二次型与极值.doc

黄山学院毕业论文二次型与极值摘要元函数极值的判别法很多，在本文中我们将利用二次型来判别元函数的普通极值与条件极值并应用到二元函数上。首先，再讨论二次型与普通极值的关系时我们先讨论极值存在的必要条件，再讨论极值存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），在讨论第一充分条件是利用函数的连续性，而在讨论极值存在的第二充分条件中以二阶偏导数和泰勒展开式的知识为基础，利用二次型的性质得出极值的存在性和为何种极值就取决于二次型的正定性和负定性，当二次型为正定时多元函数此时取极小值；当二次型为负定时多元函数此时取极大值；当二次型为不定时，此时多元函数无极值。再从多元函数的情形中得到二元函数和一元函数的极值判别法。在讨论n元函数的条件极值问题时，利用的是拉格朗日乘数法先得出条件极值的必要条件，再根据必要条件讨论n元函数极值存在的充分条件再举一在实际问题中的条件极值的例子加以说明。关键词：二次型，元函数，极值，稳定点，正定性，负定性。QUADRATIC FORM AND EXTREME VALUE PROBLEME OF MULTI-VARIABLE FUNCTIONABSTRCTThe circular function extreme value distinction law are very many, we will use in this article two time distinguished the circular function the ordinary extreme value and the condition extreme value and will apply in the dual function.First, then discusses two time with when the ordinary extreme value relations we first discuss the extreme value existence the essential condition, then discusses the extreme value existence the in discusses the first sufficiency is uses the function the continuity, but in the discussion extreme value existence second sufficiency take two steps partial derivative and the Taylors expansion knowledge as the foundation，Obtains using two nature why the extreme value the existence and a kind of extreme value is decided by two qualitative and negative qualitative, when two this time are taking the minimum for fixed time the function of many variables; When two this time take the maximum value for the negative fixed time function of many variables; When two are the indefinite tenses, this time the function of many variables does not have the extreme value. Again obtains the dual function and a circular function extreme value distinction law from the function of many variables situation.When discusses the n circular function the condition minimum problem ,uses is the Lagrange multi plicator law first obtains the condition extreme value the essential condition, then discusses the n circular function extreme value existence according to the essential condition the sufficiency to lift again one performs in the actual problem