x y 请构造该三维旋转变换的变换矩阵M 结果至少保留 3位小数 解 1 使旋转轴与z重合 只需使位置 1 2 0 与原点重合即可 T1 T 1 2 0 2 绕z旋转 R R 60 3 使旋转轴回到原处 T2 T 1 2 0 完整变换 199 21 1 0 0 1 cos60sin60 0 0 1 0 010 50 866 0 2 2321 0 1 0 20 1 020 8660 50 0 1340 sin60cos600 0 0 0 1 00 0 1 00010 001 0 0 0 0 10 0 0 10001 000 1 MT RT 8 三维观察 1 已知 观察参考点 1 1 1P 观察平面法向量 4 3 0N 观察向上向量 3 4 0V 请构造 从世界坐标到观察坐标的变换 写出变换矩阵 解 1 使观察参考点与世界坐标系原点重合 T T 1 1 1 2 使观察坐标系与世界坐标系重合 R 观察坐标系z轴方向 N 4 3 0 观察坐标系x轴方向 U V N 0 0 25 观察坐标系y轴方向 V N U 75 100 0 将U V N单位化 u U U 0 0 1 v V V 0 6 0 8 0 n N N 0 8 0 6 0 001 0 0 6 0 8 0 0 0 8 0 6 0 0 000 1 R 完整变换 001 0 1 0 010011 0 6 0 8 0 0 0 1 010 6 0 8 00 2 0 8 0 6 0 0 0 0 110 8 0 6 01 4 000 1 0 0 0 10001 MRT 2 求经过平行投影变换后点 1 2 3P的坐标 已知平行投影向量为 3 2 1V 解 11 03 0 181 0 0 20 12 0 240 1 0 0 010 30 0 1 0 33 0 001 10 0 0 1 11 xz yz parallel pp pp PMP 3 求经过透视投影变换后点 1 2 3P的坐标 已 知 观察平面为4z 投影中心为 0 0 5 解 如图 透视线PR的参数方程为 1 2 201 3 2 xu yuu zu 将z 4代入上述方程 得u 1 2 1 2 1 x y 所以经过透视变换后 点P的坐标变为 1 2 1 3 答 1 2 1 也可以 P R zv 200 4 已知投影面为xy 投影中心为 0 0 r 求透视投 影变换矩阵 解 如图 透视线PR的参数方程为 01 xx xu yy yuu zzr z u 将z 0代入上述方程 得u z r z r xx r z r yy r z 令h r z r 则xh x h x yh y h y zh 0 h z r 1 所以透视变换矩阵为 1 000 0 100 0 000 0 01 1r 5 已知投影面为z zp 投影中心为 xr yr zr 求透视 投影变换矩阵 解 如图 透视线PR的参数方程为 01 r r r xxxx u yyyy uu zzzz u 将z zp代入上述方程 得u zp z zr z 于是得到透视变换方程 rpp pr rr rpp pr rr zzzz xxx zzzz zzzz yyy zzzz 令 r rp zz h zz 则 pr rr hp rprprp zx zzx xxxz zzzzzz pr rr hp rprprp zy zzy yyyz zzzzzz ppr r hp rprprp zzz zz zzz zzzzzz 1 rr rprprp zzz hz zzzzzz 从而可以得到如下矩阵形式的透视变换 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 pr r rprp pr rh h rprp h ppr rprp r rprp zx x zzzz zy yxx yy zzzz zzzzz h zzz