大学高等数学竞赛试卷.doc

山东建筑大学第八届数学竞赛试卷 共 6 页 第 1 页2010至2011第 2 学期 课程名称 数学（一） 专业：全校各专业考试性质： 闭卷 考试时间 180 分钟 题号一二三四五六 总分分数得分评卷人一、填空题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、= . 2、设函数，求= .3、设有三阶连续导数，且，则= ；= ；= . 4、若,则= ;5、当时,有 _ _ _ _；6、 ；7、设是曲线在上的弧段绕轴旋转所得的体积,并且,则常数 ;8、设悬链线在上的弧段绕轴旋转所得旋转体的侧面积为,则 ； 9、（1）（2分）为曲线在处的曲率, 则 ；(2)（1分） 曲面由方程确定, 曲面在点处的梯度 .10、设与是任意的二阶可导函数，则= .11、假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 .12、设和为两个随机变量，且，则 .13、设总体的概率密度为，而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩法估计量为 .14、 设，且求B= .15、 设A为三阶实对称矩阵，是的解，是 的解，则常数 .得分评卷人二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。16、设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率是【 】（A）单调增大； （B）单调减少； （C）保持不变； （D）增减不定. 装 订 线班级 _ 姓名 _学号 _装 订 线 共 6页 第 2 页17、设随机变量的密度函数为，且，是的分布函数，则对任意实数，有【 】（A）； （B）；（C）； （D）.18、设，是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度为的分布的随机变量是【 】 （A）；（B）；（C）；（D）.19、设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有【 】（A）必线性无关； （B）必线性相关；（C）必线性无关；（D）必线性相关.20、下列二次型正定的是【 】（A）； （B）；（C）；（D）.21、 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是【 】 (A) ； (B) ； (C) ； (D) .22、设阶方阵， 。记向量组：，：，III：，如果向量组III线性相关，则【 】(A) 向量组()线性相关； (B) 向量组()线性相关；(C) 向量组()与()都线性相关；(D) 向量组()与()至少有一个线性相关.23、设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点取得极小值的一个充分条件是【 】（A）； （B）；（C）； （D）.24、设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分。若，则【 】（A）; （B）; （C）; （D）.25、设函数为连续函数，则等于【 】（A）; （B） ;（C）; （D）.得分评卷人三、计算题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）26计算三重积分。其中是椭球体。解： 共 6 页 第 3 页装 订 线27、计算曲面积分 其中为曲面的下侧。解：28、求，其中。解：29、计算，其中S: ,.解： 共 6 页 第 4 页得分评卷人四、求解题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）装 订 线30求球面与锥面所截出的曲线上的点处的切线与法平面方程。 解：31、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求和.解：32、设二维随机变量的概率密度函数为,求常数及条件概率密度.解： 共6 页 第 5 页33、一城市局部交通流如图所示. (单位: 辆/小时)(1) 建立数学模型; (2) 要控制至多200辆/小时, 并且至多50辆小时是可行的吗?装 订 线34、设是取自双参数指数分布的一个样本，密度函数为 （）求参数和的矩法估计和极大似然估计。解：共 6 页 第 6 页35计算，其中是沿圆周由依逆时针方向到的半圆，为常数.解：得分评卷人五、证明题（本大题共2小题，36题8分，37题7分，共15分）36、 设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足证明 并求y(x)的表达式证明:装 订 线37、已知二元函数装 订 线, 证明：(1) ,在点处不连续, （2）在点处可微.证明：山东建筑大学第七届数学竞赛试题评分标准(非数学专业类型)得分评卷人一、填空题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、= ；解：. 2、设函数，求= ；解：因为，所以3、设有三阶连续导数，且，则= 0 ；= 0 ；= 4 .；4、若,则= ;解：因为，且，(用罗比达法则求得,即)，所以=.5、当时,有 ；解：因为，所以.6、 ；解法1：.解法2：令，则. 进而.解法3 用万能代换公式.令, 则，即. ,. 