condition extreme value example to explainKEY WORDS: Quadratic Form, Extreme Value, Multi-Variable Function, Extreme Value, Stable Point, Positive Definite Property, Negative Definite Property目 录第一章 绪论1 课题研究背景 1二次型与极值的发展及研究现状1第二章 定义及相关定理2 定义2 二次型与矩阵的关系及相关定理2第三章 普通极值与二次型4 定义4 极值存在的必要条件 4 元函数极值存在的充分条件5第四章 条件极值与二次型9定义 9条件极值存在的必要条件 9 条件极值存在的充分条件11第五章 总结和展望 14 本文总结 14 展望 14参考文献 15致谢1615第一章 绪论课题研究背景怎样去求一个元函数的极值，很多论文和教材都有不同的方法，其中最常见的是用二次型来判别极值。由泰勒展式和二阶偏导得出的元函数的极值与二次型的正定，负定性有关，当二次型不定时元函数不取得极值，以及教材中所涉及的判断一元函数极值存在的求导法，在讨论元函数的条件极值存在的必要条件和充分条件时利用泰勒展式和二阶偏导得出条件极值存在的必要条件和充分条件，这些论文或教材的讨论比较零乱，形式不一，内容不全面。本文将在其他论文和教材的论述基础上进行整理，修正和提出自己的观点。， 发展及研究现状 目前纵多著作中所讨论的极值问题尤以二次型最多，有些著作讨论一元函数的情形，或元函数的情形并应用到二元函数上。在讨论元函数的普通极值时得出判别元函数极值存在的必要条件（极值点是稳定点但稳定点不一定是极值点），再讨论函数存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），利用泰勒展式和二阶偏导得出元函数极值存在与二次型的正定，负定有关。泰勒展式的形式不同（利用梯度知识或模长知识），并将元函数的情形运用到二元函数上。在讨论元函数的条件极值时利用的是拉格朗日乘数法，也是利用泰勒展式得出条件极值存在的必要和充分条件，最后利用二次型的正定性和负定性来判别条件极的存在和极值的类型。第二章 定义及相关定理2-1定义定义1 设元函数在点邻近有定义，如果存在，使得（或者）,那么我们就说函数在点取得极小值（极大值）；如果存在使得，（或者）那么我们就说函数在点取得严格极小值（严格极大值）极小值与极大值都称极值，严格极大值与严格极小值都称严格极值。定义2 设为为一个数域，的一个系数在数域中二次多项式， （1）称为数域上的一个元二次型或简称二次型。如：叫做有理数域上的三元二次型。2-2二次型与矩阵的关系及相关定理令又由于所以二次型可以写成： ， （2）其中它的系数可以用一个矩阵来表示：它称为二次型的矩阵，因为所以我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。 令则二次型可以用矩阵的乘积来表示 。故，如果二次型是正定的（负定的），那么我们就说它的系数方阵是正定的（负定的）定理：，为正定的充分必要条件是：它的系数方阵的所有顺序主子是都大于0即：推论 ： 为负定的充要条件是。第三章 元函数的普通极值与二次型的关系3-1 定义定义 偏导数：对于函数给变量以增量则函数的增量为假若存在则此极限值为函数在点对的偏导数极为或。若函数在某一个开区域上有对于其中一个变量的偏导数，则该偏导数仍是的函数，因此它可能在某一点仍有对相同变量或不同变量的偏导数，这样的偏导数称为的二阶偏导数。已知对的一阶偏导数则它对和（其中）的导数记为，同样可以推出高阶偏导数：定义2：若，成立，则称为的稳定点。3-2 极值存在的必要条件定理1（判别极值存在的必要条件）设可微，若在取得极值且偏导数存在，则在处的微分为零。 证明（反证法）假设在处取得极大值，不妨设在处的微分不为0，则至少存在一个量使的再设则由极限的性质知存在使得 即这与为极大值相矛盾则定理1成立。同理可以证得若在取得极小值则得此时的称为的稳定点，由定理1知偏导数存在的函数的极值点必为稳定点，但稳定点不一定是极值点。如函数其中是它的稳定点，但不是的极值点。因在点处函数的值为0，在此点的任一邻域内，函数既可以取得正直也可以取得负值。因此不是函数的极值点。3-3 元函数极值存在的充分条件3-3-1 海赛矩阵设元函数在点具有二阶连续偏导数并记为此矩阵称为在点的矩阵。由二阶偏导数的连续性知是实对称矩阵。3-3-2定理2（第一充分条件）若函数在处连续且在内可微，如果，（或）且，则函数在处有极大值（或极小值）。证明：设元函数，令，由条件知在处连续且在内可微，所以在上连续且在内可微，于是存在使得即 =或（）则或即在处取得极大值（或极小值）3-3-3 定理3（第二充分条件）设函数在点邻近至少是二阶连续可微的，是的一个稳定点如果函数在点的方阵是正定的，那么在点取得极小值。如果函数在的方阵是负定的那么在点取得极大值。