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2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 636 考试科目名称： 数学分析 一、（12分）按数列极限定义证明：.证明： 4分 任给,要,只要,即只要. 10分 取,则当时, ,所以, . 12分二、（14分）若在点连续，证明也在点连续.证明：设在点连续,则, , 4分 同时 , 8分 于是 . 12分 所以在点连续. 14分三、（14分）证明在上一致连续.证明： , , 4分 ,取,当时,就有, 12分 所以在上一致连续. 14分四、（16分）设在上可导且导函数连续.证明：.证明：由于在上连续,因此存在 2分 , 8分 又因 , 12分 所以 16分五、（16分）证明级数在区间内条件收敛.证明：, 4分 由于数列单调趋于零,且部分和数列有界,由Dirichlet判别法知,收敛, 10分又发散,所以级数在区间内发散 13分 原级数收敛性显然,因此原级数在区间内条件收敛. 16分六、（14分）证明函数序列在上一致收敛.证明：在上收敛于，由 , 5分 及 , 易知在取到最大值，从而 10分 .所以, 函数序列在上一致收敛. 14分七、（16分）通过自变量变换,变换方程 .解： 3分 6分 9分, 12分代入原方程,得 注意到即,于是就有. 从而得变换后的方程. 16分八、（16分）计算其中为曲线若从轴的正向看去，的方向为逆时针方向.解：设是所围的平面的部分，方向由右手法则确定（即取上侧）. 上任一点的单位法向量, 6分由Stokes公式, 13分 . 16分九、（16分）设是两条直线,和两条双曲线,所围成的区域, 是具有连续导数的一元函数,记.证明 , 其中的方向为逆时针方向. 证明：由Green公式,得 4分 作变换,则此变换将区域变为 9分 变换的Jacobi行列式为,于是 11分 所以 . 16分十、（16分）证明含参变量积分满足方程.证明：记 ，则 .这时有 2分 , 而反常积分收敛,由Weierstrass判别法, 关于在上
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