所以7、设是曲线在上的弧段绕轴旋转所得的体积,并且,则常数;8、设悬链线在上的弧段绕轴旋转所得旋转体的侧面积为,则；解：9、（1）为曲线在处的曲率, 则 ；解：因为，所以， 进而.（2）曲面由方程确定, 曲面在点处的梯度 .10、设与是任意的二阶可导函数，则= .因为， 所以，进而.11、假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 .12、设和为两个随机变量，且，则 .13、设总体的概率密度为，而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩法估计量为 .14、设，且求.15、 设A为三阶实对称矩阵，是的解，是 的解，则常数或 .得分评卷人二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。16、设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率是【 C 】（A）单调增大； （B）单调减少； （C）保持不变； （D）增减不定. 17、设随机变量的密度函数为，且，是的分布函数，则对任意实数，有【 B 】（A）； （B）；（C）； （D）.18、设，是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度为的分布的随机变量是【 B 】 （A）；（B）；（C）；（D）.19、设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有【 A 】（A）必线性无关； （B）必线性相关；（C）必线性无关；（D）必线性相关.20、下列二次型正定的是【 C 】（A）； （B）；（C）；（D）.21、 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是【 B 】 (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 22、设阶方阵， 。记向量组：，：，III：，如果向量组III线性相关，则【 D 】(A) 向量组()线性相关； (B) 向量组()线性相关；(C) 向量组()与()都线性相关；(D) 向量组()与()至少有一个线性相关.23、设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点取得极小值的一个充分条件是【 】（A）； （B）；（C）； （D）.24、设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分。若，则【 A 】（A）; （B）; （C）; （D）.25、设函数为连续函数，则等于【 C 】（A）; （B） ;（C）; （D）.得分评卷人三、计算题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）26计算三重积分。其中是椭球体。解：由于 ，其中，这里表示椭球面 或 。它的面积为 。于是 。同理可得 ， 。所以 。27、计算曲面积分 其中为曲面的下侧。解：补充曲面：，取上侧. 则 其中为与所为成的空间区域，D为平面区域，. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又.其中.28、求，其中。解：化为。进行坐标变换：，。则.29、计算，其中S: ,.解：因为，所以。进而，。：，.得分评卷人四、求解题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）装 订 线30求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。 解：设 （1） 确定，则（1）两端对求导，则有，解之得：，点处的切向量为，所以曲线在处的切线方程为：，法平面方程为 ，即。31、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求和.解：因为函数可导且在处取得极值,则.又因为, 所以, 进而。32、设二维随机变量的概率密度函数为,求常数及条件概率密度.解: 因为,所以 作变量替换，即.则. 所以, 进而. 33、一城市局部交通流如图所示. (单位: 辆/小时)(1) 建立数学模型; (2) 要控制至多200辆/小时, 并且至多50辆小时是可行的吗?解: (1) 将上图的四个结点命名为A, B, C, D, 如下图所示:则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样, 这样这四个结点可列出四个方程如下:对增广矩阵进行变换:可见x3和x5为自由变量, 因此令x3=s, x5=t, 其中s,t为任意正整数(车流量不可能为负值), 则可得x1=500-s-t, x2=s+t-200, x4=350-t.(2) 令x2=200, x3=s=50, 代入上面的x2的表达式, 得200=50+t-200, 求出t=350, 则x1=500-s-t=100, x4=0, 是可行的.34、设是取自双参数指数分布的一个样本，密度函数为 （）求参数和的矩法估计和极大似然估计。解：令 解得的矩法估计为似然函数两边取对数对求偏导，知是的递增函数，取到其最大的可能值使达到最大，故的极大似然估计为。对求偏导，可解得的极大似然估计为。35、计算，其中是沿圆周由依逆时针方向到的半圆，为常数.解：令，取：，, 方向依逆时针方向，则，进而，其中为曲线所围成的圆.得分评卷人五、