如果函数在点的方阵是不定的，那么在点不取得极值。证明：考察函数在点处的展开式： 。因此在点能否取得极值取决于二次型的符号 当二次型是正定二次型（即是正定矩阵）即，则在足够小时，则在处取得极小值。 当二次型是负定二次型（即是负定矩阵）即，则在足够小时，则在处取得极大值。当不定时，则的符号是不定的，则无极值。例1 三元函数求它的极值。 解由， 稳定点 可得又所以，是正定的则在点处取得极小值即 3-3-4 当为二元函数对二元函数在稳定点处，令 （1）当正定时，即，则函数，在点处取得极小值。（2）当负定时，即，则函数 在点 处取得极大值。（3）在二次矩阵中因为，中至少有一个不为0或时函数在点处不取得极值。 3-3-5 当为一元函数若在点处有二阶连续的偏导数且（1）当时即=时在点处取得极小值。（2）当时即=时在点处取得极大值。第四章 元函数的条件极值与拉格朗日乘数法4-1定义定义1 目标函数：在实际问题中我们要求某个函数使得其总能取得的值尽可能的大或小，来得到最好的效益，我们称这种能反映我们所期望的效益的函数为目标函数。定义2条件极值：在实际问题中，有时要考察这样的目标函数， 它的变元必须满足一定的约束条件， （2）我们有时需要求目标函数（1）在条件（2）的约束下的极值这样的极值称为条件极值。4-2 条件极值存在的必要条件4-2-1 在讨论之前先假定和中的函数均连续可微且中的各函数满足以下正则条件，（3）即表示矩阵的秩，条件（3）在一定的情况下要变换形式，假定在所涉及的点邻近有（4）于是在这些点附近由（2）可以解出，（5）把（5）代入（1）可以得到这样一个函数（6）于是条件极值问题就转化为求目标函数（6）的无条件极值问题，然而在实际运用中困难很大，因为从方程组（2）中解出（5）不容易。 我们可以采用一种简易的处理方法即拉格朗日提出的待定系数法：首先要定义一个含有个待定乘数的辅助函数（7）其次证明目标函数（1）在条件（2）的约束下的极值点都是这辅助函数的稳定点。定理4 目标函数（1）在条件（2）的约束下在点达到极值，那么存在使得是辅助函数（7）的稳定点即和应满足方程组：（8）证明：如前所述，所讨论的条件极值问题等价于函数（6）的无条件极值问题，因而在点处应有即（9）而和均在处取值，但在处取值，假定以后遇到类似的情形，同样去理解，由于计算隐函数偏导数的麻烦，有必要消去（9）中的，我们可以用下面一些恒等式：，对这些恒等式两边对求偏导得到（10）将（10）中的各式分别乘以待定乘数然后加到（9）上去，可以得到：（11）因为 我们可选择使得 （12）对于这样选择的从（11）式又可以得到（13）由（12）和（13）我们得到约束极值的必要条件：存在使得适合方程组（14）4-3 条件极值存在的充分条件为了讨论条件极值的充分条件的方便，我们将满足条件（2）的点的集合记为，设点满足定理4中所述的必要条件，对于上邻近于的点，记则有，（15）由于展式中的一阶导不一定为0，所以不能利用二阶导来判别极值是否存在，为了便于讨论，我们设法从（15）式中消去一阶项应有 用泰勒公式展开即得，（16）将（16）式中的各项分别乘以，然后加到（15）式上 （其中和满足条件（8）可以得到：通过考察上式中的二次型得到以下关于条件极值的充分条件：定理5设（1）和（2）中的各函数至少是二阶连续且可微的，又设和满足必要条件（8）并记如果方阵是正定的（负定的），那么目标函数（1）在条件（2）的约束下在点取得严格极小值（严格极大值）。例2曲线与直线之间距离最短的两点位置。 解：设曲线上的点为，直线上的点为则这两点间的距离为即，下面将采用拉格朗日乘数法求的最小值。令 ）由解得得到稳定点又因为所以矩阵为此时的矩阵既不正定也不负定，由于只有一个稳定点且问题本身决定它一定能够取得最小值，即在稳定点处能取得最小值，则曲线上的点和直线上的点即为所求。第五章 总结和展望5-1 本文总结 本文正文部分共分三章：第一章介绍极值和二次型的定义及相关的定理推论，第二章简介二次型与普通极值的关系主要系统介绍极值存在的必要条件和第一，第二充分件，并应用到二元和一元函数的情形，特举一例说明二次型判别法的不足之处，第三章主要介绍条件极值与拉格朗日乘数法，在理论上我们可以用代入法把元函数的条件极值转化为无条件极值的问题进行解决，但在实际运用中很难解出隐函数，于是就提出了拉格朗日乘数法，采用泰勒展开式我们可以得出条件极值存在的必要和充分条件（利用二次型来判别条件极值）。总之本文是在原来所讨论的零散的关于极值的知识点上进行肯定，整理，加工并在此基础上提出自己的观点。5-2 展望用二次型的正定和负定型判别元函数的极值问题虽然是个好方法，但具有一定的局限性，因为充分条件对二次型正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，那么结论就不成立，比如对于二元函数在点处如果是不定的，即那么可以断定函数在点处不取得极值；但如果是半正定的即，那么此方法就不能判断极值的存在性了。对于三